淺議映射與函數及相關概念的異同

劉金婷 劉嘉瑞

摘要： 文章分析了映射和函數在不同工具書中定義的異同，并根據定義的不同討論了形成概念不一致的原因：主要是由于函數概念隨著數學的發展不斷擴展造成的。文章還探討了映射、函數、算子、泛函之間的相互關系及在各數學分支中的習慣用法。

關鍵詞：映射，函數，算子，泛函

中圖分類號：N04；O1文獻標識碼：A文章編號：1673-8578（2015）06-0050-03

引言

在科技術語中，有很多概念交叉、錯綜復雜、同義異名及同名異義的現象，厘清這些術語之間的概念差別是術語工作的重要內容之一。在數學中，經常會用到映射（mapping）和函數（function），按照集合論的觀點，它們都是表示兩個非空集合之間的特殊對應關系。然而在不同的教科書和工具書中，它們的定義不盡相同，且有的定義相差較大，這就給學習和使用的人帶來了困惑。比如在《中國大百科全書》（第二版）[1]和大學教材《高等數學》[2]中，稱函數是映射的一種特殊情況，函數是實數域到實數域的映射。而在專業工具書如《數學大辭典》[3]和《數學百科全書》[4]中，稱函數就是映射，二者完全等同。與這兩個概念含義相近的還有算子（operator）、泛函（functional）等，這些概念之間具體有什么差別？本文嘗試分析并探討其差異，建立起它們之間的邏輯關系。

一映射的概念

映射是集合論中非常基本的概念，它的定義并無爭議，在不同的教科書或者工具書中只有一些表述的差異。在《高等數學》中，映射的概念如下：設數集X、Y為兩個非空集合，如果存在一個法則f使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射[2]。也就是說映射是建立在兩個非空集合之間的對應關系，并且滿足以下幾個條件：（1）“對X中每個元素x”，就是說X中不能有剩余元素；（2）“在Y中有唯一確定的元素y與之對應”，就是說在Y中有即可，也就是Y中可以有剩余元素；（3）“唯一確定”，說明X中的一個元素不能在Y中對應多個元素，即“不能一對多”；（4）X中的一個元素在Y中只能對應一個元素，即可以“一對一”；（5）X中的多個元素也可以在Y中對應一個元素，也就是可以“多對一”。在《中國大百科全書》中稱其為函數概念的推廣，而在《數學大辭典》和《數學百科全書》中稱映射就是函數。

二函數的概念

函數是數學中最重要的術語之一，但是其概念卻并不完全統一。在大學教材《高等數學》中，函數的定義如下：設數集DR，則稱映射f∶D→R為定義在D上的函數，在這個函數定義中，對每個x∈D，按對應法則f，總有唯一確定的值y與之對應，這個值稱為函數f在x處的函數值[2]。從中可以看出，這個定義中的“函數”是映射的一個特例，包含于映射，并且其是實數集到實數集的映射。在《中國大百科全書》第二版中稱函數本質上是數集之間的一種對應（或稱為“映射”）[1]。這也是說函數本質上是一種映射，是數集上的映射，它與映射的概念不同，它的范圍小于映射。

而在《數學大辭典》中的函數定義為：即映射。設X與Y為給定的兩個集合，f是某個法則，每個x∈X按照f對應唯一的y∈Y，稱f為從X→Y的一個函數[3]。《數學百科全書》中函數的定義也是從集合論的角度給出，與上述定義內涵一致，還指出函數的概念與映射等價[4]。這就是說函數等同于映射，兩者概念一致。

由此可見，在不同的工具書中，映射和函數的關系并不相同。這主要是由于函數這個術語的概念在歷史上發生過多次變化，其概念不斷擴展，所以才形成了函數概念的不一致，從而函數和映射的關系也不一致。

三函數概念的發展歷史

作為數學中非常重要而又非常基本的術語，函數概念的形成和發展經歷了一段比較長的歷史過程。Function這個詞首先由萊布尼茨（G.W.Leibniz）提出，后來被中國數學家李善蘭譯為“函數”。1755年， 歐拉（L.Euler）在他的《微分學原理》的序言中又給出了如下定義：“ 如果某些量以這樣的方式依賴于另一些量， 即當后面這些量變化時， 前面這些變量也隨之變化， 則將前面的變量稱為后面變量的函數。”[5]后來隨著分析學的發展，函數的概念也隨之擴展。伯努利（J.Bernoulli I）等人拓廣了函數自變量的取值范圍， 他們允許自變量取函數， 從而產生了泛函，開創了泛函分析學科。由此可見，泛函的概念原本大于函數的概念。

