定義電磁場矢量的思想實驗*

浦天舒

(東華大學理學院　上?！?01620)

*上海高校實驗技術隊伍建設專項資金項目：加強創新能力培養的基礎物理實驗教學改革研究.

定義電磁場矢量的思想實驗*

浦天舒

(東華大學理學院上海201620)

*上海高校實驗技術隊伍建設專項資金項目：加強創新能力培養的基礎物理實驗教學改革研究.

摘 要：通過思想實驗定義電通量密度和磁場強度兩個電磁場矢量，認識其物理意義．由高斯定律和安培定律并借助實驗上的庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律，找出電通量密度與電場強度以及磁場強度與磁感應強度之間所必須滿足的關系．

關鍵詞：思想實驗電磁場矢量極化強度矢量磁化強度矢量高斯定律安培定律

1引言

講到電磁場，首先碰到的問題是場量的定義．在大多數大學物理教科書中通常只定義了電場強度E和磁感應強度(磁通量密度)B，而把電通量密度(電位移)D和磁場強度H作為輔助量引入．這樣雖然在邏輯上沒有問題，但D和H卻沒有明確的物理意義，而且容易給人造成E，B重要而D，H似乎不太重要的印象．但事實上我們知道電磁場是由4個矢量E，B，D，H構成的，它們應該是同等重要的(當然在不同的研究領域它們的重要性會有所不同)．這一點從麥克斯韋方程組也可以看出．所以最好對這4個場量各自單獨定義．這樣既可賦予D，H以一定的物理意義，而且借助實驗定律也可以找出它們跟E，B的關系．

2通過思想實驗定義D和H

4個電磁場矢量都可以通過所謂“思想實驗”進行定義[1]．例如電場強度E和磁感應強度B可分別通過作用在靜止和運動的試驗電荷上的力的思想實驗加以定義(借助法拉第定律，也可以從磁通量密度的概念通過思想實驗來定義B[1])．同樣，D和H也可以通過思想實驗定義．

2.1定義D的思想實驗

D一般稱為電通量密度，但電通量本來是從電場強度矢量E來定義的．即通過一個面元dS的電通量dФe定義為

dФe=E·dS

(1)

因此我們也可以從電通量密度的概念來定義E．但現在我們從矢量D來定義電通量

dΨe=D·dS

(2)

(3)

圖1　矢量場D中的一對薄圓形導電金屬電極

D叫做電通量密度是因為它給出了通過單位面積的場的力線的數目(稱為通量)，而符號“D”則表示它是由電荷的位移(Displacement)產生的場，這一名稱是與上述思想實驗中導電極板上的位移電荷相聯系的．

從D的定義可以引出高斯定律．因為對一個閉合面來說，D在整個閉合面的外法線分量上的積分便是ΔQ0，所以ΔQ0也就是抵消原來場的位移電荷，所謂高斯定律便是

Ψe=D·dS=ΔQ0

(4)

即漏出一個閉合面的電通量等于由這個閉合面所包圍的總電荷．

現在我們假設ΔQ0為一點電荷，則由于球對稱性，在距離ΔQ0為R的球面上任一點處有D=aRD(R)，由高斯定律可以得到

(5)

如果我們在距離ΔQ0為R的球面上任一點放置一靜止測試電荷Qt，則如果D=ε0E，那么這個測試電荷所受的力為

(6)

這正是庫侖定律．即如果我們假定高斯定律中的ΔQ0是自由電荷，那么D=ε0E便是自由空間中D與E必須滿足的關系．

當存在媒質時，媒質分子會因極化而產生極化電荷，與自由電荷不同的是，極化電荷是正負電荷錯開形成的分子偶極矩，所以若因“位移”而穿出閉合面的極化電荷是-ΔQ′的話，則在閉合面內便有剩余電荷ΔQ′．對于極化電荷，我們定義極化矢量P

(7)

則P在整個閉合面的外法線分量上的積分

(8)

可以證明，此一定義與一般書上以單位體積內微觀分子電偶極距的矢量和定義的P是一致的[2]．這樣等于是把D看成是自由電荷產生的場(不論是在媒質中還是在自由空間)，把P看成是極化電荷產生的場，只是極化電荷產生的場并不能像自由電荷產生的場那樣抵消原來的場(即自由電荷的場)，所以P和D是不同的場矢量．但不論是在媒質中還是在自由空間，D都由式(3)定義．

可令媒質中的總電荷Q=ΔQ0+ΔQ′，這里ΔQ0代表自由電荷．于是由式(4)和式(8)有

(9)

即總電荷產生的場是D-P．上式也可看成是矢量

D-P的高斯定律．如果Q為一點電荷，則同樣有

(10)

若

D-P=ε0E

(11)

則位于R處的測試電荷Qt所受的力

(12)

滿足庫侖定律．所以式(11)就是媒質中D與E必須滿足的關系．因此我們可以把式(11)看成是由高斯定律借助庫侖定律得到的．也可以把庫侖定律看成是由高斯定律借助式(11)得到的．

