減速器直齒圓柱齒輪有限元模態分析?

王彥軍，魏 煒

（寧德職業技術學院 機電工程系，福建 福安 355000）

0 引言

據統計，在減速器故障中，齒輪失效占整個機械傳動失效的60%以上，其中齒面損壞是齒輪失效的主要原因之一［1］。減速器在工作過程中，傳動齒輪受到外部周期性載荷作用，在額定轉速內有可能發生強烈的共振，動應力急劇增加，致使齒輪過早出現扭轉疲勞和彎曲疲勞，最終引起輪齒折斷。在齒輪結構設計和計算中，靜力學計算不能完全滿足設計要求，因此要對其做必要的模態分析，確定結構的振動特性，獲得其固有頻率、振型等參數。通過模態分析找出結構設計中的薄弱環節，避免齒輪在外部載荷作用下產生共振。本文應用有限元軟件ANSYS Workbench對減速器標準直齒圓柱齒輪進行模態分析。

1 齒輪模態分析理論基礎

模態分析可以確定一個結構的固有頻率和振型，而固有頻率和振型是承受動態載荷結構設計中的重要參數。根據模態分析理論［2］，可得系統的運動微分方程為：

其中：M、C和K分別為系統的質量、阻尼和剛度矩陣；、和X分別為齒輪振動加速度、速度和位移向量；f（t）為齒輪所受外界激勵列陣。在求齒輪自由振動的模態參數時，阻尼對它們影響不大，因此，可以作為無阻尼振動問題來處理［3］，則具有n個自由度的無阻尼振動系統的振動微分方程為：

假設沒有外力作用，即f（t）＝0，則得：

設特解X＝φejωt（φ為自由響應的幅值列陣，ω為固有頻率），代入式（3）得：

式（4）有非零解的充要條件是：

將式（5）展開，可得到關于ω2的n次代數方程，該方程為結構系統的特征方程，設該方程無重根，通過數值計算方法解此方程可得n個無異正根，即為特征值，而ω1，ω2，…，ωn即為振動頻率。將各階振動頻率ωi（i＝1，2，…，n）分別代入式（4），得到關于φi的齊次線性方程組，解此方程組得n個線性無關的非零矢量φi的比例解，經歸一化后對應的矢量為：

φi即為對應振動頻率ωi下的模態，即為固有振型（也稱主振型）。

2 直齒圓柱齒輪有限元模型的建立

根據減速器齒輪工作要求，確定齒輪的相關參數如下：齒頂圓直徑為Φ261mm、齒根圓直徑為Φ245 mm、齒數為87、齒厚為60mm，中間輻板厚度為22mm，齒輪材料為45鋼。

2.1 齒輪實體模型的建立

ANSYS Workbench軟件可以實現與外部CAD軟件的無縫對接，可以直接從外部CAD軟件讀取文件，而且具有雙向關聯性，即同時打開其他外部CAD類建模工具和ANSYS Workbench中的Design Modeler模塊，當外部CAD中的模型發生變化時，Design Modeler中的模型只要刷新便可同步更新，同樣當Design Modeler中的模型發生變化時也只要通過刷新，則CAD中的模型也可同步更新［4］。因此，在建模過程中，為了保證計算結果的準確性，降低誤差，可以直接在外部CAD軟件中建模，通過無縫對接導入ANSYS Workbench軟件中進行有限元分析。本文應用Pro/E軟件進行直齒圓柱齒輪建模，導入ANSYS Workbench后進行有限元模態分析，以充分發揮兩個軟件的長處，更好滿足設計要求。

根據減速器齒輪參數及設計要求，在Pro/E軟件中對齒輪進行全參數化建模，其具體過程為：①設置齒輪基本參數和關系式；②繪制基本圓（即根據齒輪關系式繪制基圓、齒根圓、齒頂圓和分度圓）；③創建漸開線；④拉伸形成實體（包括齒根圓實體和齒輪的一個齒形實體）；⑤陣列輪齒；⑥繪制其他特征（包括齒輪的中間孔、鍵槽和小孔等）。完成后的齒輪三維參數化模型如圖1所示。將建好的參數化模型保存后，通過Pro/E與ANSYS Workbench無縫接口將模型導入，然后定義材料屬性、劃分網格、定義邊界條件并進行求解。

