世間最神秘的三個數字（八）

劉瑋

發明國際象棋的達依爾被砍頭了，可以說他死在了指數的威力之下。他所要的棋盤上每格麥粒數為一個數列之和：

20 + 21 + 22 + 23 + … + 263

如果2的指數是個變量x，則函數y = 2x就是一個指數函數。底數大于1的指數函數是一個加速增長的函數，達依爾就是因為指數函數的瘋狂增長而丟了性命。

自然界事物的增長或變化，一般都基于其原有數量，就好比存在銀行的錢，其利息增長的多少，在利率一定條件下取決于存入本金的多少……

皓天：“一個體重100千克的大胖子，一周減肥1千克是很容易的，但一個體重50千克的人一周減1千克就不容易了。”

鵬飛：“可是一個考90分的學生要想考100分是很難的，但一個考50分的人想考到60分還是很容易的。為什么？”

“哈哈！想考我？考90分的學生可提升到滿分的分數只有10分，而考50分的學生卻有50分的提升空間。”

“思想挺深刻啊！我們先來做個試驗。”

鵬飛取來3杯清水，分別標上1、2、3，其中1、2兩杯都加1匙鹽，3這杯加4匙鹽。

“你分別嘗一下這3杯水的咸度。”

“不用嘗就知道這1、2兩杯一樣咸，3更咸。”

“現在我在第2杯里再加鹽，看看加多少時會感覺它的咸度介于1和3之間。”

皓天思考了一下：“按理應該是加2匙半。”

鵬飛又取來第4杯清水，加了2匙半鹽，而在第2杯中加了1匙鹽。

“你再嘗嘗，這兩杯哪個咸度介于1和3之間。”

為公平起見，皓天每次嘗后都要用清水漱口再嘗。

“是第2杯的咸度恰好介于1和3之間！”

鵬飛：“有何感想？”

“看來人的味覺不是按照物質濃度成正比來的，倒像是按照等比規律來的。要想咸度是第3杯的2倍的話，是不是就得加8匙鹽？”

不等鵬飛回答，皓天立即動手，在加了2匙半的杯中再加了5匙半鹽，一嘗，果然感覺像是加入4匙鹽后咸度的2倍。

“明明是等比例增長的，可人感覺卻是等差增加的。”

“也就是說，人感覺的是指數！”

“是的，2的幾次方，人的感覺就是幾倍！”

鵬飛打開電腦：“走，我們去看一場感覺測量。”

皓天也立刻戴上電極頭盔。電腦把他們帶到1825年，德國生理學家恩斯特·海因里希·韋伯主持的一個測試現場。

只見參與測試的5個人都被蒙上了雙眼，同時手提不同的重物。

“現在，我們要給你們手提的重物加重。”韋伯提醒著被試者，“請在你們感覺到重量增加的時候告訴我們。”

于是，助手們開始向重物上一點一點小心地添加沙子，當被試者感覺質量增加時即刻停止。

“現在我們來測量各自增加的沙子質量。”韋伯親自一一測量。

不一會，結果出來了，分別大約是1磅、2磅、3磅、4磅和5磅，對應被試者原來所提的質量分別是10磅、20磅、30磅、40磅和50磅。

韋伯臉上露出不易察覺的興奮，測試再次驗證了他的猜測。

韋伯宣布了他的發現：“人對力的反應s遵循對數定律ds=k 。在這次關于力的測試中，k = 10。”

鵬飛和皓天退出電腦的虛擬幻境。鵬飛：“后來，韋伯的發現被物理學家古斯塔夫·西奧多·費希納所推廣，形成著名的韋伯—費希納定律：人類的反應s 遵循對數定律s = kln 。”

皓天：“如果改變一下公式的形式，可寫成w = w0e ，k是個常數，或寫成w = w0eks。也就是說，要使人作出的反應等階遞增，相應的物理刺激必須以一個常數比率遞增，或者說以幾何級數遞增。可是，從韋伯的ds=k 怎么得到 s = kln 呢？”

鵬飛：“韋伯公式中的ds是人感覺的下限閾值，是個小量，dw是增加的物理刺激量，也是個小量，w0是原刺激量，ds=k 就是個微分方程啦。對這個方程積分就得到了韋伯—費希納定律。”

皓天，“這個定律是說人的任何感覺都是按照對數規律進行的嗎？”

鵬飛：“對各種感官的研究表明，它們都是遵循這一規律的。”

“我懂了，人類的感覺既可讓人精確地感受到細微的變化，又可在刺激太強烈時變得遲鈍些，以保護感覺器官不至受損。可以用‘鬼斧神工來形容人類感覺器官的這種微妙。”皓天說這番話時，禁不住眨眨眼做了個鬼臉。