具有形狀記憶合金絲的復合材料軸轉子系統的振動與穩定性

第一作者任勇生男，博士，教授，1956年7月生

具有形狀記憶合金絲的復合材料軸轉子系統的振動與穩定性

任勇生，趙仰生，安瑞君，代其義

(山東科技大學機械電子工程學院，青島266590)

摘要：提出具有SMA絲的復合材料軸-盤-剛性支承轉子系統的數學模型，研究轉子系統的振動與穩定性。將軸視為一個平行于軸線方向埋入SMA絲的薄壁復合材料空心梁，盤為各向同性剛性圓盤， 軸位于剛性軸承上。基于變分漸進法(VAM)描述復合材料薄壁梁的變形，基于Brinson熱力學本構方程計算SMA絲的回復應力，采用Hamilton原理推導出系統的運動方程，采用Galerkin法進行模型離散化和近似數值計算。著重分析SMA絲含量和初始應變對復合材料軸振動固有頻率和轉子系統臨界轉速的影響。研究結果表明，所建立的動力學模型能夠用于揭示SMA對轉子系統的振動與穩定性的影響機理。

關鍵詞：形狀記憶合金;復合材料軸;轉子系統;振動與穩定性

基金項目：國家自然科學基金(11272190);山東省自然科學基金(ZR2011EEM031)

收稿日期：2013-08-26修改稿收到日期：2013-12-19

中圖分類號:TH132文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金(51108376，50978218)；國家科技支撐計劃(2013BAJ08B03)；高等學校博士學科點專項科研基金(20106120110003)；陜西省科研項目(2012K12-03-01，2011KTCQ03-05)

Vibration and stability of a composite shaft-rotor system with SMA wires

RENYong-sheng,ZHAOYang-sheng,ANRui-jun,DAIQi-yi(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qindao 266510, China)

Abstract:A dynamical model of a rotor system containing a composite shaft with shape memory alloy (SMA) wires parallel to the shaft axis embedded, isotropic rigid disks and flexible bearings considered as linear springs and viscous dampers was presented and then used to predict the natural frequencies and dynamical stability of the rotor system. A composite thin-walled beam based on variational asymptotically approach(VAM) was employed to describe the deformation of the shaft. A thermo-mechanical constitutive equation of SMA proposed by Brinson et al. was used to calculate the recovery stress of the constrained SMA wires. Hamilton’s principle was used to derive the dynamic equations of the rotor system, they were discretized and solved with Galerkin’s method. The influcences of SMA wire content and initial strain on the natural frequencies and critical speeds of the rotor system were analyzed. Results showed that the proposed model can be used to reveal the effects of SMA on the dynamic characteristics of the rotor system.

Key words:shape memory alloy (SMA); composite shaft; rotor system; vibration and stability

纖維復合材料由于比強度和比剛度高、抗疲勞和減振性能好，在航空、汽車等高技術領域的轉子系統中的柔性軸的結構設計中已經顯示出良好的發展前景[1-2]。采用輕質纖維復合材料取代傳統的金屬材料不僅可以減輕結構的重量，同時還能夠減少噪聲、提高轉子系統的抗振性能[3]。

將形狀記憶合金(Shape Memory Alloy, SMA)埋入普通纖維復合材料產生的SMA混雜復合材料是一類應用廣泛的智能材料系統，近幾十年來，基于熱激勵誘發SMA馬氏體相變從而改變結構剛度特性和彈性特性的結構調節原理的SMA混雜復合材料殼、板、梁的振動抑制研究，已經獲得了一些重要的進展[4]。如果將SMA埋入復合材料軸，利用SMA絲控制軸的動力學特性，有望滿足在高速運轉狀態下普通復合材料軸轉子系統無法滿足的動力學穩定性的要求，從而實現復合材料轉子系統的安全高速運行。

Baz等[5]將復合材料驅動軸簡化為實心軸，基于有限元方法研究了埋入SMA絲的復合材料驅動軸的靜態特性和熱特性。研究發現當SMA絲被激活時，可以提高軸的扭轉剛度。Baz等[6]采用有限元分析和振動實驗研究埋入SMA絲空心復合材料驅動軸動力學特性，結果表明激活NITI絲可以使軸的振動幅值減少了約50%。Tylikowskitffu等[7]將旋轉軸簡化為對稱疊層圓柱殼，基于Liapunov 直接法分析了含有SMA絲的復合材料軸的動力穩定性，研究結果表明，激活SMA絲可以明顯增加旋轉軸的臨界轉速。Gupta等[8]基于瑞利法研究了空心復合材料軸內埋入SMA絲的雙盤和單盤轉子的固有頻率和臨界轉速，分析了SMA絲的以及支承剛度變化的影響。研究發現，SMA的相變回復力能夠抑制轉子加速/減速通過臨界轉速時的共振響應。Sawhney等[9]進行了埋入SMA絲的纖維增強復合材料軸的制備和實驗研究。Gupta等[10]設計了一個嵌入SMA絲的纖維增強復合材料軸的實驗裝置，實驗結果表明，激活SMA絲的復合材料軸的固有振動頻率顯著增加。我們注意到，在上述所有這些研究中，有關楊氏模量、回復應力等描述SMA絲特性的重要力學參數主要出自一些有限的實驗數據，此外，在復合材料軸動力學建模過程中僅僅考慮了軸的橫向彎曲變形。

