橋梁動(dòng)力測(cè)試信號(hào)的自適應(yīng)分解與重構(gòu)

第一作者單德山男，博士,教授，博士生導(dǎo)師，1969年生

橋梁動(dòng)力測(cè)試信號(hào)的自適應(yīng)分解與重構(gòu)

單德山，李喬，黃珍

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁工程系，成都610031)

摘要：針對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力測(cè)試信號(hào)噪聲水平高、難以分離結(jié)構(gòu)有效信號(hào)的特點(diǎn)，在總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法和主成分分析的基礎(chǔ)上，建立了自適應(yīng)分解與重構(gòu)方法。對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解結(jié)果的模態(tài)混疊現(xiàn)象進(jìn)行深入分析，利用白噪聲概率密度函數(shù)的均勻性對(duì)模態(tài)混疊模式一進(jìn)行了改進(jìn)，基于相關(guān)性分析改進(jìn)了模態(tài)混疊模式二，改進(jìn)后的分解方法在計(jì)算效率和分解精度上均有較大提升；隨后對(duì)所有分解獲得的固有模態(tài)函數(shù)進(jìn)行多尺度主成分分析，實(shí)現(xiàn)降噪和選擇并重構(gòu)測(cè)試信號(hào)。分別用模擬信號(hào)和實(shí)際橋梁測(cè)試信號(hào)對(duì)所提方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：改進(jìn)后的信號(hào)自適應(yīng)分解和重構(gòu)方法能在降噪的同時(shí)，有效地提取橋梁結(jié)構(gòu)信息，可用于實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力測(cè)試分析中。

關(guān)鍵詞：橋梁；動(dòng)力測(cè)試；EEMD；信號(hào)分解；信號(hào)重構(gòu)

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51078316)；國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(2013CB036300-2)；四川省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2011JY0032)；鐵路科技研究開(kāi)發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2011G026-E、2012G013-C)

收稿日期：2013-12-05

中圖分類號(hào):U448.25;U448.27文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)

Adaptive decomposition and reconstruction for bridge structural dynamic testing signals

SHANDe-shan,LIQiao,HUANGZhen(Bridge Engineering Department, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:In order to extract structural information from bridge structural dynamic signals with high noise level, a novel adaptive decomposition and reconstruction method was proposed by combining the ensemble empirical mode decomposition (EEMD) method and the principal component analysis (PCA) method for the specific characteristics of bridge structural dynamic signals. Based on the in-depth analysis of mode mixing in results of empirical mode decomposition, the uniformity of probability density function of white noise was adopted to improve the pattern I of mode mixing, and the correlation analysis was used to ameliorate the pattern II of mode mixing, then the calculation efficiency and decomposition accuracy were upgraded greatly for the improved EEMD. The multi-scale principal components analysis was implemented for all of the intrinsic mode functions (IMFs) obtained with the improved EEMD to reduce noise and select IMFs. Moreover, the dynamic signals were reconstructed. The effectiveness of the proposed method was verified with both the simulated signals and testing signals from real bridge structures. The results showed that the proposed method can be used to decompose adaptively and denoise effectively the bridge dynamic signals with high noise, and extract accurately the structural information from the testing signals, furthermore, it is applicable for the dynamic testing analysis of real bridge structures.

Key words:bridge; dynamic test; ensemble empirical mode decomposition (EEMD); signal decomposition; signal reconstruction

信號(hào)分解技術(shù)廣泛應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別中，如Fourier變換、小波變換以及HHT變換[1]。因HHT變換中的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?Empirical Mode Decomposition, EMD)能對(duì)非線性、非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)分解而受到廣泛關(guān)注。與Fourier變換和小波變換不同的是，EMD無(wú)需基函數(shù)，屬于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的自適應(yīng)信號(hào)分解[1]。然而，EMD也存在一些問(wèn)題，如分解獲得的同一固有模態(tài)(Intrinsic Mode Function, IMF)中存在振幅完全不同的振動(dòng)模式(本文定義模態(tài)混疊模式一)，或不同的IMF中存在相似的振動(dòng)模式(本文定義模態(tài)混疊模式二)[2]。

