重點突破：函數的基本性質

函數的基本性質包括函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等. 在解決與函數有關的（如方程、不等式等）問題時，巧妙利用函數的相關性質，可以使得問題得到簡化，從而達到解決問題的目的.

函數的基本性質是函數知識的核心，是研究函數、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的“重頭戲”. 如何利用函數性質是解題的難點與關鍵.

重點難點

1. 函數的單調性

（1）定義：一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上是增函數（減函數）.

深化（單調性定義的等價形式）：設x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳>0？圳f（x）在[a，b]上是增函數；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳<0？圳f（x）在[a，b]上是減函數.

（2）單調區間：如果函數y=f（x）在某個區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f（x）在區間D上具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f（x）的單調區間.

2. 函數的最值

一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，稱M是函數y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函數的奇偶性

（1）定義：若對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數；如果對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數.

（2）性質：①f（x）為奇函數？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）為偶函數？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函數？圳f（x）的圖象關于y軸對稱；f（x）是奇函數？圳f（x）的圖象關于原點對稱.

③奇函數在對稱的單調區間內具有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內具有相反的單調性.

④在公共定義域內：兩個奇函數的和是奇函數，兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的和、積都是偶函數；一個奇函數、一個偶函數的積是奇函數.

⑤若奇函數f（x）的定義域中含有0，則必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）為奇函數的既不充分也不必要條件.

4. 函數的周期性

（1）定義：若存在一個非零常數T，使得對于函數定義域內的任意x，都有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數，其中T稱作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一個最小的正數，則稱它為f（x）的最小正周期.

（2）性質：①f（x+T）=f（x）常寫作fx+=fx-.

②若T是函數y=f（x）的周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常數，且a≠0），則f（x）是一個以2a為周期的周期函數.

方法突破

1. 單調性的證明方法

（1）定義法：如果對于函數f（x）的定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上單調遞增（單調遞減）.

（2）導數法：在某個區間（a，b）內，如果f ′（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f ′（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減.

2. 單調區間的求法及表示

單調區間的求法：定義法、導數法、圖象法、復合函數法.

函數的單調區間是函數定義域的子區間，所以在求解函數的單調區間時，必須先求出函數的定義域. 單調區間只能用區間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能用并集符號“∪”聯結，也不能用“或”聯結.

3. 函數奇偶性的判斷

主要根據定義判斷函數的奇偶性：一般地，如果對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函數f（x）就叫做偶函數（或奇函數）. 該定義包含兩個必備條件：①定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準確、簡潔地解決問題；②判斷f（x）與f（-x）是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷關系式f（x）+f（-x）=0（奇函數）或f（x）-f（-x）=0（偶函數）是否成立.

典例精講

例1 已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內有且只有一個根x=，則f（x）=0在區間[0，2013]內根的個數為（ ）

A. 2011 B. 1006

C. 2013 D. 1007

思索 解決抽象函數問題一般有三種思路：①根據題設畫出簡單圖象進行處理；②適當利用“賦值”法得到一些基礎結論；③尋求函數“模型”來理解.

破解 由f（x+1）=f（x-1），可知f（x+2）=f（x），所以函數f（x）的周期是2.

由f（x）=f（-x+2）可知函數f（x）關于直線x=1對稱，因為函數f（x）=0在[0，1]內有且只有一個根x=，所以函數f（x）=0在區間[0，2013]內根的個數為2013個，選C.

例2 已知f（x）是定義在R上的偶函數，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]上的增函數”是“f（x）為[3，4]上的減函數”的（ ）

A. 既不充分也不必要條件

B. 充分而不必要條件

C. 必要而不充分條件

D. 充要條件

思索 利用函數的奇偶性、周期性，將可研究區間擴充，再利用單調性、充要條件的知識進行判定.

破解 ①因為f（x）在R上是偶函數，所以f（x）的圖象關于y軸對稱.因為f（x）為[0，1]上的增函數，所以f（x）為[-1，0]上的減函數. 又f（x）的周期為2，所以f（x）為區間[-1+4， 0+4]=[3，4]上的減函數.

②f（x）為[3，4]上的減函數，且f（x）的周期為2，所以f（x）為[-1，0]上的減函數. 又f（x）在R上是偶函數，所以f（x）為[0，1]上的增函數. 由①②可知，“為[0，1]上的增函數”是“為[3，4]上的減函數”的充要條件.

故選D.

例3 對于函數f（x），若在定義域內存在實數x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數”. 若已知f（x）=4x-m·2+m2-3為定義域R上的“局部奇函數”，則實數m的取值范圍是________.

思索 本題給出函數奇偶性的新定義，抓住定義的本質將問題轉化為二次方程在指定范圍內有解.