2.2 齒輪模態分析前處理

在ANSYS Workbench中對齒輪進行模態分析，需要在模型導入軟件后，進行必要的前處理，主要包括定義材料屬性、劃分網格、定義邊界條件等。

2.2.1 設置材料屬性

進行模態分析需要根據齒輪工作要求設置材料屬性，包括彈性模量、泊松比和材料密度等參數。該齒輪為二級齒輪減速器的傳動零件，根據設計要求，齒輪材料選用45鋼，其彈性模量E＝2.06×1011Pa，泊松比μ＝0.3，材料密度ρ＝7 800kg/m3。

2.2.2 網格劃分

在模型創建后和分析計算前，有一項重要的工作就是對模型進行網格劃分，網格劃分的好壞直接關系到求解的準確度及求解的速度。在ANSYS Workbench中對于齒輪實體主要采用自由網格劃分，在劃分過程中設置單元的最大邊長為3mm，細化網格，最后劃分的節點數為295 913，單元數為189 394。圖2為劃分網格后的齒輪有限元模型。

圖1 齒輪三維參數化實體模型

圖2 齒輪有限元模型

2.2.3 定義邊界條件

對齒輪進行模態分析的目的是計算齒輪處于自由狀態時各階固有頻率和對應的振型，所以不施加外載荷，只需對內孔圓柱面進行自由度約束，ANSYS Workbench中，通過Fixed Support并選取齒輪內孔圓柱面即可完成約束條件的施加。

3 直齒圓柱齒輪模態分析

對于模態分析，階數越低影響越大，10階以后的高階模態對齒輪的動態性能影響很小，通常提取前5階～10模態即可滿足齒輪精度設計要求［5］，本文提取齒輪的前6階固有頻率和振型。在ANSYS Workbench軟件中，將模態分析選項“Max Modes to Find”設置為6階，“Deformation”選擇Total選項，然后單擊工具欄中的Solve按鈕開始求解，最終得到齒輪前6階固有頻率（見表1）和前6階模態振型圖（如圖3所示）。

表1 直齒圓柱齒輪前6階固有頻率

通過分析齒輪各階模態振型圖可知：1階和2階模態振型基本相同，分別為繞X軸與繞Y軸的彎曲變形，為一階彎曲振型；3階和4階模態在軸向產生扭轉變形，為扭振型，同時徑向產生對稱彎曲變形；5階模態主要表現為齒輪沿軸向收縮呈“傘”狀，為傘型振動；6階模態在軸向基本無振動，端面上為比較規則的圓周方向的多邊形振型，為圓周振。

圖3 直齒圓柱齒輪的前6階模態振型圖

齒輪模態分析中，振型大小只是一個相對的量值，僅表示出該階固有振動情況下結構上相對振動的大小，并不是各點振動的實際值，各階振動的詳細情況可以查看各階固有頻率對應的振型圖［6］。通過齒輪系統的模態分析可知：在齒輪結構設計中，應避開系統的固有頻率，從而避免齒輪在工作中發生共振而使傳動系統產生故障。

4 結論

（1）應用Pro/E軟件建立了直齒圓柱齒輪的參數化模型，通過與ANSYS Workbench的無縫接口將其導入并進行模態分析，得出齒輪的固有頻率和振型圖。

（2）利用ANSYS Workbench對齒輪三維參數化模型進行模態分析，方法簡便，可以直接看出齒輪設計能否滿足模態分析的要求。通過對齒輪的模態分析，設計人員可以直觀地了解齒輪各階固有特性，為后續動態分析提供了依據。

［1］濮良貴，陳國定，吳立言.機械設計［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［2］傅志方，華宏星.模態分析理論與應用［M］.上海：上海交通大學出版社，2000.

［3］王勖成.有限單元法［M］.北京：清華大學出版社，2003.

［4］呂建國，康士廷.ANSYS Workbench 14有限元分析自學手冊［M］.北京：人民郵電出版社，2013.

［5］陳紅霞，王銳，李華雷，等.Pro/E和Workbench在直齒錐齒輪設計中的應用［J］.機械工程與自動化，2013（4）：50-54.

［6］鐘軍，劉志峰，王雁，等.基于有限元方法的直齒輪傳動系統的模態仿真分析［J］.機械設計與制造，2013（6）：218-220.