排列組合中的幾何問題和圖形問題

朱海東

一、幾何問題

在幾何圖形中涉及到排列組合的問題主要有三

大類：有關空間四面體；平面三角形；兩直線的交點.

解決這些問題，主要的思路是：充分利用幾何圖形的特點，排除不符合題意的情況，對所求問題進行分

類.

問題1 （1）求以一個正三棱柱的頂點為頂點的四面體的個數？

（2）求以正方體的頂點為頂點的四面體有多少個？

（3）四面體的頂點和各棱的中點共10點.求以這些點為頂點的四面體有多少個？

分析 這一組題目都要求確定四面體的個數，一般都可以采用排除法，把四點共面的情況排除.在排除時要充分考慮圖形的特點，不能遺漏.在問題（1）中，四點共面的情況比較清楚，只有三個側面，所以共有四面體：C46-3=12個.在問題（2）中，正方體中的四點共面可分為兩類：一類是側面；另一類是對角面.側面有6個，對角面也有6個，所以共有四面體；C48-6-6=58個.在問題（3）中，四點共面的情況很容易遺漏，最容易發現的是在四側面上的四點共面，有4C46種；其次是由各邊中點所組成的四點共面，有3種；最隱蔽的是一條棱上的三點和它對棱中點所確定的四點共面，有6種.共有：C410-4C46-3-6=141個四面體.