指數函數與對數函數
2015-12-29 00:00:00李水艷
數學教學通訊·初中版 2015年9期
指數函數與對數函數是高中數學中最重要的兩個基本初等函數，也是歷年高考考查函數“兩域三性”的重要載體.有關指數函數、對數函數的試題每年必考，大都以指、對數函數的性質和圖象為依托，結合推理、運算來解決，往往與其他函數進行復合；另外底數多含參數，考查分類討論思想.
重點難點
重點：指數函數與對數函數的定義、性質和圖象. 主要體現在利用它們的定義、圖象和性質研究簡單復合函數的單調性、奇偶性等性質以及通過它們的圖象變換作出其他函數的圖象.
難點：指數函數、對數函數的性質的綜合應用. 主要體現在利用指數函數、對數函數的性質解決相關函數的其他問題和解決以指數函數、對數函數為背景的代數推理題.
方法突破
1. 熟練掌握指數、對數運算法則和指數、對數函數的性質
（1）指數運算：①ar·as=a；②（ar）s=ars；③（ab）r=arbr（其中a>0，b>0，r，s∈Q）.
（2）對數恒等式：①a=N（a>0，且a≠1，N>0）；②logaab=b（a>0，且a≠1，b∈R）.
（3）對數運算法則（a>0，且a≠1，M>0，N>0）：①log（M·N）=logaM+logaN；②log=logaM-logaN；③logaMn=nlogaM.
（4）換底公式：logbN=（a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，N>0）.
推論：①logab·logba=1；②logab·logbc=logac；③logbn=logab；④logbn=logab.
（5）指數函數y=ax（a>0，且a≠1）的性質：
①當0
②當0
（6）對數函數y=logax（a>0，且a≠1）的性質：
①定義域為（0，+∞），值域為R.
②恒過定點（1，0）.
③當a>1時，y=logax在（0，+∞）上為增函數；當0 ④當a>1，x>1時，logax>0；當a>1，0 2. 比較大小 （1）分清是底數相同還是指數（真數）相同. （2）利用指、對數函數的單調性或圖象比較大小. （3）當底數、指數（真數）均不相同時，可通過中間量過渡處理. 3. 單調性與值域 （1）研究指數、對數函數的值域、單調區間應該先求定義域，特別是與對數函數有關的問題，首先保證真數大于零. （2）在研究以“ax”或“logax”為變元的函數值域問題時，可以將“ax” 或“logax”看做一個整體，采用“整體代換”的思想求解. （3）在研究形如“y=af（x）”或“y=loga f（x）”的復合函數的單調性與值域問題時，先求內層函數“u=f（x）”的單調區間與值域，再求外層函數“y=au”或“y=logau”的單調性與值域，要特別注意定義域. （4）注意底數a的取值范圍和分類討論. 4. 圖象與方程 有關指、對數函數的圖象問題或方程根的問題，往往利用圖象解決. 作圖時，指數函數與對數函數的圖象上的一些關鍵點、線的位置要牢記在心. 典例精講 例1 （1）已知a=5，b=5，c=，則（ ） A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b （2）已知b>0，log5b=a，lgb=c，5d=10，則下列等式一定成立的是（ ） A. d=ac B. a=cd C. c=ad D. d=a+c 思索 （1）比較三個式子的大小，通常先比較其中兩個式子的大小，而且優先選擇兩個底數相同的式子，然后借用指數函數的單調性進行比較；接下來把這兩個式子與第三個式子進行比較，直接比可能行不通，可借助中間量來搭橋，根據題目特征，選用中間量“1”，問題即可快速獲解. （2）熟練掌握指數式與對數式的轉化：ab=N（a>0，a≠1）？圳b=logaN，及對數的運算法則和換底公式：logab=. 破解 （1）因為c=5=5，log23.4>log>1>log43.6>0，且指數函數y=5x是R上的增函數，所以a>c>b，故應選C. （2）由logb=a得b=5a，又lgb=c，則lg5a=c？圯alg5=c？圯lg5=，5d=10？圯d=log510=，所以d=，所以a=cd. 故選B. 例2 函數f（x）=log（x2-4）的單調遞增區間是（ ） A. （0，+∞）\tB. （-∞，0） C. （2，+∞）\tD. （-∞，-2） 思索 求函數的單調區間首先要得到其定義域，單調區間是定義域的子區間，求復合函數的定義域要利用“同增異減”法則. 破解 函數f（x）=log（x2-4）的定義域為（-∞，-2）∪（2，+∞），函數log（x2-4）由函數y=logt與t=x2-4復合而成，y=logt在（0，+∞）上單調遞減，t=x2-4在（2，+∞）上單調遞增，在（-∞，-2）上單調遞減，所以f（x）=log（x2-4）在（-∞，-2）上單調遞增.