本文建立了一個具有SMA絲的復合材料軸-盤-軸承轉子系統的數學模型，研究了該轉子系統的振動與穩定性。將軸視為一個埋入SMA絲薄壁復合材料空心梁，SMA絲與軸線平行布置，固結于軸上的盤為各向同性剛性圓盤，軸位于剛性軸承上。采用Brinson熱力學本構方程[11]計算SMA絲的回復應力，由VAM[12]描述拉-彎-扭耦合復合材料薄壁梁的變形，并且計入橫向剪切變形的影響。基于Hamilton原理建立轉子系統的運動方程，采用Galerkin方法對運動方程進行離散化，通過數值計算得到軸的固有頻率以及系統的固有頻率隨轉速變化的Campbell圖，著重分析了固有頻率和臨界轉速隨SMA絲含量和初始應變的變化規律，揭示了SMA對轉子系統動力學特性的影響機理。

1振動方程

圖1表示長度為L、厚度為h的繞其軸線以定常角速度旋轉的封閉截面纖維復合材料薄壁軸。慣性坐標系為(x,y,z)，局部坐標系為(x,s,ξ)，其中環向坐標s沿著薄壁梁中面切線逆時針方向，ξ沿著薄壁梁中面法線方向。SMA絲平行于復合材料軸的軸線埋入基體內。

圖1　具有SMA絲的旋轉復合材料軸 Fig.1 Rotating composite shaft with SMA wires

從文獻[12]的位移場表達式出發，進一步引入橫向剪切變形的影響，于是薄壁軸橫截面上的任意一點沿著x,y,z方向的位移假設如下

u1(x,y,z,t)=U1(x,t)-y(s)θy(x,t)-

z(s)θz(x,t)+g(s,x,t)

u2(x,y,z,t)=U2(x,t)-zφ(x,t)

u3(x,y,z,t)=U3(x,t)+yφ(x,t)

(1)

其中：U1(x,t),U2(x,t),U3(x,t)分別表示橫截面沿著x,y,z方向的剛體位移；φ(x,t),θy(x,t),θz(x,t)分別表示橫截面繞x軸的扭轉角以及繞y,z軸的扭轉角。y,z表示橫截面中心圍線上的點的坐標，是環向坐標s的函數。

假定薄壁梁的翹曲函數g(s,x,t)具有如下形式

(2)

上述等式右端的四項依次是與扭轉、軸向拉伸、繞z軸彎曲和y軸彎曲有關的翹曲分量，其中G(s)的物理意義為扭轉率，g1(s)的物理意義為軸向應變，g2(s)和g3(s)的物理意義為沿y,z方向的彎曲曲率。

在方程(1)和(2)中，θy(x,t),θz(x,t)可以表示如下

(3)

根據文獻[12]幾何方程，由位移方程(1)可以導出橫截面正應變和面內剪應變γxx和γxs的表達式，并且依照文獻[13]，對橫向剪應變γxξ的表達式也做出假設。因此，考慮剪切變形的薄壁軸的幾何方程可以寫出如下

(4)

為了導出復合材料軸的振動方程，利用Hamilton原理

(5)

其中:U和T分別為應變能和動能，分別由下式確定

(6)

從方程(5)，可以推導出具有周向均勻剛度配置(CUS)構型的復合材料軸的振動偏微分方程組如下

(7)

混雜SMA絲的復合材料的彈性系數按照下列混合率進行計算

E1=E1m(1-Vs)+EsVs

ν12=ν12m(1-Vs)+νsVs

(8)

其中，下標m，s分別表示復合材料基體與SMA絲。E，G，υ分別表示楊氏模量，剪切模量和泊松比，Vs和Vm分別為SMA絲與基體材料的體積比含量。Asma，ATotal分別表示所有埋入SMA絲的橫截面之和以及復合材料軸的橫截面，且

(9)

其中:d為SMA絲的直徑，n為埋入SMA絲的個數。

引入SMA絲對復合材料軸的作用，則可推出如下運動方程

(10)

