不同彈性地基板的力學響應分析

不同彈性地基板的力學響應分析

郭晶晶

(同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室上海201804)

摘要以薄板理論為前提，通過漢克爾積分變換，推導在圓形均布荷載作用下k(文克勒)地基、E(半空間)地基，以及雙參數地基3種不同彈性地基上無限大板的撓度和彎矩的解析解，得到在不同地基和荷載半徑條件下荷載中心點的撓度系數、彎矩系數值，以及沿板半徑方向的彎沉盆。分析3種地基模型及荷載半徑對板力學響應量的影響差異。

關鍵詞彈性地基薄板力學響應量

DOI10.3963/j.issn.1671-7570.2015.02.028

收稿日期：2014-11-24

水泥混凝土路面是最常用的2種路面類型之一。我國石灰石資源豐富，水泥產量居世界首位，為水泥混凝土路面的修建提供了有力的條件和發展空間。建立水泥混凝土路面結構在荷載和環境因素作用下力學響應的定量模型，是路面結構設計理論的基本依據[1]。

目前，世界各國剛性路面設計方法所依據的力學計算理論，主要是彈性地基板理論，具有代表性的彈性地基模式，是以地基反應模量表征的溫克勒地基、考慮剪切的雙參數地基以及以彈性模量和泊松比表征的彈性半空間地基。相對于解析解的計算研究，國內外利用限差分法、有限條法、有限元法和邊界元法等數值解法解決彈性地基板的問題更為普遍[3-5]，3種彈性地基模型對板的影響也尚無系統的分析。文獻[6]中已給出k地基與E地基上薄板的解析解，本文利用漢克爾變換推導雙參數地基上薄板的解析解，分析3種地基模型及荷載對板力學響應量的影響差異。

1不同地基模型

k地基是Winkler于1867年在計算鐵路路軌時提出的一個假設，他認為土介質表面任一點處的位移w與作用在該點的應力p成正比，即p(r)=k0w(r)與作用在其他點的應力無關。

彈性半空間地基模型是把地基假設為均勻、各向同性、彈性的半無限體。與k地基模型相比，這種模型屬于連續介質模型，不僅可以反映荷載作用范圍內土體的沉降變形，也能反映荷載作用范圍外土體的位移。

k地基理論雖然簡單直觀，但不能很好地描述土體的連續性；而彈性半空間連續介質模型高估了地基的擴散能力，在數學上較為復雜，難以在實際工作中得到廣泛應用。為此，人們提出了介于它們之間的一類地基模型，即雙參數地基模型。雙參數地基的力學實質就是在互不相關的線性彈簧上鋪一恒定水平張力的薄膜，即

2薄板假設

小撓度薄板，指這種板在荷載作用下的撓度w與板厚h相比是一個微小量(w?h)。分析小撓度薄板結構彎曲問題時，采用如下3個基本假設。

(1) 豎向的正應變εz可忽略。

(2) 豎向壓應力、剪應力的變形可忽略。

(3) 中性面無拉伸與壓縮變形。

3雙參數地基板的微分方程

(1)

式中：k0為地基反應模量；k2為表征地基橫向聯系的彈簧系數；q(r)為均布荷載。

利用漢克爾積分變換

(2)

引入板相對彎曲剛度半徑l，得到板撓度表達式

(3)

將板的撓度表達式帶入彎矩表達式中，推得

(4)

圓形均布荷載作用下的彈性地基上無限長大板，其板撓度w，截面法向彎矩Mr、切向彎矩Mθ可用撓度系數φw，徑向彎矩系數φMr,切向彎矩系數φMθ表征。其中：徑向彎矩系數φMr、切向彎矩系數φMθ也可用2個彎矩參數AM，BM表征，即：

