近場數值波動分析中地震波輸入的一種簡化方法

第一作者黃景琦男，博士生，1988年生

通信作者杜修力男，教授,博士生導師，1963年生

近場數值波動分析中地震波輸入的一種簡化方法

黃景琦，杜修力，趙密，金瀏

(北京工業大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室,北京100124)

摘要：在顯式有限元方法結合黏彈性人工邊界的時域波動方法的基礎上，建立了地震波垂直輸入時的一種簡化輸入方法。將近場有限元模型沿高度方向進行分層，將地震動的入射運動轉化為作用于人工邊界底面及分層后每層側面上的均布力，以實現地震動的輸入。與以等效節點力的方式實現的地震動輸入相比，施加均布力的方式簡化了地震波輸入的前處理工作，且又能保證與等效節點力方式相同的精度。自由場數值算例表明：當該方法中的分層高度與波動有限元網格離散要求的最大尺寸相等時，該方法與等效節點力方法具有相同的精度；當局部區域按網格離散要求的最大尺寸進行分層而在其它區域放大分層高度時，局部區域上的近場波動響應仍可保證具有相當高的精度。另外，某隧道結構地震響應算例的計算結果同樣說明了該方法的有效性。

關鍵詞：波動輸入；地下結構；黏彈性人工邊界；時域顯式有限元

收稿日期：2013-11-29修改稿收到日期：2014-02-11

中圖分類號:TU45文獻標志碼：A

A simplified seismic wave input method for near-field wave analysis

HUANGJing-qi,DUXiu-li,ZHAOMi,JINLiu(MOE Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Abstract:On the basis of the time-domain wave method combined with the explicit finite element method and the viscous-elastic artificial boundary condition, a simplified seismic wave input method for near-field wave analysis was proposed. With this approach, the near-field model was stratified in the height direction, and then the seismic motion was converted into stresses acted on the viscous-elastic artificial boundary to realize seismic wave input. Compared with the equivalent node force input method, the new method simplified the antecedent processing with an acceptable accuracy. The numerical results obtained from a free ground model indicated that when the stratified size equals the maximum size of the element mesh in dynamical analysis, the accuracy of the simplified method is the same as that of the equivalent node method; when the local parts of the near-field model were stratified with the maximum element mesn size of dynamical analysis while the other parts were stratified with a lager size, the dynamic responses of the local parts have a higher accuracy. Moreover, the dynamic response computation results of a rock tunnel demonstrated the effectiveness of the proposed simplified approach.

Key words:seismic wave input method; underground structure; viscous-elastic artificial boundary condition; explicit finite element method in time domain

許多復雜的工程問題，如高壩、隧道等結構的地震響應分析，均可歸結為近場非線性波動問題。這類問題的特點是需要考慮多種復雜的影響因素，計算過程復雜，計算工作量巨大。對于近場波動問題，它涉及到無限域模型有限化處理帶來的人工邊界及人工邊界上的地震動輸入問題[1]。目前應用較多的人工邊界有黏性邊界[2]、透射邊界[3]、黏彈性邊界[4]等。其中黏彈性人工邊界既能吸收遠場的散射波又能模擬無限地基的彈性恢復性能，物理意義明確，便于在通用軟件中實現，從而得到了廣泛的應用。當應用人工邊界條件進行結構的地震反應分析時，地震波的輸入與所采用的人工邊界條件相關聯。Joyner等[5]對于一維模型采用將入射運動轉化為作用于粘性人工邊界上的等效荷載的方法，成功地解決了地震動的波動輸入問題；劉晶波等[6]基于此種將入射運動轉化為人工邊界節點上的等效節點力的思想，建立了一種新的、適用于黏彈性人工邊界的波動輸入方法，并進行了二維模型的算例驗證；王振宇等[7]建立了考慮非線性效應的無限成層地基波動模擬的時域人工邊界條件及相應的波動輸入方法；杜修力等[8]將一種新的黏彈性人工邊界結合顯式有限元的時域波動求解方法應用于拱壩-地基系統的地震反應分析中，取得了很好的模擬效果；另外，其他科研工作者[9-11]也在地震動相關的近場波動分析研究中開展了值得重視的工作。上述工作中的地震動輸入往往是將人工邊界處的入射地震動運動轉化為作用于人工邊界上的等效荷載，該荷載由抵抗人工邊界條件和內域介質兩部分構成，從而實現地震動的輸入。但在有限元模型中，由于人工邊界面上各個人工邊界節點的空間位置以及邊界節點影響面積的不同，使得不同邊界節點的等效節點力時程也不相同。應用通用有限元軟件實現波動輸入時，在軟件中單獨對每一個節點施加等效節點力并不容易實現，尤其對于大型結構，單元與節點數目較多。通常的做法是將模型節點和單元信息導出，通過第三方軟件進行編程批量的計算等效節點力，然后再導回有限元軟件中計算，這使得波動輸入的前處理工作較大，也較復雜，不易于波動輸入方法的實現及工程應用。

