賞析2015年高考安徽物理卷第24題

賞析2015年高考安徽物理卷第24題

楊鈞捷

(江蘇省海門中學江蘇 南通226100)

收稿日期：(2015-06-14)

1試題及解析

【例1】(2015年高考安徽卷第24題)由3顆星體構成的系統，忽略其他星體對他們的作用，存在著一種運動形式：3顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動(圖示1為A，B，C 3顆星體質量不相同時的一般情況)．若A星體質量為2m，B和C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a．求：

(1)A星體所受合力大小FA；

(2)B星體所受合力大小FB；

(3)C星體的軌道半徑RC；

(4)3星體做圓周運動的周期T．

圖1

參考答案：如圖2所示，以BC連線為x軸，過BC中點D且垂直于BC方向為y軸建立直角坐標系xDy．

(1)根據萬有引力定律，A星體所受B與C星體引力大小相等

則A星體受到的合力大小為

(2)B星體所受A與C星體引力大小分別為

方向如圖2；

圖2

則B星體受到的合力大小為

(3)通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點

或由

得出

(4)3星體運動周期相同，對C星體，由

得

2拓展研究

試題的圖1中給出的是3星質量全部不等，即(mA≠mB≠mC)的一般情況下的運動形式，而試題的問題中則是研究3星質量不全部相等(mA=2m，mB=mC=m)條件下的運動形式，為了對3星圓周運動這種特殊的運動有更深入地了解，下面對質量mA≠mB≠mC的一般條件下3星圓周運動進行分析與計算．

拓展試題：由3顆星體構成的系統，忽略其他星體對他們的作用，存在著一種運動形式：3顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動．如圖1所示，為A，B，C 3顆星體質量不相同時的一般情況．A，B，C 3星的質量分別為mA，mB，mC，且mA≠mB≠mC，求3星繞圓心O做圓周運動的周期T．

解析：位于等邊三角形頂點處3星以相同的角速度ω繞共同的O做圓周運動，根據質心運動定理可知，圓心O為三星系統的質心．

如圖3所示，以D表示mB和mC的質心，則有

圖3

過D作DE//AC，過D作DF//AB，則△BDE與△CDF均為等邊三角形，AEDF為平行四邊形，得出

(1)

在△ABD中，根據余弦定理可得

以O表示A，B，C 3星系統的質心，則O點在AD上，且有

(2)

同理可得

(3)

則mB對mA的作用力是

mC對mA的作用力是

得出

結合式(5)，得出

即fBA和fCA的合力fA的作用線通過質心O，fA的大小為

(4)

同理可證，fB的作用線也通過質心O′，且

(5)

由式(2)～(5)得

(6)

同理可證

(7)

由f=mω2r可知，(6)、(7)二式說明，mA，mB，mC3星可在由初位置所決定的平面內保持相對位置不變繞質心O做勻速圓周運動．做圓周運動的角速度ω亦可由(5)、(6)二式得出為

則3星繞系統質心O做圓周運動的周期為

(8)

當mA=2m，mB=mC=m時，代入式(8)，得

即為高考試題第(4)問的結果．

3試題評析及啟示

(1)本題以宇宙中的三星系統為背景命題, 考查了勻速圓周運動、力的合成與分解、牛頓第二定律、萬有引力定律和向心力公式等主干知識．試題的情境具有乍一看熟悉、細思量陌生的特點．熟悉之處在于歷年的高考題中多次考查了多星問題，是高考復習的重點內容，例如2006年廣東高考題考查了質量相等的3星問題的運動形式．

【例2】(2006年高考廣東卷第17題)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的3顆星組成的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩定的3星系統存在兩種基本的構成形式：一種是3顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是3顆星位于等邊三角形的3個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設每個星體的質量均為m.

(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期．

(2)假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？

陌生之處在于本題中3星的質量不再全部相等，運動形式較之質量相等的3星運動要復雜，要求學生能夠將多星運動問題的分析方法遷移到新的運動情境中，本題是一道能夠鑒別學生物理規律的理解能力，面對新穎物理情境的分析能力、解決陌生問題的遷移能力的優秀試題，充分體現了壓軸題的選拔功能．

(2)通過試題與拓展研究的對比分析可以看出，拓展研究中3星質量全部不等(mA≠mB≠mC)的一般條件下，要用到競賽中的質心定義，數學運算也較為復雜，而在高考試題中3星質量則是不全部相等(mA=2m，mB=mC=m)，從而使3星運動分析具有了幾何對稱性，規避了質心這個高考超綱概念，避免了繁瑣的數學運算，由此可以看出高考試題的匠心獨具．高考試題通過設置具有梯度的4個問題，引導學生有效地進行方法的遷移、逐步深入地分析問題，使試題有了一定的區分度，具備了較好的選拔功能．

(3)高考壓軸題肩負著選拔優秀學生的功能，具有應用型和能力型相結合的特點，對學生理解能力、分析綜合能力以及應用數學處理物理問題的能力要求較高，考慮到競賽題也具有這些特點．因此，在歷年高考中，一些知識點屬于高考范疇的情境新穎的競賽題通過改編出現在高考壓軸題中也就不足為奇．可以認為這是高考壓軸題的一種命題導向，啟示我們在日常教學中要去研究一些適合高考復習用的競賽題，特別要關注一些考點落在高考考綱范疇內的競賽題的情境和模型，對這類試題進行深入研究和改編，使之成為有利于培養學生探究能力、方法遷移能力、建立模型能力的試題，進而有效地培養學生把所學的知識運用到不熟悉的地方去的能力．

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