閃爍在高考和競賽試卷中的公切線問題

閃爍在高考和競賽試卷中的公切線問題

●吳文堯(北侖中學浙江寧波315800)

雖然現(xiàn)行的高考數學考試說明中對圓錐曲線的公切線問題沒有明確的要求，但因為直線與曲線相切是直線與曲線位置關系中最特殊的情況，所以圓錐曲線的切線問題常常得到命題者的青睞．筆者發(fā)現(xiàn)2014年浙江省數學高考理科試卷中的圓錐曲線試題、2015年浙江省高中數學競賽中的圓錐曲線試題都或明或暗地涉及橢圓和圓的公切線問題，且都可由2004年四川省高中數學競賽試題中的圓錐曲線試題變形得到．下面介紹這幾道試題間的聯(lián)系及解決這類問題的常用思想方法，供大家參考．

1一道十年前的數學競賽題

圖1

分析1本題是圓錐曲線中的最值問題，可以考慮通過建立目標函數的方法解決.又注意到當動圓T的半徑r確定后，|AB|的值也隨之確定，因此可選擇以r為目標函數的變量,問題的關鍵是如何把|AB|用r表示．其難點是如何合理地利用“AB是圓和橢圓的公切線y=kx+t”這個條件．當時命題組提供的解法是：設公切線的方程為y=kx+t，分別代入圓和橢圓的方程，再利用根的判別式解之.由于涉及的都是有關字母的運算，其運算量可想而知.事實上，直接利用圓錐曲線的切線方程，可減少許多推算過程．

解法1不妨設點A,B在第一象限，由于點A在橢圓C上，可設A(acosθ,bsinθ)，橢圓C在點A處的切線l的方程為

設B(rcosα,rsinα)，則動圓T在點B處的切線方程為

因為方程(1)和(2)表示同一直線,所以

得

由sin2α+cos2α=1得

從而

在Rt△OAB中,

|AB|2= |OA|2-|OB|2=

a2cos2θ+b2sin2θ-r2=

(a2-b2)cos2θ+b2-r2=

(a2+b2)-2ab=(a-b)2,

當r2=ab時,|AB|取得最大值a-b.

分析2當動圓T的半徑r確定后，公切線AB也隨之確定，其斜率也確定.反之，若公切線的斜率確定，則動圓T的半徑r也確定，|AB|也確定，因此，也可以選擇公切線的斜率為目標函數的變量．

設直線AB的斜率為k,則

即

從而

因為直線AB⊥OB，所以直線OB的方程為

x+ky=0，

從而

2一道2014年浙江省高考試題

圖2

1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點P的坐標；

2)若過原點的直線l1與l垂直,證明:點P到直線l1距離的最大值為a-b.

背景說明記l1與l的交點為Q，以O為圓心、OQ為半徑的圓記為圓T，則直線l即為圓T與橢圓C的公切線，把例1中的動圓從“臺前”移到“幕后”；再增加求公切線與橢圓公共點的坐標這個中間步驟，即得到例2，因此本題可以由例1“加工”后得到，其解法完全可以參照例1的解法2．

3一道2015年浙江省競賽試題

1)求橢圓C1的方程；

2)若直線l與曲線C1，C2都只有1個公共點，記直線l與圓C2的公共點為A，求點A的坐標．

分析1本題要求的是橢圓和圓的公切線與圓的切點，問題的關鍵是求其公切線的方程.若直線l的方程為y=kx+m(其中k,m∈R)，則只需得到關于k和m的2個方程(由直線l與橢圓C1、圓C2都相切可得)．

圖3

2)當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意.當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+m(其中k,{m∈}R)，點A的坐標為(xA,yA)，聯(lián)立方程

消去y得

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

從而

Δ1=16(4k2-m2+1)=0,

即 4k2-m2+1=0.

(3)

聯(lián)立方程

消去y,得

從而

(4)

從而

經檢驗A(0,2)或A(0,-2)符合題意，故點A的坐標為(0,2),(0,-2).

評注這是命題組提供的參考答案，其可取之處是思路自然，且操作比較靈活，不用求出其公切線方程，而是直接求出切點的坐標．不足之處是要通過2次利用判別式，運算量還是有點大．

分析2雖然本題給出的圓的圓心不在原點，但探求2條曲線公切線方程的思想方法與例1還是同出一轍，因此也可仿照例1的解法1“如法炮制”．

解法2設直線l與橢圓相切于點B(2cosθ,sinθ)，則橢圓在點B處的切線l的方程為

因為方程(5)和方程(6)表示同一直線，所以

從而

由sin2θ+cos2θ=1可得

解得

從而

由此可得A(0,±2)．

分析3若能求出2條曲線的公切線方程，則問題自然解決了.而處于非標準位置的圓的切線方程的形式有點繁雜，當直線與圓相切時，其幾何意義非常明顯，若利用其圓心到切線的距離等于半徑，則還可以進一步化簡運算過程．

解法3設直線l與橢圓相切于點B(2cosθ,sinθ)，則橢圓在點B處的切線l的方程為

xcosθ+2ysinθ=2.

解得

從而

4反思與感悟

1)中學數學教師要重視試題的編擬.編擬試題是數學教學工作的重要組成部分，也是反映教師教學、科研能力的重要方面.而現(xiàn)實的情況是許多教師不重視這方面的工作，在完成學校的命題任務時，往往敷衍了事、照搬照抄復習資料中的試題，其試卷質量可想而知．對經典陳題的變形、改造是編擬試題的重要途徑之一.浙江省數學會的命題專家編擬的這2道圓錐曲線解答題，其“原形”都可以看成是例1，這也為廣大中學數學教師如何編擬試題提供了一個很好的范例．

2)在平時教學中要重視解題方法的總結和提煉.有考試，就會有應試，“如何提高學生的應試能力、提高數學復習課的效率”是大家一直關心的話題.現(xiàn)實的情況還是“題海茫茫，苦海無邊”，學生往往為做題而做題，缺少及時地反思和總結，復習的效果并不理想．在本文提供的3道試題中，若能對例1作透徹地研究和總結，明確解決公切線問題的2大對策(其一是利用直線的普通方程，把切線方程分別代入2條曲線的方程，然后利用判別式求解；其二是利用曲線的參數方程，利用2條直線重合的條件求解),則解決例2、例3就會很順手了．