本文在顯式有限元法結合黏彈性人工邊界的時域波動方法的基礎上，建立了地震波垂直波動輸入的簡化輸入方法。在該方法中，首先將有限元模型沿高度方向進行分層，然后將地震動的入射運動轉化為作用于人工邊界底面及分層后每層側面上的均布力，由通用有限元程序來計算每個節點上的等效集中力。與以等效節點力形式實現的波動輸入相比，本文的方法只要在人工邊界面上分層施加均布力即可，不需在有限元軟件外另外單獨進行編程批量求解等效節點力，可在通用有限元軟件中直接實現地震動輸入，從而簡化了地震動的波動輸入在通用有限元軟件中的實現。

1以等效節點力方式實現的地震動波動輸入

在顯式有限元法結合黏彈性邊界的時域整體分析方法中，人工邊界面l節點i方向的集中質量有限元總波場運動方程為[1]

(1)

將人工邊界處的總波場分解為自由場(上標f表示)和散射場(上標S表示)，人工邊界節點l方向i的總位移和總作用應力可以分別寫為

(2)

(3)

散射場采用黏彈性人工邊界條件模擬[12]，人工邊界節點l方向i的應力-運動關系可以寫為

(4)

式中：Kli和Cli為節點l方向i的人工邊界參數，可參照文獻[4]、[12]選取。

將式(2)的散射場位移及其時間導數代入式(4)，進一步將式(4)代入式(3)，最終將式(3)代入式(1)，整理得到考慮無限域輻射阻尼和地震波輸入條件下人工邊界節點的集中質量有限元運動方程

(5)

與荷載為零的非人工邊界節點有限元方程相比，式(5)等號左邊增加的兩項是為了模擬無限域輻射阻尼而施加的黏彈性人工邊界條件，物理上相當于在節點l方向i施加一個另一端固定的并聯彈簧-阻尼器單元，如圖1所示。

圖1　三維黏彈性人工邊界條件 Fig.1 Three-dimensionalviscous-spring artificial boundary conditions

式(5)等號右邊表示地震荷載，即通過自由波場得到的人工邊界節點l方向i處的自由場所對應的等效荷載，其中前兩項表示產生自由場反應所需抵抗人工邊界物理元件的節點力，第三項表示產生自由場反應所需抵抗近場介質的節點力。

對于以等效節點力形式實現的地震動波動輸入而言，輸入的關鍵問題是由已知入射平面波時程確定人工邊界節點處的自由場位移時程和速度時程，從而計算邊界節點處的等效節點力時程，然后將等效節點力加到模型的人工邊界節點上，以此實現地震動的輸入。但對于大型結構而言，有限元模型的節點數目較多，需要通過在第三方軟件中另外編寫程序批量求解等效節點力，這使得波動輸入的前處理工作較大也較復雜，不便于波動輸入方法的實現及工程應用。

