正弦型黏彈性拱的非線性動(dòng)力學(xué)行為研究

第一作者黃繁男，博士，1985年12月生

通信作者戴紹斌男，研究員，1965年1月生

正弦型黏彈性拱的非線性動(dòng)力學(xué)行為研究

黃繁，戴紹斌，黃俊

(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，武漢430070)

摘要：利用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的本構(gòu)關(guān)系建立了黏彈性拱的控制方程，采用Galerkin方法簡(jiǎn)化了拱的數(shù)學(xué)模型。提出一種求解含分?jǐn)?shù)算子的非線性方程的數(shù)值方法，并利用該方法對(duì)控制方程進(jìn)行求解。考察載荷參數(shù)、材料參數(shù)對(duì)拱動(dòng)力響應(yīng)的影響。運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)中各種經(jīng)典的分析方法，如時(shí)程曲線、功率譜、相圖、龐加萊截面等，判別并揭示了黏彈性拱的豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)；黏彈性拱；數(shù)值方法；相圖；龐加萊截面

基金項(xiàng)目：湖北省自然科學(xué)基金(2012FFB05112)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-04-30

中圖分類號(hào):Tp12；Tp13.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.027

Abstract:The motion equation governing the dynamical behaviors of a viscoelastic arch was derived. The viscoelastic material was assumed to obey the fractional derivative constitutive relation. The motion equation was simplified by Galerkin method. An effective numerical method for solving the nonlinear equation with fractional operator was developed and the motion equation governing the dynamical behaviors of the viscoelastic arch was solved with the method. The influences of load parameters and material parameters on the dynamic responses of arch were considered respectively. By using some classical methods in nonlinear dynamics, such as the methods of time history curves, power spectrum, phase diagram, Poincare section, etc., the complex dynamic behaviors of viscoelastic arch were discriminated and revealed.

Nonlinear dynamic behaviors of sine type viscoelastic arch

HUANGFan,DAIShao-bin,HUANGJun(School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

Key words:fractional derivative; viscoelastic arch; numerical method; phase diagram; poincare section

經(jīng)典的黏彈性本構(gòu)模型在描述黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系及其力學(xué)特性方面存在著很大的局限性，大量的實(shí)驗(yàn)及工程實(shí)際都表明，至少對(duì)一大類高分子聚合物材料，例如一類地層結(jié)構(gòu)、聚合物、硅膠、合成纖維、玻璃陶瓷等，分?jǐn)?shù)微分型黏彈性本構(gòu)關(guān)系可以在很寬的頻率范圍內(nèi)描述材料的力學(xué)行為[1-7]。

目前已經(jīng)有不少學(xué)者對(duì)彈性拱做了分析[8-10]，但對(duì)黏彈性拱的研究還比較少見(jiàn)，本文利用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的本構(gòu)理論建立了黏彈性拱的數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)中各種經(jīng)典的方法進(jìn)行分析，如時(shí)程曲線、功率譜、相圖、龐加萊截面等[11-13]。分別考察了載荷參數(shù)和材料參數(shù)對(duì)拱動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1數(shù)學(xué)模型及其簡(jiǎn)化

考慮兩端鉸支的黏彈性扁拱，L是拱的跨度，A是橫截面面積，ρ是質(zhì)量密度，I是截面慣性矩。記X表示水平軸，Y0(X)，Y(X,t)分別表示初始形狀和變形后的形狀坐標(biāo)。Q表示拱的垂直振動(dòng)載荷，假設(shè)H、M分別為拱單元截面上的水平力和彎矩，由動(dòng)力平衡條件：

(1)

引入分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系描述拱材料特性,設(shè)有

σ(t)=E0ε(t)+E1Dq[ε(t)]

(2)

式中E0和E1為材料常數(shù)， 0

拱單元截面上的彎矩

(3)

拱的軸向變形

(4)

拱單元截面上水平力

(5)

為了書(shū)寫(xiě)方便，定義算子

S=E0+E1Dq=E0(1+ηDq)

則有

(6)

(7)

將式(7)、(8)代入式(1)中，因此黏彈性拱的動(dòng)力微分方程可以轉(zhuǎn)化為

(8)

拱的邊界條件：x=0,x=l時(shí) ，

(9)

設(shè)w(x,t)=Y(x,t)-Y0(x)代入式(8)中，則微分方程可轉(zhuǎn)化為：

(10)

k3uDq(u2))+k1u+k2u2+k3u3=0

(11)

2算法描述

考慮黏彈性拱受單個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用，則其受迫振動(dòng)微分方程為

k3uDq(u2))+k1u+k2u2+k3u3=pcosωt

(12)

利用分?jǐn)?shù)微積分的性質(zhì)，可得

(14)

運(yùn)用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)方程組(13)進(jìn)行求解，其中z(t)和z1(t)利用下文推導(dǎo)的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)數(shù)值算法進(jìn)行計(jì)算。

