赫爾墨特方差分量估計在CPⅢ高程控制網平差中的應用

摘 要：在進行CPⅢ高程控制網測量時，需要將地面水準點的高程傳遞到橋上或路基上，當路基和橋與地面高程差異較大時需要通過全站儀三角高程測量來傳遞高程。這樣控制網內就存在兩類觀測值，一類是全站儀觀測值，另一類是水準儀高差觀測值。文章對兩類觀測值的誤差來源進行了分析，確定各類觀測值的先驗誤差，然后利用赫爾墨特方差分量估計對兩類觀測值進行合理定權并對高程網進行平差。平差計算程序由matlab實現。

關鍵詞：CPⅢ高程控制網；方差分量估計；平差

引言

在進行CPⅢ高程控制網測量時，需要將地面水準點的高程傳遞到橋上或路基上，當路基和橋與地面高程差異較大時往往進行全站儀三角高程觀測高差。高程控制網內存在著兩類高差觀測值，這兩類觀測值誤差來源不同。目前國內的CPⅢ平差軟件在進行高程控制網平差時將全站儀的高差測量值的權設為無窮大，認為這些觀測值不存在誤差，這本身并不科學。文章在高程控制網平差時引入赫爾墨特方差分量估計，合理確定兩類觀測值的權。

1 CPⅢ高程控制網簡介

CPⅢ控制網又名基樁控制網，為無碴軌道的鋪設和運營維護提供控制基準。

CPⅢ控制點高程測量起閉于二等水準基點。測量方式采取以下方式：

CPⅢ點與CPⅢ點之間的水準路線，一般采用下圖所示的水準路線形式進行。這樣的水準路線，可保證每相鄰的四個CPⅢ點之間都構成一個閉合環，如圖1所示。

2 數據處理流程

平差計算流程如圖2所示。

3 CPⅢ高程網平差數據處理方法

3.1 水準測量和三角高程測量的先驗誤差分析

3.1.1 水準測量的先驗中誤差

以天寶DINI03電子水準儀為例，其標稱誤差為0.3mm/km，即每公里往返側中誤差為0.3mm，根據協方差傳播率，S公里的水準觀測值的單位權中誤差為0.3■mm。

3.1.2 全站儀三角高程測量值的先驗方差

全站儀三角高程測量值可以用S×sin？茲表示，其中S為斜距，θ為高度角，對其取全微分有

dSsin？茲=sin？茲dS+Scos？茲d？茲，則方差為

D△H=sin2？茲？滓S2+S2cos2？茲？滓？茲2

若后視的實測高差△H1=S1sin？茲1，前視實測高差△H2=S2sin？茲2，根據協方差傳播定律

？滓2H1-H2=sin2？茲1？滓■2+S12cos2？茲1？滓？茲■2

+sin2？茲2？滓S■2+S22cos2？茲2？滓？茲■2（1）

3.2 概略高程推算

根據實測高差和已知點高程來推算未知點高程。

（1）初始化概略高程數組，概略高程數組包括點號和對應的高程，將已知點的信息加入該數組。

（2）將實測高差的首尾點的點號和概略高程數數組的點號進行比較，若首尾兩個點的點號都能在數組中找到，則轉入下一個高差，若都不能找到，則將該高差進行下一輪比較，若只能找到一個，根據高差計算另一個點的概略高程，并將該點和高程加入概略高程數組。