2地震動波動輸入的簡化方法

在地震動的波動輸入方法中，人工邊界面上需要施加產生自由場反應所需抵抗人工邊界物理元件的應力及產生自由場反應所需抵抗近場介質的應力。因此在截斷的人工邊界面上，地震動的作用形式如圖2(a)所示，人工邊界面上的不同點具有不同的應力時程。以等效節點力形式實現的波動輸入實際上是忽略人工邊界節點影響區域內人工邊界應力的差異，將區域內的人工邊界應力均勻的等效為集中力施加在人工邊界節點上(圖2(b))。同樣，也可將實際作用在人工邊界面上一定區域內的非均布應力等效為均布力施加在人工邊界面上(圖2(c))，模型計算時，由有限元程序將施加的分布力轉化為節點上的集中力，這樣就可以省去對此區域內的每個節點上的集中力進行人工求解，從而在建模的前處理工作上進行了簡化。

圖2　人工邊界面上應力分布及其等效化方式 Fig.2 The stress distribution on the viscous-spring artificial boundary surface and the equivalent method

圖3　振動方向簡化的波動輸入方法 Fig.3The simplified approximate seismic wave input method

在有限元軟件的具體實現中，如圖3中建立的有限元區域，首先將有限元模型沿高度方向進行分層，然后將求解的均布力施加在相應的邊界面上便可實現地震動的波動輸入。

2.1垂直入射地震波的均布力求解

對于垂直入射的S波，取圖4的盒子狀人工邊界面，振動方向與X方向平行。對于底邊界面的輸入，由于模型底邊界點的運動時程沿整個底面都相同，所以底邊界的輸入為無任何均勻等效的精確輸入，施加均布力為

(6)

對于模型側邊界，由于側邊界上進行高度分層處理，對于每層側邊界都需要施加均布力。對于某層的左右側面，施加均布力為

(7)

對于某層的前后側面，施加均布力為

(8)

圖4　簡化波動輸入方法中的均布力施加方法 Fig.4 Applied method for stress insimplified approximate input method

3分層高度與復合分層方法討論

圖5　自由場模型 Fig.5 Free ground model

在上述簡化輸入方法中，由于側邊界上沿高度進行分層輸入，假定每層側面上地震動運動時程相同，即忽略了在每層側邊上波動延遲效應，因此分層的高度尺寸會影響輸入的精度。在波動有限元分析方法中，為了能反映地震波傳播過程中的波形特性，有限元網格離散的尺寸要滿足不大于地震波波長的1/8～1/10的要求，過大的網格會產生波形失真的問題。對于應力型人工邊界面而言，地震波輸入是將入射運動轉化為人工邊界面上的應力進行輸入，如圖2(a)，為了能夠反應入射波的波形特性，在簡化輸入方法中，分層的高度尺寸也應滿足不大于地震波波長的1/8～1/10的要求。等效節點力法是分層高度等于有限單元尺度時的本文方法特例，當分層高度包括幾個單元尺度時，本文方法的精度需要討論。

下面將以自由場模型作進一步討論。建立的自由

場模型如圖5所示，模型高度200 m，長、寬各100 m，材料的彈模為6×109MPa，泊松比0.3，密度2 308 kg/m3，剪切波速約為1 000 m/s。輸入地震波為經典Kobe波，圖6為Kobe波的加速度時程曲線。

3.1分層高度討論

分別以100 m、50 m及20 m均勻的沿高度方向對有限元模型進行分層，其中20 m尺度滿足小于地震波波長的1/10要求。

圖7為Mises應力峰值隨深度的變化，從中可以看出100 m尺度的計算結果與等效節點力方法差距較大。隨著分層高度的減小，計算結果逐漸向等效節點力方法的結果靠近，當分層高度為20 m時，簡化輸入方法與等效節點方法的計算結果完全重合。圖8為水平位移峰值隨深度的變化，同樣隨著分層高度的減小，簡化輸入方法與等效節點力方法的計算結果逐漸靠近，當分層高度為20 m時，簡化輸入方式與等效節點力方法的計算結果完全相同。

圖6 輸入的Kobe波加速度時程曲線Fig.6AccelerationtimehistoryofimputedKobewave圖7 Misses應力峰值隨深度變化Fig.7DistributionofMissesstress圖8 水平位移峰值隨深度變化Fig.7Distributionofhorizontaldisplacementamplitude

圖7和圖8的分析結果說明：采用本文建立的簡化輸入方法時，計算的精度取決于分層的高度。分層高度越小，計算的結果將越為精確。當分層高度與波動有限元網格離散要求的最大尺寸相等時，本文方法與等效節點力方法具有相同的精度。