針對(duì)模態(tài)混疊問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了很多改進(jìn)方法：Huang等[3]以降低EMD自適應(yīng)性為代價(jià)，提出間歇檢測(cè)方法；譚善文等[4]通過(guò)約束特征尺度大小避免EMD的模態(tài)混疊，其方法也犧牲了EMD自適應(yīng)性。近年來(lái)，隨著白噪聲統(tǒng)計(jì)特性研究的進(jìn)展，基于EMD二進(jìn)自適應(yīng)濾波的特點(diǎn)[5]，建立了噪聲輔助數(shù)據(jù)分析(Noise-Assisted Data Analysis, NADA)[6]，在此基礎(chǔ)上Wu等[7]提出了總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)，該方法在EMD中加入Gaussian白噪聲對(duì)模態(tài)混疊進(jìn)行改善；研究表明白噪聲添加次數(shù)越多，效果越顯著[7]。

橋梁結(jié)構(gòu)測(cè)試信號(hào)分解和重構(gòu)的目的是從分解后的成分中選擇有效成分以表征結(jié)構(gòu)的真實(shí)響應(yīng)。對(duì)于EMD/EEMD方法的分解結(jié)果來(lái)說(shuō)，有效成分的選擇實(shí)際上就是IMF的選擇。陳仁祥等[8]提出了自動(dòng)選擇IMF分量的算法，并應(yīng)用于滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的降噪；陳雋等[9]通過(guò)去除前若干階IMF分量和余量，實(shí)現(xiàn)IMF的選擇，進(jìn)而對(duì)疲勞應(yīng)變信號(hào)的降噪；基于IMF中噪聲信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分析，Terrien等[10]對(duì)IMF1進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，確定其中的有效成分，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)IMF的選擇，并應(yīng)用于機(jī)械和生物信號(hào)的處理中。

然而，EEMD必會(huì)增加新的模態(tài)混疊，即重構(gòu)信號(hào)中必然包含殘余的噪聲，且由于白噪聲的隨機(jī)性使得不同噪聲的疊加將獲得不同的模態(tài)數(shù)目，進(jìn)而影響總體平均的結(jié)果[7]；另外EEMD方法是通過(guò)犧牲計(jì)算效率來(lái)解決模態(tài)混疊的。既有IMF的選擇方法基本上均依據(jù)白噪聲EMD得到的IMF成分的能量密度與其平均周期的乘積為常量的特點(diǎn)[7]進(jìn)行的。實(shí)際橋梁的動(dòng)力測(cè)試多采用環(huán)境激勵(lì)的方法進(jìn)行，其動(dòng)力測(cè)試信號(hào)具有噪聲水平高、難以分離結(jié)構(gòu)有效信號(hào)的特點(diǎn)[11]。針對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力測(cè)試信號(hào)特點(diǎn)，本文對(duì)EEMD算法進(jìn)行了改進(jìn)，并用多尺度主成分分析對(duì)IMF進(jìn)行降噪和選擇，達(dá)到精確提取結(jié)構(gòu)有效信號(hào)的目的。

1EEMD的改進(jìn)

1.1EEMD

(1)

EEMD整個(gè)過(guò)程如圖 1所示，由該圖可知，確保不同xi(t)EMD得到的IMF數(shù)量相同是關(guān)鍵所在，在不同噪聲情況，要使得每一xi(t)分解得到相同數(shù)量IMF難以保證[7]。

圖1　EEMD基本流程 Fig.1 The Flowchart of EEMD

1.2改進(jìn)EEMD

EMD中存在兩種不同性質(zhì)的模態(tài)混疊情況[2]，本文從信號(hào)處理的角度出發(fā)，分別進(jìn)行改進(jìn)。

1.2.1模態(tài)混疊模式一的改進(jìn)

(1)在信號(hào)x(t)中分別添加N個(gè)滿足N(0,1)分布的白噪聲，即：

xi(t)=x(t)+wi(t)(i=1,2,…,N)

(2)

(3)

殘量為：

(4)

(3)用EMD分解噪聲wi(t)，獲得各噪聲的IMF分量以及殘量

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(7)重復(fù)第(6)步，直到所得的殘量不再可分。測(cè)試信號(hào)x(t)的分解殘量R(t)為