（3）反復進行步驟2，直至推算出所有待求點的高程。

3.3 高差平均值的計算及高差觀測值中誤差的計算

由于在CPⅢ高程網中，相鄰環的公共邊需要觀測多次，因此需要計算該公共邊的高差平均值及觀測次數，并根據每公里單位權方差及測量次數確定高差觀測值的先驗中誤差。

3.4 高程控制網誤差方程的建立及解算

若1、2兩點的觀測高差為L1，1、2點的估算高程為h■■，h■■，根據間接平差理論有

L1+v1=H■■+■2-H■■-■1

整理得

v1=-■1+■2-（L1+H■■-H■■）（2）

H■■和H■■分別是1、2號點的估算高程

若1號點已知

則有

v1=■2-（L1+H■■-H■■）（3）

若2號點已知

則有

v1=-■1-（L1+H■■-H■■）（4）

由于高程網誤差方程的解算采用間接平差，和普通水準網相同。

3.5 赫爾墨特方差分量估計

3.5.1 方差分量估計公式

間接平差的基本公式為

■=■+■

設在L中包含兩類獨立的觀測值■和■，它們的權分別是■和■，并且P12=0，它們的誤差分別為

且有下列關系式L=L■L■， ， ，

N=BTPB=B1TP1B1+B2TP2B2=N1+N2

W=BTPL=B1TP1L1+B2TP2L2=N1+N2

一般來說第一次平差給定的兩類觀測值的權是不恰當的，或者說它們所對應的單位權方差不相等，令其分別為？滓■■和？滓■■，則有

方差分量估計的目的是利用各次平差后的改正數的平方和V1TP1V1及V2TP2V2來估計？滓■■和？滓■■，含兩類觀測值按間接平差時的赫爾墨特估算公式為

式中

，

赫爾墨特估算公式的解為

■=S-1W？茲（6）

3.5.2 方差分量估計的迭代計算步驟

（1）將觀測值按等級或者不同來源分類，并進行驗前權估計，即確定各類觀測值的權的初值P1，P2，…，Pm；

（2）進行第一次平差，求得ViTPiVi；

（3）按照方差分量估計公式進行第一次方差分量估計，求得個類觀測值單位權方差的第一次估值■■■，再依下式定權：

（7）

式中c為任一常數，一般選■■■中的某一個值。

（4）反復進行第二項和第三項，即進行：平差——方差分量估計——定權后再平差，直至■■■=■■■=…■■■。

4 計算實例

4.1 平差計算數據（見表1、表2、表3）

表1 CPⅢ網水準儀測量高差

表2 全站儀測量數據

表3 已知點高程

4.2 平差計算結果

4.2.1赫爾墨特方差分量估計平差結果

第1次估計，方差分量為（mm2）：

0.207396071452008

284.539293329161

第2次估計，方差分量為（mm2）：

0.158446272530325

0.445946111317554

第3次估計，方差分量為（mm2）：

0.15750501903406

0.168733564833184

第4次估計，方差分量為（mm2）：

0.157484211476305

0.157897868182501

第5次估計，方差分量為（mm2）：

0.157483469785749

0.157498670643661

后驗單位權中誤差0.3968mm/km。

4.2.2 最小二乘法與赫爾墨特方差分量估計的平差高程較差

通過以上對比可以發現方差分量估計平差的結果和最小二乘平差結果差異較大，特別是全站儀的高差改正數及中誤差，這是因為初始權不恰當造成的。

5 結束語

由于目前國內的平差軟件在進行高程網平差時，一般僅考慮水準儀觀測值，在定權時根據距離定權，而難以對于混合水準網中全站儀高差觀測值進行準確定權，文章通過對水準儀和全站儀觀測值的誤差來源分析來確定先驗權，然后通過赫爾墨特方差分量估計來準確確定兩類觀測值的權比并進行平差。較好地解決了混合水準網中不同類觀測值的合理定權問題，該方法是國內高鐵領域的首創。文章中提供的模型還存在如下不足：

（1）在進行全站儀三角高程測量誤差來源時，未考慮大氣折光系數，由于CPⅢ控制網全站儀高差測量僅采用單向觀測，大氣折光系數對高差測量值將產生一定影響，因此該模型僅適用于邊長較短的情況。需要對模型進行改進，設法消除大氣折光系數的影響。

（2）未對已知控制點的穩定性進行分析，作者考慮后期對程序加入擬穩平差的功能。

參考文獻

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[2]崔希璋，劉大杰，等.廣義測量平差[M].武漢大學出版社，2009.

[3]劉大杰，陶本藻.實用測量數據處理方法[M].測繪出版社，2000.