其中:NSMA和NΔT表示SMA絲產生的沿軸線方向的受限回復應力的合力以及軸向溫度載荷

(11)

升溫過程：

(12)

降溫過程：

(13)

在SMA絲復合材料軸的模型基礎上，進一步考慮盤和軸承的影響。假設圓盤為剛性的，由各向同性材料制成，而軸承簡化為線性彈簧和粘滯阻尼器。

引入圓盤和軸承的SMA絲復合材料軸的運動方程導出如下

(14)

2方程求解

假定彎曲位移U2(x,t),U3(x,t)和轉角θy(x,t),θz(x,t)具有下列形式

(15)

式中:Uj,Θj都是待定的位移參數，αj(x),ψj(x)則表示復合材料軸的形函數。

將(15)代入方程組 (14)，采用Galerkin法，得出轉子系統的振動方程組

(16)

其中，M，C，KΩ，K1的表達式如下

(17)

(18)

(19)

(20)

3數值結果與討論

表1表示不考慮剪切的懸臂復合材料軸的旋轉/非旋轉固有頻率的本文計算結果和文獻[14]的結果的對比，其中計算參數和無量綱化方法同文獻[14]。由表1可以看出，二者的結果符合得很好。

表1　不計剪切的懸臂復合材料軸的固有頻率結果對比

表2　復合材料性能參數 [15]

表3　SMA的材料參數 [16]

為了便于分析，引入標準化因子ω0=138.85 rad/s，其意義為旋轉復合材料軸在鋪層角為0°，轉速為0，并且NSMA=0和NΔT=0時的固有頻率。無量綱的固有頻率和轉速分別為ω*=ω/ω0，Ω*=Ω/ω0。

圖2表示含SMA絲(紅線)和不含SMA絲(黑線)，復合材料軸的固有頻率隨轉速的變化曲線。結果表明，在轉速為0，即不計陀螺效應時，復合材料軸的固有頻率為一個點。隨著轉速的增加，即計入陀螺效應時，復合材料軸的固有頻率曲線分叉成上、下兩個分支，分別記為Upper(上固有頻率)和Lower(下固有頻率)，它們分別對應于正進動渦動和反進動渦動。當下分支隨著轉速的增加而減小至0時,所對應的轉速稱為臨界轉速Ωcr。對應于每一階頻率，都有一個與之相對應的臨界轉速。對比上述兩種結果，可以發現，誘發SMA絲相變可以提高軸靜止狀態的固有頻率，提高旋轉復合材料軸發生動力不穩定的臨界轉速。

圖3中表示對應于不同SMA絲含量的第一階固有頻率隨轉速的變化曲線。可以看到旋轉軸的臨界轉速隨著SMA絲含量的增加而增加，這是因為當SMA絲的含量增加時，軸向張力隨之增加，于是，軸的剛度也隨之增加，從而導致固有頻率的增加。

圖2 含SMA和不含SMA的傳動軸第一階固有頻率隨轉速的變化曲線(θ=30°,T=50℃,Vs=0.24)Fig.2Thefirstnaturalfrequencyvs.rotatingspeedofshaftwithSMAandwithoutSMA(θ=30°,T=50℃,Vs=0.24)圖3 不同SMA絲含量情況下的一階固有頻率隨轉速變化曲線(θ=30°,T=50℃,ε0=0.067)Fig.3Thefirstnaturalfrequencyvs.rotatingspeedfordifferentSMAfibercontents(θ=30°,T=50℃,ε0=0.067)圖4 不同SMA絲初始應變的一階固有頻率隨溫度變化曲線(Vs=0.36,T=50℃,θ=30°)Fig.4Thefirstnaturalfrequencyvs.rotatingspeedfordifferentSMAfiberinitialstrain(Vs=0.36,T=50℃,θ=30°)

圖4表示不同SMA絲的初始應變下的第一階固有頻率隨轉速的變化曲線，從圖中可以看出，軸的固有頻率隨著初始應變的增加而增加。

圖5　不同SMA絲含量情況下的一階固有頻率隨溫度 變化曲線(Ω * =5 rad/s，θ=30°, ε 0=0.067) Fig.5 The first natural frequency vs. temperature for different SMA fiber contents (Ω* =5 rad/s，θ=30°, ε 0=0.067)

圖5表示激勵溫度對第一階固有頻率的影響曲線，其中給出對應于三種不同SMA絲含量的結果。溫度變化從0℃上升到100℃(M→A)，然后在從100℃下降到0℃(A→M)。從圖中可以看出，固有頻率隨溫度的變化曲線是典型的遲滯迴線。在一個熱循環周期內，固有頻率隨溫度的變化可以分為兩個階段：增加階段和減少階段；在馬氏體向奧氏體相變的過程中，固有頻率隨著溫度的增加而增加，而從奧氏體向馬氏體相變的過程，固有頻率隨著溫度的減小而下降；由于轉速不為零，因此派生出兩組遲滯迴線，在圖中分別用“Upper”和“Lower”加以區分。容易發現，隨著SMA絲含量的增加，固有頻率也隨之提高，遲滯迴線向上發生整體遷移。