從上述思想實驗我們看到，D可以看成是自由電荷產生的場，而真正的電場E則包括了所有電荷的貢獻，但D和E都對所有電荷(自由電荷與極化電荷)有作用．

2.2定義H的思想實驗

圖2　定義磁場強度的密繞通電螺線管線圈

現在，把一棒形磁體放入螺線管并測量這一磁體上受到的力矩．結果發現力矩的強度在螺線管內是均勻的(只要放置的磁體遠離兩端)并且正比于電流I，而此力矩的方向是使磁棒沿螺線管的軸線．我們定義螺線管內的磁場強度的大小等于表面電流JS0，方向為當右手四指朝電流方向握住螺線管時大拇指所指的螺線管的軸向，其單位矢量為az[圖2(c)]，即

H=JS0az

(13)

為了測量空間一點P的磁場強度，我們可以把這個通電小螺線管放在這一點，然后調節電流的大小以及螺線管的取向，直到使螺線管內小磁棒上的力矩為零，那么螺線管內部的磁場一定為零．由于現在的總場是我們要測量的原始場和螺線管電流產生的場之和，所以原始場的大小等于螺線管電流產生的場但方向相反．這一測量也可以在材料媒質中進行，只要在我們的思想實驗中想象這個小螺線管是被固定在材料媒質中的一個很細的管道中．

如果我們把H定義為僅由自由電荷的流動形成的電流I0(來自導電媒質或自由空間中移動的電子、質子、或離子的流動)產生的場，那么在磁化了的媒質中，可以設想一個由表面磁化電流nI′形成的螺線管，定義一個磁化強度矢量M

(14)

∮M·dl=nI′

(15)

而對于H顯然應該相應有

∮H·dl=nI0

(16)

式中I0為自由電荷的流動產生的電流.這就是安培定律．

因為由實驗上的畢奧-薩伐爾定律可以導出單位長度上螺線管內的磁感應強度為[2]

(17)

其方向az也由右手規則確定，但這里的電流是包括了磁化電流的總電流即I=I0+I′．因此磁感應強度與電流的積分關系可寫成

∮B·dl=μ0n(I0+I′)

(18)

由式(15)、(16)以及(18)，有

(19)

在一般電磁學書上安培定律是由畢奧-薩伐爾定律導出的，而在這里我們通過思想實驗定義了H，相當于先假定安培定律，但為了使由畢奧-薩伐爾定律得到的結果式(17)成立，H與M必須滿足式(19)．當然我們也可以把畢奧-薩伐爾定律看做是由安培定律借助式(19)而得到的．

3結論

我們在非時變的靜電和靜磁情況下通過思想實驗定義了電磁場矢量D和H．在第一個思想實驗中，電荷位移使電極之間的場為零實際上是假定高斯定律成立；在第二個思想實驗中，使放入場中的螺線管中的小磁棒受到的力矩為零實際上是假定安培定律成立．而式(11)、 (19)必須在實驗定律即庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律成立的條件下得到，或者說借助式(11)和(19)可由高斯定律和安培定律導出庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律．在一般電磁學書上通常是由庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律這兩個實驗定律導出高斯定律和安培定律的，但我們知道庫侖定律原先是在靜電場中得到的實驗定律，而高斯定律則被麥克斯韋推廣到了時變的情況(這樣等于也把庫侖定律推廣到了動態情形)；同樣，在麥克斯韋方程組中安培定律也是一個基本定律(不過在把它推廣到時變情況時加上了位移電流項)．所以高斯定律和安培定律(時變時應加上位移電流項)是更普遍的定律，由高斯定律和安培定律導出庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律在邏輯上更合理.

參 考 文 獻

1Paul R. Karmel, Gabriel D. Colef, Raymond L. Camisa. Introduction to Electromagnetic and Microwave Engineering. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1998. 57～64

2趙凱華, 陳熙謀. 電磁學(上冊). 北京：人民教育出版社，1978. 141～143,290

3趙凱華, 陳熙謀. 電磁學(下冊). 北京：人民教育出版社，1978. 85～88

Thought Experiments on Defining

Electromagnetic Field Vectors

Pu Tianshu

(College of Sciecce of Donghua University，Shanghai201620)

Abstract：Electric flux density and magnetic field intensity are defined in terms of two thought experiments. Physical meanings of the two vectors can be realized. The relationships between electric flux density and electric field intensity, magnetic field intensity and magnetic induction intensity can be found from Gauss's law and Ampère law in virtue of Coulomb's law and Biot-Savart law on experimentation.

Key words：thought experiment; electromagnetic field vectors; polarization intensity vector; magnetization intensity vector; Gauss's law; Ampère law

收稿日期：( 2015-04-01)

作者簡介：浦天舒(1960-)，男，副教授，主要從事物理光學、大學物理實驗、微波技術的教學和研究工作.