故選D. 例3 （1）已知a>0，b>0，且ab=1，則函數f（x）=ax與函數g（x）= -logbx的圖象可能是（ ） A B C D （2）已知f（x）=ex-1，x≤0，f（x-1）+1，x>0，則方程f（x）-x=0在區間[0，5）上所有實根的和為（ ） A. 15 B. 10 C. 6 D. 4 思索 熟練掌握指數、對數函數的圖象形態，以及由它們的圖象經過平移變換和對稱變換后的圖象. 注意函數的零點、方程的根及函數圖象的交點之間的相互轉化. 破解 （1）根據指數函數與對數函數對底數的要求，顯然0 （2）由f（x）=ex-1，x≤0，f（x-1）+1，x>0， ①當0 ②當1 ③當2 ④當3 ⑤當4 作出y=f（x）在[0，5）上的圖象，在[0，5）上的圖象與直線y=x切于點（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）. 故在[0，5）上的根之和為1+2+3+4=10，故選B. 例4 已知函數f（x）=x2+ex-（x<0）與g（x）=x2+ln（x+a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（ ） A. -∞， B. （-∞，） C. -， D. -， 思索 利用對稱性設出點的坐標，將a表示成x的函數，即可求出a的取值范圍. 破解 設（x0，y0）（x0>0）與（-x0，y0）是g（x）=x2+ln（x+a）圖象上與f（x）=x2+ex-（x<0）圖象上關于y軸對稱的兩個點，則x+e-=x+ln（x0+a），即e-=ln（x0+a）（x0>0）. 畫出函數y=ln（x+a）與y=e-=-的圖象，即兩圖象的交點在y軸的右側，當交于y軸時a=，所以a<，故選B. 變式練習 1. 若已知a=5，b=5，c=，則（ ） A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b 2. 若已知a>0，b>0，且ab=1，則函數f（x）=ax與函數g（x）=-logbx的圖象可能是（ ） A B C D 3. 設函數f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3，若實數a，b滿足f（a）=0，g（b）=0，則（ ） A. g（a）<0 B. f（b）<0 C. 0 D. f（b） 4. 已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上單調遞增，若實數a滿足f（loga）+f（loga）≤2f（1），則a的取值范圍是（ ） A. [1，2] B. 0， C. ，2 D. （0，2] 5. 若函數f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R）， f（lg（log210））=5，則f（lg（lg2））等于（ ） A. -5 B. -1 C. 3 D. 4 6. （2014年高考上海卷理科）設常數a≥0，函數f（x）=. （1）若a=4，求函數y=f（x）的反函數y=f -1（x）； （2）根據a的不同取值，討論函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由. 參考答案 1. C 因為c=5=5，log23.4>log>1>log43.6>0，且指數函數y=5x是R上的增函數，所以a>c>b，故應選C. 2. B 根據指數函數與對數函數對底數的要求，顯然0 3. A 由題意，函數f（x）=ex+x-2=0的根為x=a， f（x）=ex+x-2=0即ex=2-x，作出y=ex與y=2-x的圖象，知0 4. C f（loga）+f（loga）=f（log2a）+f（-log2a）=2f（log2a）≤2f（1）？圯loga≤1？圯≤a≤2，故選C. 5. C f（lg（log210））=flg=f（-lg（lg2））=5，又f（x）+f（-x）=8，所以f（lg（lg2））=3，故選C. 6. （1）由題得， f（x）==1+∈（-∞，-1）∪（1，+∞），所以f -1（x）=2+log，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）. （2）因為f（x）=且a≥0，所以①當a=0時， f（x）=1，x∈R，所以對任意的x∈R都有f（x）=f（-x），所以y=f（x）為偶函數. ②當a=1時， f（x）=，x≠0，f（-x）=== - f（x），所以對任意的x≠0且x∈R都有f（x）=-f（-x），所以y=f（x）為奇函數. ③當a>0且a≠1時，定義域為{xx≠log2a，x∈R}，所以定義域不關于原點對稱，所以y=f（x）為非奇非偶函數.