(10)

測(cè)試信號(hào)x(t)可表示為

(11)

1.2.2模態(tài)混疊模式二的改進(jìn)

若不同IMF中存在相同的振動(dòng)模式，即不同IMF的形狀相似。為此，本文從信號(hào)相關(guān)性[12]的角度對(duì)分解獲得IMF進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，進(jìn)而將相同振動(dòng)模式的不同IMF合并，進(jìn)而改進(jìn)該類模態(tài)混疊模式。

設(shè)分解后的IMFi=si(t)+ni(t)(i=1,2,…,K)，其中si(t)為IMF中的特征信號(hào)，ni(t)為噪聲。不同IMF間的互相關(guān)函數(shù)為

Rij(τ)=Rsisj(τ)+Rsinj(τ)+

Rsjni(τ)+Rninj(τ)(i≠j)

(12)

因噪聲互不相關(guān)，即Rsinj(τ)=Rsjni(τ)=Rninj(τ)=0。式(12)可寫為

Rij(τ)=Rsisj(τ)(i≠j)

(13)

(14)

2IMF的降噪與選擇

在IMF選擇中，F(xiàn)landrin等[13]認(rèn)為IMF1均為噪聲，獲得IMF1的噪聲能量后，估計(jì)其他IMF的噪聲水平和置信區(qū)間，并據(jù)此對(duì)IMF進(jìn)行降噪和選擇。近年的研究表明IMF1中仍可能含有結(jié)構(gòu)信息[10]；且各IMF噪聲能量的關(guān)系是在某些假設(shè)條件下建立的，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力測(cè)試信號(hào)的適應(yīng)性不好。為克服該問(wèn)題，采用多尺度主成分分析(Multi-scale Principal Component Analysis, MPCA)[14]處理每一IMF，實(shí)現(xiàn)IMF的降噪和選擇。

2.1主成分分析

主成分分析[12](Principal Component Analysis, PCA)在方差分析的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)投影到方差最大的正交主成分上，使得多維數(shù)據(jù)的互相關(guān)最小，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)多維數(shù)據(jù)的降維。

C=E(XXT)=Um×mΛm×mUTm×m

(15)

式中：Λ為協(xié)方差矩陣特征值的對(duì)角矩陣，Λ=diag(λ1,λ2,…,λm)，且λ1≥λ2≥…≥λm；U為特征向量組成的正交矩陣。

(16)

pi對(duì)應(yīng)的特征值λi定義為該主成分的貢獻(xiàn)率φi

(17)

前l(fā)個(gè)主成分得累計(jì)貢獻(xiàn)率ψi定義為：

(18)

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，確定累計(jì)貢獻(xiàn)率的閾值后，即可確定主成分的選擇數(shù)量。

2.2多尺度主成分分析

多尺度主成分分析將主成分分析的正交相關(guān)性能力與小波多尺度分解[15]能力相結(jié)合[14]，利用噪聲的互不相關(guān)特點(diǎn)對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行降噪，從橋梁動(dòng)力信號(hào)中提取結(jié)構(gòu)特征。實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

(1)對(duì)IMFi(i=1,2,…,K)進(jìn)行多尺度小波分解；

(2)對(duì)每一尺度進(jìn)行主成分分析，計(jì)算各自小波系數(shù)的協(xié)方差矩陣、主成分分量；確定主成分?jǐn)?shù)量并計(jì)算閾值，獲得大于或等于閾值的小波系數(shù)；

(3)對(duì)檢測(cè)到的顯著事件尺度進(jìn)行組合，依據(jù)所選分值和閾值重構(gòu)IMF，獲得降噪后的IMFi，并計(jì)算其PCA；

(4)對(duì)降噪后IMFi進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，合并具有相同振動(dòng)模式的IMF，用PCA方法選擇并獲得最終的分解結(jié)果。

