給分式方程應用題歸歸類

王康康

學習了分式方程的有關內容，同學們還必須得熟練運用分式方程解決實際生活中的問題.常見的實際問題有營銷類應用性問題、工程類應用性問題、行程類應用性問題等幾大類，這些題目看似復雜，但只要抓住“找等量關系、恰當設未知數、確定主要等量關系、用含未知數的分式或整式表示未知量”等關鍵環節，正確列出方程，再進行求解即可.不過同學們一定要注意的是，得出方程的解后，一要檢驗所求的解是否是原方程的解，二要檢驗所求的解是否符合題意，三要注意檢驗和解釋結果的合理性.

一、營銷類應用性問題

例1 某校辦工廠將總價值為2 000元的甲種原料與總價值為4 800元的乙種原料混合后，其單價比原甲種原料每斤少3元，比原乙種原料每斤多1元，問：混合后的原料每斤是多少元？

分析：市場經濟中，常遇到營銷類應用性問題，這類問題中與價格有關的量是單價、總價、平均價等，要了解它們各自的意義，從而建立它們之間的關系式.

解：設混合后的原料單價為每斤 [x]元，則原甲種原料的單價為每斤（[x]+3）元，原乙種原料的單價為每斤（[x]-1）元，混合后的總價值為（2 000+4 800）元， 混合后的重量為[2 000+4 800x]斤，甲種原料的重量為[2 000x+3]斤，乙種原料的重量為[4 800x-1]斤， 依題意，得

[2 000x+3]+[4 800x-1]=[4 800+2 000x]

解得

[x]=17

經檢驗，[x]=17是原方程的根.

所以[x]=17. 即混合后的原料每斤 17元.

總結：營銷類應用性問題，涉及進貨價、售貨價、利潤率、單價、混合價、贏利、虧損等概念，要結合實際問題對它們各自表述的意義有所了解.同時，要掌握好基本公式，巧妙建立關系式.這類問題與現實生活息息相關，因而成為中考常考的熱點問題.

【練習1】

A、B兩名采購員去同一家飼料公司購買同一種飼料兩次，兩次飼料的價格有變化.兩名采購員的購貨方式不同，其中采購員A每次購買1 000千克，采購員B每次用去800元而不管購買飼料多少，問：誰的購貨方式合算？為什么？

二、工程類應用性問題

例2 某工程由甲，乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲，乙兩隊共8 700元；乙，丙兩隊合做10天完成，廠家需付乙，丙兩隊共9 500元；甲，丙兩隊合做5天完成全部工程的[23]，廠家需付甲，丙兩隊共5 500元.

（1）求：甲，乙，丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超過15天完成全部工程，問：由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由.

分析：這是一道聯系實際生活的工程應用題，涉及工期和工錢兩種未知量.對于工期，一般情況下把整個工作量看成1，設甲，乙，丙各隊完成這項工程所需時間分別為x天，y天，z天，可列出分式方程組.

解：（1）設甲隊單獨做需x天，乙隊單獨做需y天，丙隊單獨做需z天，依題意，得

[ 6（[1x+1y]）=1

10（[1y]+[1z]）=1

5（[1x]+[1z]）=[23] ]

[解得x=10y=15z=30]

經檢驗，[x]=10，[y]=15，[z]=30是原方程組的解.

（2）設甲隊做一天廠家需付a元，乙隊做一天廠家需付b元，丙隊做一天廠家需付c元，根據題意，得

[6（a+b）=8 70010（b+c）=9 5005（c+a）=5 500 ]

[解得a=800b=650c=300]

由（1）可知完成此工程不超過既定工期只有兩個隊：甲隊和乙隊.

此工程由甲隊單獨完成需花費10a=8 000元；此工程由乙隊單獨完成需花費15b=9 750元.

所以，由甲隊單獨完成此工程花錢最少.

技巧點撥：在（1）的求解時，把[1x]，[1y]，[1z]分別看成一個整體，可把分式方程組轉化為整式方程組來解.

【練習2】

某工程需在規定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規定日期3天才能完成.現由甲、乙兩隊合做2天，剩下的工程由乙隊獨做，恰好在規定日期內完成，問：規定的日期是多少天？

【練習3】

今年某大學在招生錄取時，為了防止數據輸入出錯，2 640名學生的成績數據由兩位教師分別向計算機輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結果甲比乙少用2小時輸完.問：這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學生的成績？

三、濃度應用性問題

例3 有含鹽15%的鹽水40千克，要使鹽水含鹽20%，還需要加入多少千克鹽？

分析：濃度問題的基本關系是[溶質溶液=濃度].此問題中變化前后三個基本量的關系如下表：

[＼&溶液＼&溶質＼&濃度＼&加鹽前＼&40＼&40×15%＼&15%＼&加鹽后＼&40+[x]＼&40×15%+[x]＼&20%＼&]

解：設還需要加入[x]千克鹽.根據濃度問題的基本關系可列方程

[40×15%+x40+x=20%]

解得

[x]=2.5

經檢驗，[x]=2.5是方程的解，即再加入2.5千克鹽，鹽水的含鹽量就能達到20%.

【練習4】

甲容器有濃度為20%的鹽水40L，乙容器有濃度為25%的鹽水30L，如果往兩個容器中加入了等量的水后，它們的濃度相等，那么應加入多少升水？

四、貨物運輸應用性問題

例4 一批貨物準備運往某地，有甲，乙，丙三輛卡車可雇用.已知甲，乙，丙三輛車每次運貨量不變，且甲，乙兩車每次運貨物的噸數為1∶3，若甲，丙兩車合運相同次數運完這批貨物時，甲車共運了120噸；若乙，丙兩車合運相同次數運完這批貨物時，乙車共運了180噸.這批貨物共有多少噸？

分析：貨物總噸數和三種車每種車可運噸數均為未知數，但可根據所用次數得到等量關系

[120甲車每次運貨噸數=剩余貨物噸數丙車每次運貨噸數；]

[180乙車每次運貨噸數=剩余貨物噸數丙車每次運貨噸數.]

這兩個式子可整理成僅含貨物總噸數這一未知數的方程，求解即可.

解：設貨物的總噸數為[x]噸，甲車每次運a噸，乙車每次運3a噸，丙車每次運b噸.根據題意可得

[120a=x-120b ①1803a=x-180b ②]

解得

[x]=240

經檢驗，[x]=240是方程的解，即這批貨物共有240噸.

【練習5】

五、行程中的應用性問題