從特殊問題中發現一般規律

王富

在我們接觸到的許多數學問題中，都可能含有某種數學結論。當我們將一些特殊的例子聯系起來研究時，我們或許會很驚奇的發現一個一般性的結論。從特殊到一般，是一種邏輯思維方法。如果我們有意識的運用這種方法來學習數學，研究數學，既是深入的獲得知識的基本方法，也是對思維能力的很好訓練。

例如：對于當a、b∈R+，有：a3+b3≥a2b

+ab2…（1）。這個特殊不等式，我們比較法容易證明它是成立的，接下來我們想到：當a、b∈R+時，a4+b4≥a3b+ab3…（2）是否也成立呢？同樣用比較法證得原來（2）也成立。這樣我們就考慮將這兩個特殊不等式寫成一般形式，提出：

命題（3）：當a、b∈R+時，是否有：an+bn≥an-1b+abn-1，n∈N+成立。

我們仍用比較法來證明：

證明：an+bn-（an-1b+abn-1）

=an-1（a-b）-bn-1（a-b）

=（a-b）（an-1-bn-1）

∵a、b∈R+，且n∈N+，

∴a-b與an-1-bn-1同號或同為零

∴（a-b）（an-1-bn-1）≥0

∴an+bn≥an-1b+abn-1

∴當a、b∈R+時，an+bn≥an-1b+abn-1，n∈N+成立。現在我們通過（1）、（2）兩個特殊例子就發現了命題（3）。

從（1）、（2）到（3）這個過程就是從特殊到一般的思維方式，科學巨匠阿爾貝特·愛因斯坦曾說：“提出一個問題，比解決一個問題還要重要。”所以最后提出的一個一般性的命題是這種思維方式中最重要的一步。

再看下面幾個例子：

例1：證明：

[（a+b）/2]2 ≤（a2+b2）/2

證明結論成立后，從變量的個數考慮提出問題：

[（a1+a2+a3+…+an）/n]2 ≤（a12+a22+a32+…+an2）/n

進而提出命題：

[（a1+a2+a3+…+an）/n]k ≤（a1k+a2k+a3k+…+ank）/n

通過探索證明可知，上式在k>1時是成立的。

例2.已知：AD是△ABC的一條中線，求證：

4AD2=2（b2+c2）-a2

利用余弦定理容易證得。

問題一：如果把BC的中點D一般化，改為BD：DC=m：n，那么，AD與三邊a、b、c的關系怎樣？

問題二：如果點D改在BC的延長線上，且BD：DC=m：n，那么AD與三邊a、b、c的關系又會怎樣？用余弦定理可推算得：

問題一：有：（m+n）2AD2=（m+n）（mb2+nc2）-mna2

問題二：有：（m-n）2AD2=（m-n）（mb2-nc2）-mna2

許多數學問題就是這樣從簡單到復雜，從特殊到一般產生出來的。數學家們總是對問題不斷地推廣，雖然其中也總有解決不了的問題，但卻推動了數學的不斷發展。