破解 因為f（x）為“局部奇函數”，所以存在實數x滿足f（-x）=-f（x），即4-2m·2+m2-3=-4x+2m·2x-m2+3. 令t=2x（t>0），則+t2-2m+t+2m2-6=0，即+t-2m+t+2m2-8=0在t>0有解. 令h=+t，則h≥2，則g（h）=h2-2mh+2m2-8=0在h≥2有解.

函數關于h的對稱軸為h=m，

①當m≥2時，只需Δ≥0，所以m2-8≤0，解得2≤m≤2；

②當m<2時，只需g（2）=4-4m+2m2-8≤0，即m2-2m-2≤0，得1-≤m<2.

綜合①②，可知1-≤m≤2.

例4 若f（x）=，0≤x≤2，f（2），x>2，

（1）求函數f（x）在定義域上的單調區間；

（2）若關于x的方程f（x）-a=0恰有兩個不同的實數解，求實數a的取值范圍；

（3）已知實數x1，x2∈（0，1]，且x1+x2=1，求f（x1）·f（x2）的最大值.

思索 （1）問根據定義用“作差法”求解；（2）問把方程有解問題轉化為兩函數交點問題來研究；（3）問可化為關于x1x2的分式，再結合條件x1+x2=1通過基本不等式求解.

破解 （1）當x>2時，f（x）=f（2）=是常數，無單調區間.

當0≤x≤2時，f（x）=. 任取x1，x2∈[0，2]，且x1

因為f（x1）-f（x2）=-=

=

=.

所以當0≤x1

當-1≤x10，f（x1）>f（x2）.

綜上可得，函數f（x）的單調遞增區間是[0，-1]，單調遞減區間是[-1，2].

（2）由（1）知，f（0）=1，f（x）max=f（-1）=，f（2）=.

方程f（x）-a=0恰有兩個不同的實數解，等價于直線y=a與曲線y=f（x）恰有兩個不同的交點，所以1≤a<.

（3）由已知，f（x1）f（x2）=·=

=

=.

令t=x1x2，因為1=x1+x2≥2當且僅當x1=x2=時取等號.

又t∈0，，所以f（x）f（x）==.

令s=t+2，則s∈2，，所以f（x1）f（x2）==.

因為y=s+在2，上單調遞減，所以y=+=.

所以[f（x1）f（x2）]max=.？搖

變式練習

1. 設偶函數f（x）滿足f（x）=2x-4（x≥0），則{xf（x-2）>0}等于（ ）

A. {xx<-2或x>4}

B. {xx<0或x>？搖4}

C. {xx<0或x>6}

D. {xx<-2或x>2}

2. 已知函數f（x）是定義域為R的偶函數，且f（x+1）=-f（x），如果f（x）在[-1，0]上是增函數，那么f（x）在[1，3]上是（ ）

A. 增函數

B. 減函數

C. 先增后減的函數

D. 先減后增的函數

3. 已知f（x）為R上增函數，且對任意x∈R，都有f[f（x）-3x]=4，則f（2）=________.

4. 定義在R上的偶函數f（x）滿足：f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，有下列一些關于f（x）的判斷：①f（x）是周期函數；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是減函數；④f（x）在[-2，-1]上是減函數. 其中正確的判斷是__________（把你認為正確判斷的番號都填上）.

5. 定義在R上的函數f（x）滿足：f（x+2）=f（x），當x∈[3，5]時， f（x）=2-x-4. 下列4個不等關系：fsinf（sin2），其中正確的個數是__________.

參考答案

1. B 2. C

3. 10 依題意， f（x）-3x為常數，設f（x）-3x=m，則f（m）=4， f（x）=3x+m，所以3m+m=4，3m+m-4=0，易知方程3m+m-4=0有唯一解m=1，所以f（x）=3x+1， f（2）=32+1=10.

4. ①②③ 因為f（2-x）=-f（x），所以f（x）有對稱中心（1，0）. 又f（2-x）=-f（x），所以f（x）=-f（2-x），所以f（x+4）=-f[2-（x+4）]=-f[-（x+2）]. 又f（x）為偶函數，所以f（x+4）=-f（x+2），所以f（x+4）=f[2-（x+2）]=f（-x）=f（x），所以4是f（x）的一個周期. 從而由圖象可知其中正確的判斷是①②③.

5. 2 由f（x+2）=f（x）知函數f（x）的周期為2，結合x∈[3，5]時f（x）=2-x-4的圖象可畫出函數f（x）在x∈[-1，1]上的圖象，關于y軸對稱，且在[-1，0]上函數單調遞增，在[0，1]上函數單調遞減. 0fcos；1>sin1>cos1>0，則f（sin1）f=fsin；cos2= -cos（π-2），所以f（cos2）=f（cos（π-2））， f（sin2）=f（sin（π-2）），>π-2>，所以0f（sin2）. 有2個正確.