考慮Z(t)=Dqx(t)的計(jì)算方法。取等距積分步長(zhǎng)為Δt，由于被積函數(shù)在t=nΔt時(shí)有奇性，所以，當(dāng)t=nΔt足夠大時(shí)，把積分分成兩部分

(15)

設(shè)Z(t)=J0+J1+J2，其中

(16)

(17)

(18)

J0可以直接求出，J1可以通過(guò)梯形求積公式直接求得。

而J2由于在積分上限處被積函數(shù)奇異，需要進(jìn)行特殊處理。本文采用等距GAUSS求積方法進(jìn)行線性化處理，設(shè)權(quán)重函數(shù)為

(19)

3動(dòng)力學(xué)行為分析

3.1載荷的影響

圖1　載荷參數(shù)p改變時(shí)，位移分岔圖 Fig.1 Bifurcation of displacement-exciting amplitude

給定材料參數(shù)和幾何參數(shù)為k1=10,k2=6,k3=2,η=0.02,ω=1.6,q=0.5。圖1為載荷參數(shù)p發(fā)生變化時(shí)，黏彈性拱的位移分岔圖。

從圖1可以看到 ，系統(tǒng)由倍周期分岔進(jìn)入混沌。當(dāng)載荷參數(shù)比較小時(shí)p<9.4，系統(tǒng)為周期1的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)p∈(9.4,13.8)時(shí)系統(tǒng)為周期2的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)p>13.8時(shí)，系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng)(如圖2所示)。

當(dāng)p=14時(shí)：

從圖2不難看出，系統(tǒng)顯現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，龐加萊截面上顯示了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)。圖3為相位角改變時(shí)，得到的不同狀態(tài)的龐加萊截面。

通過(guò)考察載荷參數(shù)p對(duì)運(yùn)動(dòng)行為的影響，我們發(fā)現(xiàn)，在參數(shù)p比較小時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為周期運(yùn)動(dòng)。隨著p值的增加，系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生分叉。當(dāng)p>13.8時(shí)，系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng)或者混沌運(yùn)動(dòng)。

(a) 相圖(b) 時(shí)程圖(c) 功率譜(d) 龐加萊截面圖2 動(dòng)力學(xué)行為圖Fig.2Diagramofdynamicalbehaviors

圖3 龐加萊截面Fig.3Poincaresection圖4 材料參數(shù)η發(fā)生變化時(shí),位移分岔圖Fig.4BifurcationdiagramofDisplacement-materialparameter

3.2材料參數(shù)η的影響

給定相關(guān)材料參數(shù)、幾何參數(shù)k1=10,k2=6,k3=2,ω=1.6,q=0.5,p=14。圖4為材料參數(shù)η發(fā)生變化時(shí)，拱的位移分岔圖

從圖4中，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料參數(shù)η值較小時(shí)(η<0.020 2)，系統(tǒng)作擬周期運(yùn)動(dòng)或者混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)η∈(0.020 2,0.02 2)時(shí)，系統(tǒng)作多周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)η∈(0.022,0.022 8)時(shí)，系統(tǒng)作擬周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)η>0.022 8時(shí)，系統(tǒng)又作周期運(yùn)動(dòng)

從數(shù)值仿真可見(jiàn)，單個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的黏彈性拱的橫向振動(dòng)可能是定常振動(dòng)也可能是混沌振動(dòng)。當(dāng)材料參數(shù)η比較小時(shí)作混沌運(yùn)動(dòng)，隨著η值的增大，系統(tǒng)為多周期或擬周期相間出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)η>0.022 8時(shí)系統(tǒng)又作周期運(yùn)動(dòng)。材料參數(shù)η的增加，材料的阻尼性增加，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4結(jié)論

(1)建立了具有分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型本構(gòu)關(guān)系的黏彈性拱的控制方程，用GALERKIN方法簡(jiǎn)化了拱的數(shù)學(xué)模型，得到了關(guān)于位移的具有弱奇異性的非線性積分-微分方程。

(2)考察了載荷參數(shù)p對(duì)拱的動(dòng)力響應(yīng)的影響。在其它參數(shù)不變的情況下，隨著載荷參數(shù)p的增加，系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生分叉。當(dāng)p>13.8時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)演變?yōu)閿M周期運(yùn)動(dòng)或者混沌運(yùn)動(dòng)。

(3)考察了材料參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響。在其它參數(shù)不變的情況下，隨著材料參數(shù)的增加。系統(tǒng)逐漸演變?yōu)槎嘀芷诨蛘邤M周期運(yùn)動(dòng)相間出現(xiàn)的狀態(tài)。當(dāng)材料參數(shù)η>0.022 8，系統(tǒng)又作周期運(yùn)動(dòng)。材料參數(shù)的增加有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定。

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