3.2復合分層方法討論

上面討論了地震動波動輸入簡化方法的分層高度的標準，即當分層高度與波動有限元網格離散要求的最大尺寸相等時，簡化方法與等效節點力的方法具有相同的精度。按此原則進行分層時，對于埋深較淺，模型豎向尺度不大時，分層較少。當埋深較深時，模型的豎向尺度相對與地震波的波長較大時，則劃分的層數將會增多。對于我們關心的模型區域，比如工程隧道所在的深度范圍附近，可以選擇按網格離散的最大尺度進行嚴格分層，對于遠離工程結構的其它高度區域可選擇將劃分高度放大，以減小工作量。為了驗證上述復合分層方法的可行性，將有限元模型在50 m～150 m深度范圍內進行嚴格分層，即每20 m劃分一層，其余部位按50 m進行放大分層。

圖9　復合分層時Mises應力峰值隨深度變化 Fig.9 Distribution of Misses stress

圖9與圖10分別為應力計算結果與位移計算結果隨深度的變化情況。從圖中可以看出，雖然其它部位進行了按50 m的放大分層處理，但嚴格分層區域內的自由場地震響應仍然與等效節點力方式的計算結果較為吻合，說明進行較大尺寸的工程計算時，局部區域可按離散要求的最大尺寸值進行嚴格分層而在其它區域放大分層高度，以此進一步的減小地震輸入的工作量。

圖10　復合分層時水平位移峰值隨深度變化 Fig.10 Distribution of horizontal displacement amplitude

4工程算例

4.1有限元模型

以某巖體隧道洞身段為研究對象，如圖11所示，橫向(x方向)取200 m，豎向(y向)取200 m，縱向(z向)取200 m，隧道埋深100 m。襯砌厚度取50 cm。圖11中為襯砌結構中布置的A、B、C、D四個監測點。本構模型中，巖體、襯砌均采用線彈性模型，材料參數見表1。在有限元模型的4個側面和底面施加黏彈性人工邊界。

圖11　計算模型及監測點分布 Fig.11 Computational model and location of monitoring points

材料密度/(kg·m-3)彈性模量/GPa泊松比剪切波速/(m·s-1)圍巖230860.31000襯砌2500300.2—

4.2地震波輸入

圖12　有限元模型分層示意圖 Fig.12 Hierarchical information of model

在模型底部垂直輸入S波，輸入地震波為經典Kobe波(圖6)。地震動輸入分別按本文建立的簡化輸入方法和等效節點力方法進行輸入，圖12為有限元模型進行的分層情況。在隧道周圍按分層高度小于地震波波長1/10的尺寸進行分層，分層高度為20 m，其余部分進行了放大分層,分層高度為70 m。

4.3結果分析

圖12為監測點A、B、C和D點加速度時程曲線。從圖12中可以看出簡化輸入方法的隧道監測點加速度反應與等效節點力方法的加速度反應基本相同。圖13和14為監測點A、B、C和D點Mises應力時程曲線，如同加速度反應曲線的對比，兩種輸入方法下的隧道Mises應力反應也基本相同。另外，下文也給出了兩種輸入方法下的隧道監測點第一主應力峰值與第三主應力峰值，見表2。表2同樣能對比出在兩種輸入方式下，巖體隧道的地震動反應較為吻合。

圖13　各監測點加速度曲線 Fig.13 Acceleration time history of A,B,C,D points under seismic wave input

圖14　各監測點Mises應力曲線 Fig.14 Misesstress of A,B,C,D points under seismic wave input

通過上述巖體隧道地震響應模擬的對比分析，本文建立的簡化輸入方法與等效節點力方法相比，在巖體隧道地震反應數值計算中具有較好的吻合度，說明了簡化輸入方法的有效性與準確性。

表2　各監測點主應力幅值(MPa)