式中：P為圓形均布荷載總量,P=q0πa2。

不同地基、板模型和荷載類型條件下的無限大板的撓度系數φw，彎矩參數AM，BM的漢克爾變換解可統一表示為

其中，不同地基的F(t)也不相同，見表1。

表1　均布荷載作用下的函數 F( t)和系數 C w

4不同地基模型的比較分析

當E=30 000MPa，k0=100 MPa/m時，分析不同地基假設和荷載半徑對撓度系數φw及彎矩參數AM，BM的影響。

在圓形均布荷載作用下，2種地基(k地基、E地基)薄板的撓度系數φw、彎矩參數AM，BM與距中心的相對距離ρ的關系曲線見圖1。由圖1a)可見，2種地基的撓度系數φw與距中心的相對距離ρ的關系曲線形狀相似，但k地基的φw值明顯小于E地基的φw值，且收斂也較快，在ρ=4附近越過零位；其次，荷載圓相對半徑α對撓度系數φw的影響僅局限于ρ<1.5。從圖1b)，c)可見，在荷載圓相對半徑α較小時，2種地基的彎矩參數AM，BM很相近，隨著荷載圓相對半徑α的增大，兩者的差異稍有增加，另外，在ρ∈[0.5,2.5]范圍內AM的差異較明顯。

荷載圓中心點2種地基的撓度系數φw0，彎矩參數AM0與荷載圓相對半徑α的變化規律見圖2。

a)φw-ρb)AM-ρc)BM-ρ

圖12種地基薄板的φw，AM，BM圖

a)φw0-αb)AM0-α

圖22種地基薄板荷載中心點的φw0，AM0圖

由圖2可見，2種地基的荷載圓中心點的撓度系數φw0-α曲線基本平行，E地基的φw0值較k地基的φw0值大0.067 5；在α較小時，2種地基的荷載圓中心點彎矩參數AM0十分相近，但E地基的AM0隨α增大而衰減的速度較小，當α<0.5時，兩者相差小于0.7%，當α=1時，E地基的AM0值較E地基的AM0值大3.8%，當α=2時，E地基的AM0值較E地基的AM0值大20%。

均布圓形荷載(α=0.2)作用下的雙參數地基上薄板，地基橫向聯系參數θ對薄板的撓度系數φw的影響規律見圖3。

圖3　雙參數地基薄板的φ w-ρ圖

由圖3可見，隨著地基橫向聯系參數θ的增大，荷載及附近區域板撓度變化幅度增大，在ρ≥2.8區域板撓度變化稍有減?。浑p參數地基板的最大撓度系數φw0、最大彎矩參數AM0均減小，減少的幅度附著荷載圓相對半徑α的加大而略有減小，見圖4。

a)φw0-αb)AM0 -α

圖4雙參數地基薄板荷載中心點的φw0，AM0圖

4結論

(1)k地基的撓度系數值明顯小于E地基，但是撓度變化率基本一致且快速收斂。

(2) 隨著荷載半徑的增大，彎矩系數AM，BM差異越來越大，但隨后又各自迅速收斂。

(3) 雙參數地基是介于k地基與E地基之間的一種地基模型，橫向聯系系數θ對撓度的影響比對彎矩的影響更加顯著。

參考文獻

[1]姚祖康.水泥混凝土路面設計理論和方法[M].北京:人民交通出版社，2003．

[2]呂惠卿，張湘偉，成思源．水泥混凝土路面力學性能研究綜述[J].重慶大學學報:自然科學版，2005，28(6)：60-63．

[3]熊淵博，龍述堯．用無網格局部Petrov-Galerkin方法分析Winkler彈性地基板[J].湖南大學學報:自然科學版，2004，31(4)：101-105．

[4]李寧.Winkler地基上彈性薄板求解的有限差分法[J].解放軍理工大學學報:自然科學版，2004(5)：64-66．

[5]MELERSKI E S．Simple computer analysis of circular rafts under various axsymmetric loading and elastic foundation conditions．Proceedings of Institute of Civil Engineers，Part 2：Research and Theory，1990，89：407-431．

[6]朱照宏，王秉剛，郭大智.路面力學計算[M].北京：人民交通出版社，1985．

Mechanical Response Analysis of Different Elastic Foundation Plate

GuoJingjing

(Key Laboratory of Road and Traffic Engineering if Ministry of Education Tongji University, Shanghai 201804, China)

Abstract：On the premise of thin plate theory, three different deflection and bending moment analytical solutions of Winkler foundation, E (half space) foundation and double parameters foundation are deduced through the Hankel integral transformation. And the center deflection, bending moment coefficient and deflection basin along the radius direction of the elastic foundation plate on the condition of different foundation and the load radius are got. The difference and effect of the three kinds of foundation model and the load radius on the mechanical response are analyzed.

Key words: elastic foundation plate; thin plate; mechanical response