方法技巧：數學思想，解題之根本

數學思想是人們對數學事實與理論經過高度提煉概括后產生的本質認識，是數學知識和方法產生的根本源泉，是解決數學問題過程中的指路明燈. 一道好的試題，不在于華麗的“包裝”，而在于本身所蘊涵的思想方法.

在數學的知識和技能中，蘊涵著具有普遍性的數學思想，它是數學的精髓和靈魂，是知識轉化為能力的橋梁，是人們對數學事實與理論，經過高度提煉概括后產生的本質認識，是數學知識和方法產生的根本源泉，是解決數學問題的指路明燈. 對數學思想的應用，是數學學習走向更深層次的一個標志. 高考試題中也蘊涵了豐富的數學思想，只有挖掘其中的思想，才能深入認識試題，透徹分析試題，順利解答試題.本文就以2014年浙江數學高考文科卷第16題為例，淺談在數學思想指引下的解法探究.

試題呈現：已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是_______. （2014年浙江省數學高考文科試卷第16題）

點評：此題雖小，卻是亮點.看似平常，卻是豐富多彩.入口寬，方法多，蘊涵著豐富的數學思想.

探究視角1 構造思想方法的應用

構造法是一種極其重要的數學思想方法，其本質特征是構造，通過觀察、分析已知條件和需要解決的問題，聯系已有的知識，構造出適當的數學式子或數學模型，來解決問題.

1. 構造重要不等式

x，y∈R，x2+y2≥2xy，當且僅當x=y時取等.

推論：x，y∈R，x2+y2≥，當且僅當x=y時取等.

解法1：因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

因為（b+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，

所以-≤a≤，所以a的最大值是，當且僅當b=c時取等.

解法2：因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）≤1-=1-，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，當且僅當b=c時取等.

解法3：因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

所以bc==a2-. 因為b，c∈R，b2+c2≥2bc，

所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，

所以a的最大值是，當且僅當b=c時取等.

2. 構造柯西不等式

二維柯西不等式：任取實數x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）≥（x1y1+x2y2）2，

當且僅當xi=kyi（i=1，2）時取等.

解法4：因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.

由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，當且僅當b=c時取等.

探究視角2 函數與方程思想方法的應用

函數與方程思想是數學本質的思想之一. 函數思想是指利用函數的概念與性質去分析問題、轉化問題、解決問題.方程思想是指從問題的數量關系入手，用數學語言問題中的條件轉化為數學模型，如方程、不等式、方程與不等式組等，然后通過解方程或不等式組使問題得到解決.

解法5：（構造方程）

因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-，所以b，c為一元二次方程x2+ax+a2-=0的兩個分布在（-1，1）上的實根.

所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1<-<1，

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

點評：此法是將已知條件轉化為一元二次方程，常用判別式來探求根的情況，但要注意根的分布.

解法6：（消元，減少變量）

因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）.

所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.

消掉c得，a2+b2+ab-=0.

解法7：（增量換元，構造函數）

因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.

所以令b=-+x，c=--x，x∈R，則-+x+--x=1-a2，x∈R.所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

解法8：（三角換元）

因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cosθ，則-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.

所以sinθ+= ，所以≤1.

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

點評：換元法又稱輔助元素法、變量代換法，即通過引進新的變量，可以將分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者將條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的形式，從而將復雜的計算和證明簡化.

探究視角3 數學結合思想

華羅庚先生說過：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直觀，形少數時難入微.” 數形結合是一種重要的數學思想，運用時關鍵在于數形相互轉化，即用代數方法處理幾何問題，或通過構圖解決代數問題，數形結合在解題中的應用不僅能整合學生相關的數學知識，而且能培養學生的創新思維.

解法9：（坐標思想，直線與圓的位置關系）

因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

所以點（b，c）在以原點為圓心，為半徑的圓上，同時又在直線b+c+a=0上，則由直線與圓的位置關系可得：圓心距d=≤.

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

解法10：（構造三角形，利用正余弦定理來解三角形）

因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b），

所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-

消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，為邊構造三角形，令其所對角分別為A，B，D，則由余弦定理可得，cosD==.

（1）若ab>0，則cosD===-，則D=，在△ABD中由正弦定理可得，=，則a=sinA，A∈0，，0

（2）若ab<0，則cosD===，則D=，A+B=，在△ABD中由正弦定理可得，=，則a=sinA，A∈0，，0

由（1）（2）可得a的最大值是.

探究視角4 特殊化思想的應用

根據矛盾論的基本原理，我們在認識事物和解決問題的過程中，必須堅持具體問題具體分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指導下，具體分析矛盾的特殊性.數學問題，特別是高考試題變化無窮、深淺莫測、精彩紛呈. 在解題中，若能充分挖掘隱藏于問題之中或與之相關的特殊值、特殊點、特殊圖形、特殊位置和特殊結構，則可避免煩瑣的運算、作圖和推理，得到意想不到的、新穎獨特的最佳解法. 這種利用特殊因素，采取特殊方法，解決特殊問題的思維方法，我們稱之為特殊化思想方法. 每年的高考題中（尤其是選擇題和填充題）都有幾道題可直接運用特殊化思想方法獲解.

解法11：特殊值法

因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，則a=-2b，a2=1-2b2.

所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=±，

所以a的最大值是.

數學思想方法不是操作程序，沒有具體的步驟，需要感悟、理解，但是，沒有數學思想方法就找不到解題方向. 在上述解法探究中，要感悟試題中所蘊涵的數學思想，在上述四個視角中體現了構造思想、函數思想、方程思想、換元思想、數形結合思想、特殊化思想. 近年的高考越來越重視對數學思想方法的考查. 隨著試題難度的上升，數學思想方法的作用會越來越重要.