3測(cè)試與驗(yàn)證

利用改進(jìn)EEMD分解橋梁結(jié)構(gòu)測(cè)試信號(hào)后，應(yīng)用MPCA對(duì)每一分解成分進(jìn)行降噪，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力測(cè)試信號(hào)的處理，分別用模擬信號(hào)和實(shí)際橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)力測(cè)試信號(hào)對(duì)本文所提方法進(jìn)行驗(yàn)證，以說(shuō)明本文改進(jìn)方法的效果。

3.1模擬信號(hào)

模擬信號(hào)由兩個(gè)1 Hz和5 Hz的余弦信號(hào)疊加噪聲水平約15%的隨機(jī)噪聲組成：

分解結(jié)果如圖2所示，圖中(a)為EEMD分解結(jié)果，(b)為改進(jìn)EEMD的分解結(jié)果，(c)為MPCA降噪后的結(jié)構(gòu)信號(hào)。比較圖2(a)和(b)可知：EEMD獲得10個(gè)IMF，其中IMF3為1 Hz的分量，IMF4和IMF5為5 Hz的分量，即不同的IMF包含相同的頻率成分，仍然

存在模態(tài)混疊；本文改進(jìn)EEMD獲得9個(gè)IMF，其中IMF4和IMF5為主要頻率成分，不存在明顯的模態(tài)混疊；另外，EEMD方法得到IMF4和IMF5的幅值變化較大，特別是IMF5的幅值變化十分明顯，與原信號(hào)的該成分差異顯著。分析認(rèn)為，本文方法的每次分解均是從原信號(hào)的殘量開(kāi)始，且僅取每次分解的第1階固有模態(tài)，從而確保了模態(tài)分量的一致性，避免了EEMD中不同分解過(guò)程中模態(tài)分量不一致的問(wèn)題。由圖2(b)和(c)可知改進(jìn)EEMD的每一IMF中均包含結(jié)構(gòu)振動(dòng)信息，若直接采用圖2(b)中的IMF4和IMF5重構(gòu)結(jié)構(gòu)信息必然造成結(jié)構(gòu)信息的丟失；MPCA處理后的各IMF噪聲水平分別99.81%，98.49%，97.48%，0.61%，0.09%，96.04%，99.98%，99.01%，其中IMF4和IMF5的噪聲水平最低，分別為0.61%和0.09%，其他IMF分量的噪聲水平很高，均大于96%；圖2(c)的結(jié)果還說(shuō)明了盡管IMF1的噪聲水平很高，但不全是噪聲。

圖2　模擬信號(hào)EMD及MPCA結(jié)果 Fig.2 EMD results of simulation signal

將分解所得的所有IMF疊加后重構(gòu)信號(hào)，并與原信號(hào)進(jìn)行比較，得到分解誤差，兩種方法的重構(gòu)誤差如圖 3所示，由圖可知本文方法的誤差在10-14量級(jí)，EEMD方法的誤差在10-1量級(jí)，顯然本文方法的分解精度遠(yuǎn)大于原EEMD方法的分解精度。

圖4示出了兩種方法EMD執(zhí)行次數(shù)箱線圖，本文方法總的迭代次數(shù)為45 918，最大迭代次數(shù)出現(xiàn)IMF3的計(jì)算過(guò)程中，為73次；EEMD方法總的次數(shù)為59 940，最大迭代次數(shù)出現(xiàn)IMF5的計(jì)算過(guò)程中，為309次。本文方法的計(jì)算減少約25%，即本文方法的計(jì)算效率更好。

兩種分解方法獲得的瞬時(shí)頻率如圖 5所示，為凸現(xiàn)主要頻率成分，圖中瞬時(shí)頻率顏色的深淺與該頻率成分能量大小相關(guān)，能量越大顏色越深。由圖中可知，兩種EEMD方法均能凸顯模擬信號(hào)的頻率成分，但本文改進(jìn)EEMD方法獲得的瞬時(shí)頻率更為連續(xù)和清晰，特別是1 Hz瞬時(shí)頻率，由圖 2亦可發(fā)現(xiàn)該結(jié)論。圖5中還示出了MPCA降噪后的瞬時(shí)頻率，由圖5(c)可知，降噪后的主要頻率成分比改進(jìn)EEMD方法的更為清晰和連續(xù)。

