機器人動力學模型在軌跡規劃中的應用

白云飛

（運城學院 機電系，山西 運城 044000）

0 引言

機器人動力學模型反映了關節力矩（力）與關節變量、速度、加速度之間的函數關系，其重要作用是：①可用來開發合適的控制策略，要想獲得期望的運動軌跡，某些控制方案可直接依靠動力學模型來計算需要驅動器施加的力矩和力；②用來實現機器人系統的計算機模擬，通過檢查在不同操作條件下模型的行為，可以預測出當機器人系統被建立起來以后機器人會如何運動；③可提供所有的關節作用力和力矩，這些是設計和選擇連桿、支座、驅動器的主要依據［1］。

本文應用拉格朗日方程建立單自由度機器人的動力學模型，規劃機器人常用的3種運動軌跡，并運用MATLAB軟件進行逆動力學仿真，以驗證所規劃軌跡的正確性。

1 拉格朗日方程［2］

N自由度串行機器人的拉格朗日函數L可以表示為：

其中：EK為系統總動能；EP為系統總勢能。

若第i個關節是線性關節，則N自由度串行機器人的拉格朗日方程可以表示為：

其中：xi為位移；Fi為作用在第i個關節上的驅動力。

若第i個關節是轉動關節，則N自由度串行機器人的拉格朗日方程可以表示為：

其中：θi為角位移；τi為作用在第i個關節上的驅動力矩。

2 單自由度機器人動力學模型

圖1為單自由度機器人示意圖，根據拉格朗日方程建立其動力學模型。

系統總動能為：

其中：m為單自由度機器人的質量；a為機械臂長度。

圖1 單自由度機器人

由式（4）、式（5）可得單自由度機器人的拉格朗日函數L為：

系統總勢能為：

把式（6）代入式（3），則作用在機器人關節上的力矩τ為：

3 使用MATLAB軟件進行軌跡控制

軌跡規劃是指根據作業任務要求（作業規劃），關于末端執行器在工作流程中位姿變化的路徑、取向以及它們的變化速度和加速度的人為設定，它是運動學反解（位姿和速度、加速度的反解）的實際應用［3］。以下對單自由度機器人常用的3種運動軌跡進行規劃。

3.1 拋物線過渡的線性軌跡規劃

在拋物線過渡的線性軌跡規劃中，單自由度機器人關節的角位移θ（t）為：

其中：θ0為起始關節角度；θf為終止關節角度；為拋物線段的加速度；tf為機器人從起始點到終止點的運行時間；tc為拋物線段持續的時間。

角速度θ·（t）為：

角加速度（t）為：

拋物線段持續的時間tc［4］為：

取θ0＝30°，θf＝70°，tf＝5s，＝10°/s，采用拋物線過渡的線性軌跡規劃單自由度機器人的運動軌跡。由式（11）計算得tc＝1s。取a＝1m，m＝1kg，用MATLAB進行仿真，結果如圖2所示。

由圖2可以看出，采用拋物線過渡的線性規劃方法，位移曲線平滑，速度曲線連續，加速度無突變，機器人作業時運動平穩，沖擊小，對驅動器輸出力矩的控制比較容易實現。

圖2 拋物線過渡的關節曲線運動

3.2 多約束軌跡規劃

在角位移、角速度和角加速度都有約束的多約束軌跡規劃中，單自由度機器人關節的角位移θ（t）為：

其中：T為正弦函數的周期。

關節角速度（t）為：

關節角加速度（t）為：

圖3 多約束軌跡規劃的關節曲線

從圖3看出，采用多約束軌跡規劃方法，位移曲線平滑，速度曲線和加速度連續，機器人作業時運動平穩，沖擊小，對驅動器的控制容易實現，綜合性能好。

3.3 三次多項式軌跡規劃

用三次多項式進行軌跡規劃時，單自由度機器人關節的角位移θ（t）為：

其中：a0、a1、a2和a3均為待定系數。

關節角速度（t）為：

關節角加速度（t）為：

取θ0＝0°，θf＝90°，tf＝2s（0）＝（tf）＝0，使用三次多項式規劃單自由度機器人的運動軌跡，確定的軌跡方程為：

取a＝1m，m＝1kg，用MATLAB仿真的結果如圖4所示。

圖4 三次多項式軌跡規劃關節曲線

從圖4看出，采用三次多項式軌跡規劃方法，位移曲線平滑，速度曲線和加速度曲線連續，機器人作業時運動平穩，沖擊小，對驅動器的控制容易實現。

4 結論

拉格朗日方程作為一種分析力學方法，是建立機器人動力學模型的有效方法。根據期望的運動軌跡，利用機器人動力學模型，能夠實現機器人的動態控制，完成不同的作業任務。

［1］S K SAHA.Introduction to Robotics［M］.北京：機械工業出版社，2009.

［2］劉極峰.機器人技術基礎［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［3］韓軍，郝立.機器人關節空間的軌跡規劃及仿真［J］.南京理工大學學報，2000（6）：540－543.

［4］Saeed B Niku.機器人學導論——分析、系統及應用［M］.孫富春，譯.北京：電子工業出版社，2004.