1837年狄利克雷（P.G.Dirichlet）也給函數下了一個定義：如果對于給定區間上的每一個x的值有唯一的y值同它對應， 那么y就是x的一個函數， 至于在整個區間上y是否按照一種或多種規律依賴于x， 或者y依賴于x是否可用數學運算來表達， 那都是無關緊要的[6]。這個概念推廣到實數域即是我們現在常用的函數的用法。隨著集合論的大力發展，人們認識到函數與映射的內涵是一致的，于是將函數的概念進一步擴展。戴德金（R.Dedekind）首先將映射和函數的概念統一了起來。布爾巴基（N.Bourbaki）學派1939年給出了函數的一個較完整的定義：設E和F是兩個集合， 它們可以不同， 也可以相同，E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關系稱為一個函數， 如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足跟x的給定關系，我們稱這樣的運算為函數。這也是現在數學專業工具書上常用的定義。所以根據現代數學的觀點，映射等同于函數，他們的概念是統一的。出現函數定義的差別主要原因在于根據分支學科的適用范圍采用了歷史上曾有的函數定義，而不完全采用現代數學觀點中的函數定義。

四算子、泛函等相關概念

算子是指從一個空間到另一個空間的映射。在泛函分析中習慣稱為“算子”，而稱取值為數域的算子為“泛函”。基于此發展起來的算子理論是研究抽象空間之間的對應關系的重要領域。算子的范圍相對于泛函來說擴展了，如果兩個空間都為實數域，則此算子就是傳統概念中的函數。可見算子的概念大于泛函和傳統概念中的函數。endprint

如果將函數的定義域從實數域擴展到復數域，那么以復數作為自變量和因變量的函數稱為復變函數。定義域為實數域的函數可以看作是復變函數的特殊情況。一個自變量對應多個因變量的情況，稱作多值函數。

五映射、函數、算子、泛函之間的相互關系

由上文分析可見，映射、函數、算子、泛函從本質來看基本是一致的，只是它們的應用范圍不同。函數和映射是兩個集合的特殊對應關系，泛函是空間對數集的映射，算子是空間對空間的映射，算子是擴大的泛函。雖然以現代數學的觀點，映射和函數完全等同，但是在分析學中常用函數，在集合論中常用映射。在術語學理論中，科技術語要明確界定概念及其應用范圍并不容易，特別是有些學科有習慣用法，也就是術語學中所說的“約定俗成”。對于同義術語，也要加以分析，區別出不同的情況，既然語言中存在同義詞，包括所謂相對同義詞與絕對同義詞的差別，那么，在同一題材的范圍內，也可以并行地使用不同的說法。因此，即使術語的概念相近，只是在不同的領域內有不同的名稱，也是符合術語規范化工作的實際情況的。雖然它們的內涵是一致的，卻不宜統一名稱，在不同領域及不同范圍內，根據實際情況，在不同的學科保持慣用的、約定俗成的名稱更合理，強行統一只會造成更大的使用混亂。因此保持映射、函數、算子、泛函在不同數學分支中根據各自的常用習慣來使用更合理。所以，從內涵上來說，映射、函數、算子、泛函可屬于同義異名，但各自應用領域不同，不宜完全統一；從約定俗成角度，在集合論中，慣用映射；在分析學中慣用函數；在泛函分析中，慣用泛函和算子。

六結語

從現代數學的觀點，函數就是映射，兩個概念完全等價。映射、函數、算子、泛函從內涵來看基本是一致的。從應用范圍來看，映射=函數算子泛函函數（實數域）。函數多用在實數集上，常用于分析學；映射常用于集合論；泛函和算子常用于泛函分析。保持它們的習慣用法，不強制統一，符合術語規范化工作的實際情況。

專業工具書（如《數學大辭典》《數學百科全書》等）主要面對數學界專業人員，所以將函數與映射的概念統一，符合數學中這一概念的實際發展情況。而《中國大百科全書》和《高等數學》教材面對更廣泛的人群，將函數的概念限制在實數域，映射用在集合論，將映射作為函數概念的擴展，這更符合大家的實際使用習慣。

參考文獻

[1] 《中國大百科全書》總編委會. 中國大百科全書[M].2版.北京：中國大百科全書出版社，2009.

[2] 同濟大學數學系. 高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] 王元，文蘭，陳木法，等.數學大辭典[M].北京：科學出版社，2010.

[4] 《數學百科全書》編譯委員會. 數學百科全書[M].北京：科學出版社，1999.

[5] Dieter Ruthing. 函數概念的一些定義——從Jon.Bernoulli到N.Bourbaki[J].數學譯林，1986（3）：21-23.

[6] 吉特爾曼 A.數學史[M]. 北京：科學普及出版社，1987：265.

[7] 李鵬奇.函數概念300 年[J].自然辯證法研究，2001，17（3）：48-52.

[8] 鄭述譜.試論屬于標準化的辯證法[J].中國科技術語，2008，10（3）：5-10.endprint