圖6　不同SMA絲初始應變的一階固有頻率隨 溫度變化曲線(Vs=0.24, θ=30°, Ω * =10 rad/s) Fig.6 The first natural frequency vs. temperature for different SMA fiber initial strain(Vs=0.24，θ=30°,Ω * =10 rad/s)

圖6表示對應于SMA絲的不同初始應變的第一階固有頻率隨溫度的變化曲線。從圖中可以看出，與SMA絲含量的影響不同，在升、降溫階段的某些溫度區間，不同初始應變下的遲滯迴線會相互重疊在一起，遲滯迴線的形狀似乎會發生較為明顯的改變。

下面進一步研究如圖7所示的SMA絲復合材料傳動軸-盤-軸承系統的臨界轉速。單個剛盤位于軸的中央位置，軸的兩端用軸承支承。軸的鋪層方式采用[θ]10，軸承和剛盤的尺寸和性能參數如表4所示。

圖7　單剛盤轉子系統 Fig.7 A rigid disk rotor

質量與慣性矩數值bD1l/kgbD4l/(kg·m-2)bD5l/(kg·m-2)2.43640.19010.1901

圖8　不含SMA的軸-盤-剛性軸承系統的Campbell圖 Fig.8 The Campbell diagram of the shaft-disk-stiff bearings system without SMA wires

圖9　含SMA絲的軸-盤-剛性軸承系統的Campbell圖 Fig.9 The Campbell diagram of the shaft-disk-stiff bearings system with SMA wires

圖8和圖9分別表示不含SMA絲和含SMA絲的轉子系統的Campbell圖。其中展示了前5階渦動頻率，“F”表示正進動，“B”表示反進動。圖中渦動頻率曲線與直線ω=Ω的交點為轉子系統的臨界轉速，用Ωcr表示。從圖中可以看出第二階和第三階渦動頻率曲線有相對較為明顯分叉，這可能是由于軸的振動和剛盤的振動相耦合造成的。通過比較圖8和圖9可以明顯看到，加入SMA絲能夠明顯地提高轉子系統的臨界轉速。

表5　不同SMA絲含量對應的臨界轉速

表5和表6分別表示具有不同SMA絲含量和不同SMA初始應變的轉子系統的前3階臨界轉速。從表5中可以清楚地看出，隨著SMA絲含量的增加，轉子系統的臨界轉速隨之增加；同樣，由表6可看出SMA絲的初始應變對轉子臨界速度也有著類似的影響。因此，通過適當地調節SMA絲的含量和初始應變，能有效地增強轉子系統的穩定性。

為了驗證采用Galerkin法計算復合材料軸固有頻率結果的收斂性，取不同項數的振型函數進行了計算，結果如圖10所示。其中10(a)和(b)分別對應Lower和Upper。由圖可見，當振型函數項數取N=5時，固有頻率-溫度變化曲線已經與N=4，3對應的曲線完全重合，說明本文采用的近似數值計算方法具有很好的收斂性。

表6　不同SMA初始應變對應的臨界轉速

圖10　固有頻率關于振型項數的收斂性 (Ω* =5 rad/s, θ=30°, ε 0=0.067) Fig.10 Convergence of the first natural frequencies with respect to number of mode shapes (Ω* =5 rad/s, θ=30°, ε 0=0.067)

4結論

研究了一個由埋入SMA絲的復合材料軸、盤和軸承構成的轉子系統的振動與穩定性。SMA絲平行于復合材料軸的軸線方向鋪設。基于VAM復合材料薄壁梁理論、Brinson熱力學本構方程和Hamilton原理建立系統的運動方程，采用Galerkin法進行模型離散化和近似求解。分析結果表明：

(1)在復合材料軸內埋入SMA絲可以顯著提高軸的靜態和旋轉固有頻率；

(2)溫度的變化對軸的動力學特性有重要的影響，在一個熱循環周期內，由于馬氏體向奧氏體相變(M→A)以及逆相變(A→M)的發生，固有頻率隨溫度的變化曲線表現為典型的遲滯迴線；

(3)隨著SMA絲含量的增加，轉子系統的臨界轉速隨之增加；另一方面，提高SMA絲的初始應變也能增加轉子系統的臨界速度，從而增強轉子系統的動力穩定性。

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附錄

復合材料軸橫截面的剛度系數：

(A.1)