數列教學中數學思想方法的挖掘與滲透

鄧平

【摘 要】數學思想方法是數學知識的精髓，是知識轉化為能力橋梁。能否有意識地正確運用數學思想方法解答數學問題，是衡量數學素質和數學能力的重要標志。數列中蘊涵了許多重要的數學思想，在數列教學中注重數學思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義。

【關鍵詞】數學思想；數列思想

1 函數思想

函數思想是用聯系和變化的觀點考察數學對象。數列是一類特殊的函數，以函數的觀點認識理解數列，是解決數列問題的有效方法。

例1：等差數列{an}的前n項和為，已知a1=25，S9=S17問數列的多少項和最大？

分析：易知所給數列{an}不是常數列，等差數列的前n項和Sn是n的二次函數，且常數項為零，所以可利用函數思想研究Sn的最值。

解法1：由a1=25，S9=S17得：

，∴d=-2。

從而；

故前13項的和最大，其最大值為169。

解法2：，Sn的圖像是開口向下的拋物線上一群離散的點，由S9=S17知最高點的橫坐標為，即前13項的和最大。

2 方程思想

方程思想就是通過設元建立方程，研究方程解決問題的方法。在解數列問題時，利用等差、等比數列的通項公式、求和公式及性質構造方程（組），是解數列問題基本方法。

例2：等差數列{an}的前n項和為Sn，若S12=84，S20=460，求S28。

分析：解此題的關鍵是求出數列的通項公式，可利用已知條件列出關于a1和d的方程組求出基本量a1和d，也可用待定系數法確定Sn。

解法1：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，根據已知條件和等差數列的前n項和公式得

解得

∴

從而S28=2×282-17×28=1092

解法2：易知所給等差數列不是常數列，所以它的前n項和可設為，由已知條件得

解得

∴Sn=2n2-17n，S28=2×282-17×28=1092

3 分類討論思想

復雜問題無法一次性解決，常需分類研究，化整為零，各個擊破。數列中蘊含著豐富的分類討論的問題。

例3：已知數列{an}的前n項和Sn=-n2+18n，試求數列{|an|}的前n項和Tn的表達式。

分析：解題的關鍵是求出數列{an}的通項公式，并弄清數列{an}中各項的符號以便化去|an|的絕對值。故需分類探討.

解：當n=1時，a1=S1=-12+18×1=17；

當n≥2時，

an=Sn-Sn-1=-n2+18n-[-（n-1）2+18n]=19-2n

∴當1≤n≤9時，an>0，當n≥10時，an<0，從而

當1≤n≤9時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+an=Sn=-n2-18n；

當n≥10時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+a9-a10…-an=-Sn+2S9

=n2-18n+2（-92+18×9）=n2-18n+162

∴Tn=

4 等價轉化思想

等價轉化就是將研究對象在一定條件下轉化并歸結為另一種研究對象，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題。這是解決數列問題重要方法。

例4：等差數列{an}的前n項和為Sn，a1=6。若S1，S2，…，Sn中，S8最大，數列{an-4}的前多少項和最大？

分析：求Sn的最大值有多種轉化方法。本題可將Sn滿足的要求轉化為公差d滿足的要求；再將k所滿足的條件轉化為它的幾何意義，借助圖示直接寫出結果。

解：設數列{an}的公差為d，則S8最大

設{an-4}的前k項和最大，則有2+（k-1）d>0，且2+kd<0，故有（*）

，

如圖，數軸的兩個陰影區間中，左邊是的取值范圍，右邊是的取值范圍，（*）的成立等價于k取兩個區間之間的自然數，所以k=3，即的前3項和最大。

5 整體思想

整體思想就是從整體著眼，通過問題的整體形式、整體結構或其它整體處理后，達到簡捷地解題的目的。

例5：已知數列{an}為等差數列，前12項和為354，前12項中奇數項和與偶數項和之比為27∶32，求公差d。

分析：此題常規思路是利用求和公式列方程組求解，計算量較大，注意考慮用整體思想去解決，解法十分簡捷。

解：由題意令奇數項和為27x，偶數項和為32x。

∵S12=27x+32x=59x=354，∴x=6

而S偶-S奇=32x-27x=5x=30=6d，∴d=5

6 遞推思想

遞推思想就是通過探求、構造和運用所給問題中的遞推關系解決問題的思想方法。數列問題，從某種意義上講是遞推關系的表現形式。利用遞推思想解決某些數列問題可體現遞推思想解決問題的優越性。

例6：設數列{an}的前n項和為Sn，若對于所有的自然數n，都有，證明數列{an}是等差數列。

分析：證明等差數列一般考慮用等差數列的定義。這里可利用遞推關系，將Sn轉換得an，然后再對an，an-1的遞推關系繼續探求。

解：由得，

∴當n≥2時，

an=Sn-Sn-1=，

即a1+（n-2）an-（n-1）an-1=0

同理a1+（n-1）an-1-nan=0

兩式相減得（n-1）an+1-2（n-1）an+（n-1）an-1=0，

即an+1-2an+an-1=0，

從而有an+1-an=an-an-1（n≥2）

由此可知數列{an}是等差數列。

7 歸納、猜想與證明思想

通過對個別、特殊情況的分析、觀察，發現規律，歸納出一般的結論或性質，再尋求證明方法。這是我們由已知探索未知的重要途徑。

例7：已知數列{an}滿足條件：a2=6，（n-1）an+1=（n+1）（an-1）試求數列{an}的通項公式。

分析：此題求解思路不清晰，從特例入手，觀察、猜想結論，再加以證明不失為一種好辦法。

解：由已知條件，分別取n=1，2，3，…，得

a1=1=1×1，a2=6=2×3，a3=15=3×5，a4=28=4×7，……

通過觀察、歸納、可得出猜想：an=n（2n-1）=2n2-n

用數學歸納法容易證明這一結論是正確的（證明略）。

還有一些重要的思想方法，如數形結合、分析與綜合、聯想與類比，構造模型等思想方法已在上述例題中有所涉及，限于篇幅，不再贅述。

參考文獻：

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