初中數學開放性題目初探

一、數學開放題的定義

數學開放題是相對于傳統的封閉題而言的，數學中的封閉性問題一般是指問題的條件和結論都是完全確定的，而且是不多不少的.而數學開放題是指那些答案不唯一確定，并且要求學生多角度、多方面進行探索的一類數學問題.

二、開放性題目的特征

與常規題相比，開放性題目的條件或結論是往往是不確定的、不唯一的，它給學生留有自由思考的余地和充分展示思想的廣闊空間.它的主要特征如下。

（1）不完備性：一個開放題的條件可以是不足的，也可以是多余的.條件不足時需要學生進行補充，條件多余時需要學生從中選出有用的條件.

（2）非常規性：解開放題時，往往沒有一種特定的解題模式，在求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索.

（3）創新性：有時一個題目需要采用一種新的解題方法或開拓一個新的研究領域.

（4）發散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更有概括性的結論.

（5）能激起多數學生的好奇心，全體學生都可以參與解答過程，不管他屬于何種程度和水平.

（6）教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中扮演的角色是示范者、啟發者、鼓勵者和指導者.

三、數學開放性題目的主要類型

（一）探索發現型

1.規律性探索

請將你找出的規律用公式表示出來？搖？搖？搖 "？搖？搖？搖.

探索規律的題目是近幾年常見的一種開放性題目，主要考查學生運算、觀察、發現規律的能力.解決這類問題的方法是：先從簡單的式子入手，觀察數字（或等式、不等式兩邊的數據）隨著“序號”、項數的增加而變化的情況，找出異同，分析、發現、探索變化的規律，得出一般性結論.

2.條件開放題

條件開放題是指問題的條件具有不確定性，滿足結論的條件不唯一.在此基礎上，我們又可以把條件開放題分為條件不足型和條件多余型.

①條件不足型

所謂條件不足型是指問題條件不足，滿足結論的條件不唯一，需要從多方面考慮才能正確解決這類問題.

例2：已知二次函數的y=ax+bx+c圖像經過A﹙0，a﹚，B﹙1，-2﹚？搖 " "？搖？搖？搖，求證：這個二次函數圖像的對稱軸是直線x=2.題目中的矩形框內的部分是一段被墨水染污了無法辨認的文字.

1.根據現有的信息，你能否求出題目中二次函數的解析式？若能，寫出求解過程;若不能，說明理由.

2.請你根據已有的信息，在原題中的矩形框內填加一個適當的條件，把原題補充完整.

（2）可供補充的內容有：①滿足函數解析式的任意一點的坐標;②a=1或b=-4或c=1;③頂點坐標為（2，-3）.

②條件多余型

所謂條件多余型開放題是指問題中條件過剩，許多有用和無用的條件都混雜在一起，對學生解題形成干擾.

例3：在△ABC與△A′B′C′中，有下列條件：;③∠A=∠A′;④∠C=∠C′.如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷△ABC∽△A′B′C′的共有（ " "）組.

A.1 " "B.2 " "C.3 " "D.4

分析：有3組：①和②;③和④;②和④.

3.結論開放題

結論開放題是指在給定條件下，結論不唯一，學生可以根據條件或情景將所有可能的結果一一分析得出.

例4：一個鋼筋三角架三邊長分別為20cm，50cm，60cm，現要再做一個與其相似的鋼筋三角架，而只有長為30cm和50cm的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根截下兩段（允許有余料）作為另兩邊，有幾種不同的截法？

分析：根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，只能用50cm截成兩段，設截得的兩段分別為xcm和ycm，則有以下三種情況：

解得：

x=10，y=25

4.存在性探索

例5：如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動;同時，動點N從D點出發沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值;若不存在，請說明理由.

分析：設存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似.

依題意得：AM=tcm，DN=2tcm，AN=（6-2t）cm.

解存在型探索題的基本思路通常是先假設存在，然后根據存在進行推理或計算，找出必須滿足的條件，再看這個條件題目中是否已具備，若已具備則存在，反之不存在.

（二）閱讀理解型

例6：閱讀題例，解答下題.

這個例題屬于閱讀理解型開放題，解決這類問題需要學生具有一定的閱讀理解、接受新知識、認識新事物的能力，以及運用新知識解決實際問題的能力，解題的關鍵是仔細讀懂題意，通過閱讀探索解決問題的方法.

（三）規劃決策、設計方案型

例7：某工廠現有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品，共50件.已知生產一件A種產品，需用甲種原料9kg，乙種原料3kg;生產一件B種產品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg.按要求安排A、B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案，請你設計出來.

分析：設安排生產A種產品件，則生產B種產品為（50-x）件，根據題意得

9x+4（50-x）≤3603x+10（50-x）≤290 " "解得30≤x≤32.

∵x為整數，∴x只能取30、31、32，相應的50-x的值為20、19、18.

答：生產方案有三種：①生產A種產品30件，B種產品20件;②生產A種產品31件，B種產品19件;③生產A種產品32件，B種產品18件。

隨著新課程改革的不斷深入，題目的呈現方式也在不斷發生變化，一方面越來越貼近生活實際，另一方面對學生獲取信息的能力、解決實際問題的能力的要求越來越高.這類題目具有較強的開放性、探究性，有利于培養學生的創新能力.

四、開展數學開放題教學對數學教學的意義

（一）開放題教學有助于培養學生的創造性思維

由于開放題的答案不唯一，在開放題的解答過程中，沒有固定的、現成的模式可依循，學生必須打破原有的思維模式，學會從不同的角度考慮問題、發現問題，用多種思維方法（如猜想、聯想、類比等）進行探索.因此，數學開放題教學對于學生的發散性思維的培養有著極大的促進作用，從而為學生創造能力的培養提供了可能.

（二）開放題教學有利于學生主動參與學習，實現數學課堂教學的民主性和合作性

開放性問題一般都具有一定的挑戰性，能誘發學生的學習興趣和學習動力.在數學開放題教學中，寬松、民主的課堂氣氛有助于激勵學生主動參與教學活動.學生經過自主探究、實踐體驗，就能充分展現自我，得到不同程度的發展.

（三）培養學生的非智力因素

開放題教學提倡以學生發展為本，教師只起到引導作用，講究師生互動、生生互動，和傳統的以教師為中心、強調知識傳授、把學生當做知識灌輸對象的教學模式大不相同.教師對學生的思維的限制減少了，學生能夠更充分發揮自己的個性，有利于促進學生興趣、情感、意志、性格等非智力因素的健康發展.

數學開放題不僅是一種習題形式，更重要的是一種教學思想.這種教學思想，反映了人們數學教育觀念的轉變，也適應了飛速發展時代的需求.沒有奇思就沒有創造，開放性題目就是讓學生大膽思維，在探索性的思索中培養創新思維，提高數學素質.這是每一位數學教師都應該研究的課題.