附注：法一為等效節點力方法；法二為本文簡化方法

5結論

本文在顯式有限元方法結合黏彈性人工邊界的時域波動方法的基礎上，建立了近場數值波動分析中地震動輸入的一種簡化方法。與等效節點力的方法相比，本文方法簡化了地震動輸入的前處理工作，且又能保證與等效節點力方式相同精度。另外文中探討了簡化輸入方法時分層高度的標準與復合分層的方法，并對比了等效節點力方法與本文簡化方法下的隧道地震響應結果，得到以下結論：

(1)本文方法的計算精度取決于分層的高度。分層高度越小，計算的結果將越為精確；當分層高度與波動有限元網格離散要求的最大尺寸相等時，本文方法與等效節點力方法具有相同的精度；

(2)在進行較大尺寸的工程計算時，局部區域按可按網格離散要求的最大尺寸值進行嚴格分層而在其它區域放大分層高度，計算精度依然可以獲得保證;

(3)簡化輸入方法與等效節點力方法相比，在巖體隧道地震反應數值計算中具有較好的吻合度。

參考文獻

[1]杜修力. 工程波動理論與方法[M]. 北京:科學出版社，2009: 15-21.

[2]Lysmer J, Kuhlemeyer R L. Finite dynamic model forinfinite media[J].Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE 95(EM4),1969:869-877.

[3]廖振鵬. 工程波動理論導論[M]. 北京: 科學出版社, 2002.

[4]Deeks A J, Randolph M F. Axisymmetric time-domain transmitting boundaries[J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1994, 120(1): 25-42.

[5]Joyner W B,Chen A T F. Calculation of nonlinear ground response in earthquake[J]. Bull. Seism. Soc. Amer., 1975, 65(5): 1315-1336.

[6]劉晶波, 呂彥東. 結構-地基動力相互作用問題分析的一種直接方法[J]. 土木工程學報, 1998, 31(3): 55-64.

LIU Jing-bo, LU Yan-dong. A direct method for analysis of dynamic soil-structure interaction[J]. China Civil Engineering Journal, 1998, 31(3): 55-64.

[7]王振宇, 劉晶波. 成層地基非線性波動問題人工邊界與波動輸入研究[J]. 巖石力學與工程學報, 2004, 23(7): 1169-1173.

WANG Zhen-yu, LIU Jing-bo. Study of wave motion input and artificial boundary for problem of nonlinear wave motion in layered soil[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(7): 1169-1173.

[8]杜修力, 趙密. 基于黏彈性邊界的拱壩地震反應分析方法[J]. 水利學報, 2006, 37(9): 1063-1069.

DU Xiu-li, ZHAO Mi. Analysis method for seismic response of arch dams in time domain based on viscous-spring artificial boundary conditions[J]. Shuli Xuebao, 2006, 37(9): 1063-1069.

[9]張順福, 王海波, 楊會臣, 等效黏性邊界單元及黏性邊界波動輸入方法[J]. 水利學報, 2008, 39(10): 1248-1255.

ZHANG Shun-fu, WANG Hai-bo, YANG Hui-chen. Equivalent viscous boundary elements and the method of wave input for viscous boundary[J].Shuli Xuebao, 2008, 39(10): 1248-1255.

[10]張波, 李術才, 楊學英, 等. 三維黏彈性人工邊界地震波動輸入方法研究[J]. 巖土力學, 2009, 30(3): 774-778.

ZHANG Bo, LI Shu-cai, YANG Xue-ying, et al. Research on seismic wave input with three-dimensional viscoelastic artificial boundary[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(3): 774-778.

[11]趙武勝, 陳衛忠, 黃勝, 等. 地下結構抗震分析中地震動輸入方法研究[J]. 土木工程學報, 2010, 43(S): 554-559.

ZHAO Wu-sheng, CHEN Wei-zhong, HUANG Sheng, et al. Research on method of seismic motion input in a seismic analysis for underground structure[J]. China Civil Engineering Journal, 2010, 43(S): 554-559.

[12]劉晶波, 王振宇, 杜修力, 等. 波動問題中的三維時域粘彈性人工邊界[J]. 工程力學, 2005, 22(6): 46-51.

LIU Jing-bo, WANG Zhen-yu, DU Xiu-li, et al.Three-dimensional viscos-elastic artificial boundaries in time domain for wave motion problems [J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(6): 46-51.