圖3　模擬信號(hào)重構(gòu)誤差 Fig.3 Reconstruction error of simulation signal

圖4　模擬信號(hào)分解迭代次數(shù) Fig.4 Decomposition iteration count of simulation signal

為評(píng)判降噪后的重構(gòu)信號(hào)與不含噪聲的模擬信號(hào)的差異，計(jì)算了MPCA降噪前后的相關(guān)性(MPCA降噪前的相關(guān)性計(jì)算只選擇了改進(jìn)EEMD得到的IMF4和IMF5)，降噪前后的相關(guān)性分別為0.986 7和0.986 2。雖然降噪后的相關(guān)性略有降低，但其瞬時(shí)頻率連續(xù)且清晰(如圖5(c)所示)。

圖5　模擬信號(hào)分解后的Hilbert-Huang譜 Fig.5 Hilbert-Huang spectrum of simulation signal

圖6　主梁加速度傳感器布置(單位：m) Fig.6 Layout of accelerometer on main girder(Unit: m)

圖7　13#加速度傳感器測(cè)試信號(hào)分解后的Hilbert-Huang譜 Fig.7 Hilbert-Huang spectrum of testing signal for 13# accelerometer

圖8　數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間參數(shù)識(shí)別穩(wěn)定圖 Fig.8 Stable graph of data-driven stochastic subspace system identification

3.2橋梁實(shí)測(cè)動(dòng)力信號(hào)

采用某主跨1 088 m斜拉橋的主梁加速度測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)本文方法進(jìn)行檢驗(yàn)。在主梁主跨1/6截面和次邊跨1/2截面的上游和下游布置豎向加速度傳感器，共布置14個(gè)加速度計(jì)，如圖6所示。

用本文方法對(duì)所有加速度信號(hào)進(jìn)行分解和重構(gòu)方法進(jìn)行驗(yàn)證。信號(hào)采樣頻率為20 Hz，測(cè)試時(shí)長(zhǎng)700 s。分解和重構(gòu)的情況與模擬信號(hào)分解與重構(gòu)情況類似，改進(jìn)EEMD的分解誤差與次數(shù)均遠(yuǎn)低于EEMD分解的相應(yīng)數(shù)據(jù)。圖 7示出了13#加速度信號(hào)的Hilbert-Huang譜，該圖的情況與模擬信號(hào)的Hilbert-Huang譜基本一致；因該橋跨度大，結(jié)構(gòu)柔，模態(tài)密集，因此該圖中頻率不像圖5一樣能清晰表征主要成分。為說(shuō)明該問(wèn)題，采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間方法[16]對(duì)重構(gòu)后的信號(hào)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，識(shí)別結(jié)果如圖8所示，圖8(a)為原始測(cè)試數(shù)據(jù)的穩(wěn)定圖，圖8(b)為本文方法處理后的穩(wěn)定圖，對(duì)比這兩個(gè)穩(wěn)定圖可知，用本文方法處理后數(shù)據(jù)識(shí)別的頻率值較多，且穩(wěn)定軸更為清晰，即本文方法提取的結(jié)構(gòu)信息更為豐富，圖中還標(biāo)識(shí)出了具體的頻率值，與文獻(xiàn)[17]的豎向頻率理論計(jì)算值吻合得很好。

4結(jié)論

經(jīng)模擬信號(hào)與實(shí)橋?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，可得如下結(jié)論：

(1)改進(jìn)后的EEMD方法具有較好的計(jì)算效率和分解精度，分解誤差比EEMD小很多，且其Hilbert-Huang譜更為清晰和連續(xù)；

(2)多尺度主成分分析能有效地實(shí)現(xiàn)固有模態(tài)函數(shù)的降噪和選擇；降噪后Hilbert-Huang譜清晰和連續(xù)；

(3)本文所提方法能對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力測(cè)試信號(hào)進(jìn)行有效的分解和降噪，提取的結(jié)構(gòu)信息更為豐富準(zhǔn)確；

(4)實(shí)橋測(cè)試數(shù)據(jù)的處理結(jié)果表明，本文方法能應(yīng)用于實(shí)際橋梁的動(dòng)力測(cè)試分析中。

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