階的估計在判斷級數收斂中的應用

彭建華，田　堅，范崇秀

(重慶理工大學 數學與統計學院，重慶　450050)

階的估計在判斷級數收斂中的應用

彭建華，田堅，范崇秀

(重慶理工大學 數學與統計學院，重慶450050)

摘要：通過對無窮小量的階的估計研究，討論了階的估計方法在級數收斂中的應用，為級數收斂問題的深入研究提供了一種較為便利的方法。

關鍵詞：無窮小量；無窮大量；階的估計；數列收斂

階的估計方法在研究函數的極限以及數列收斂、級數收斂、廣義積分收斂中是一種常用且重要的方法。數學分析中在討論無窮小量的比較時引入了E.landau符號o與O及～，采用這些符號在自變量的某個變化過程中可以對函數的變化狀態進行比較，使所討論的問題得以簡化。因此，這幾個符號在數學分析被廣泛采用。階的概念是數學分析中的基本概念之一，它可用于計算數列、函數的極限，判斷級數、廣義積分的收斂性[1-10]。本文從階的概念入手，探討階的估計方法在判斷級數收斂方面的應用。

1階的概念

注：

2) f(x)=O(g(x))是一個不等式，只不過寫成等式的形式。

2階的估計在級數中的應用

階的概念及符號O與o、～的運算法則，還有帶O余項的一些常用Taylor公式，為解決級數的收斂問題提供了很大的方便。數學分析中有許多級數的判別法則，但對于比較復雜的“臨界情形”處理起來很麻煩，在這種情形下就能夠顯示出O與o的便利。

由引理1可知，當p>1時，級數收斂。

無法判斷級數的斂散性。

如果用拉阿比判別法，得

當p>2時，級數收斂。

利用引理2，得

故當p>2時，級數收斂。

例3試討論下列級數

的斂散性。

由引理2、引理3可得：當α+β<λ時，級數絕對收斂；當α+β<λ+1時，級數條件收斂；當α+β≥λ+1時，級數發散。

3結束語

階的估計是一種重要的方法，需要較高的技巧。運用階的估計方法可以有效處理較復雜的數學問題，簡化計算過程，并得到較為精確的結果。

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(責任編輯陳艷)

收稿日期：2015-03-11

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11171363)；高等數學課程專項建設經費資助項目；重慶理工大學重大教學成果培育項目

作者簡介：彭建華(1963—)，男，重慶人，副教授，主要從事偏微分方程研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.07.020

中圖分類號：O174.1

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2015)07-0113-03

ApplicationofEstimationofOrderinConvergenceofSeries

PENGJian-hua,TIANJian,FANChong-xiu

(CollegeofMathematicsandStatistics,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)

Abstract:This paper studied the concept of estimation of the order of infinitesimal and discussed the convergence of series with estimation of the orders. A kind of convenient method for studying convergence was offered.

Key words:infinitesimal; infinity; estimation of the orders; convergence of series

引用格式：彭建華，田堅，范崇秀.階的估計在判斷級數收斂中的應用[J].重慶理工大學學報：自然科學版，2015(7):113-115.

Citationformat：PENGJian-hua,TIANJian,FANChong-xiu.ApplicationofEstimationofOrderinConvergenceofSeries[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience，2015(7):113-115.