基礎(chǔ)夯實(shí)：函數(shù)的概念及其表示

函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占有相當(dāng)大的比例. 從近幾年的高考試題來看，對(duì)本部分內(nèi)容的考查，穩(wěn)中求變，向著更靈活的方向發(fā)展. 對(duì)于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實(shí)際應(yīng)用問題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果.

重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容由映射及函數(shù)的概念、函數(shù)的表示組成，函數(shù)的定義域、值域、解析式是構(gòu)成函數(shù)的三大要素. 縱觀近幾年的高考試題，本節(jié)內(nèi)容以客觀題為主，主要考查對(duì)概念的理解能力、邏輯思維能力，突出考查函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域與函數(shù)的表示方法、分段函數(shù)概念的理解與應(yīng)用、抽象函數(shù)的性質(zhì)討論.

重點(diǎn)：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，掌握分段函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域，掌握函數(shù)的三種表示法——圖象法、列表法、解析法，會(huì)求函數(shù)的解析式.

難點(diǎn)：函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式.

方法突破

例1 函數(shù)y=ln（1-x）的定義域?yàn)椋?）

A. （0，1） B. [0，1）

C. （0，1] D. [0，1]

思索 函數(shù)的定義域應(yīng)是使得函數(shù)表達(dá)式的各個(gè)部分都有意義的自變量的取值范圍.

破解 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0及二次根號(hào)下數(shù)大于或等于0得1-x>0，x≥0？圯0≤x<1，即所求函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1）. 選B.

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的定義域即為函數(shù)中自變量的取值范圍. 定義域是函數(shù)的靈魂，求定義域時(shí)一定要全面考慮自變量的所有限制條件.

例2 已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)y=的定義域?yàn)椋?）

A. [0，1] B. [0，1）

C. [0，1）∪（1，4]\tD. （0，1）

思索 要求復(fù)合函數(shù)f（2x）的定義域，應(yīng)根據(jù)f（x）與f（2x）在同一法則的對(duì)應(yīng)下，函數(shù)有相同的定義域.

破解 由0≤x≤2得，0≤2x≤2，解得0≤x≤1，又有？搖x-1≠0，故選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)評(píng) 求函數(shù)的定義域看似簡單，然而在解決問題中若稍不注意，常會(huì)誤入歧途，導(dǎo)致失誤. 本題解法的道理是：在一個(gè)題目中的同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則的作用下，對(duì)自變量的要求一致.

例3 函數(shù)f（x）=x-1，x≥0，，x<0.若f（a）>a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___.

思索 分段函數(shù)體現(xiàn)了“分類”的數(shù)學(xué)方法，也是高考命題的熱點(diǎn)之一.

解決此類問題一般需從兩方面考慮，必要時(shí)可結(jié)合圖象進(jìn)行處理.

破解 方法一：當(dāng)a≥0時(shí)，有a-1>a，得a<-2（不符合條件，舍去）；當(dāng)a<0時(shí)，有>a，解得a<-1或a>1，所以a<-1，綜上可得a的取值范圍是（-∞，-1）.

方法二：分別作出函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x的圖象，用兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)確定a的取值范圍.

例4 已知二次函數(shù)f（2x+1）=4x2-6x+5，求f（x）的解析式.

思索 已知復(fù)合函數(shù)f（g（t）），求f（x），可用換元法或配湊法求解；由于f（x）是二次函數(shù)，也可采用待定系數(shù)法求解.

破解 方法一（換元法）：令2x+1=t（t∈R），則x=，所以f（t）=4-6·+5=t2-5t+9（t∈R），所以f（x）=x2-5x+9.

方法二（配湊法）：因?yàn)閒（2x+1）=4x2-6x+5=（2x+1）2-5（2x+1）+9，所以f（x）=x2-5x+9.

方法三（待定系數(shù)法）：因?yàn)閒（x）是二次函數(shù)，所以可設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），則f（2x+1）=a（2x+1）2+b（2x+1）+c=4ax2+（4a+2b）x+a+b+c. 因?yàn)閒（2x+1）=4x2-6x+5，所以4a=4，4a+2b=-6，a+b+c=5，解得a=1，b=-5，c=9.所以f（x）=x2-5x+9.

點(diǎn)評(píng) 在使用換元法時(shí)應(yīng)特別注意所換元的取值范圍，若本題中已知函數(shù)的x≠0，則t≠1，最后注明所求函數(shù)的定義域x≠1；在使用待定系數(shù)法時(shí)，必須明確所求解析式的類型，如一次函數(shù)必須設(shè)成f（x）=ax+b（a≠0），不能遺漏任何一個(gè)系數(shù).

例5 已知f（x）滿足f+2f（x）=x+1，求f（x）.

思索 欲求f（x），必須消去已知中的f，可由x與的倒數(shù)關(guān)系，用替換已知式中的x，便可得到另一方程，然后聯(lián)立解之即可.

破解 因?yàn)閒+2f（x）=x+1 ①，

所以在原式中以代替x，得f（x）+2f=+1 ②.

由①×2-②，消去f，得3f（x）=2x-+1，即f（x）=x-+.

點(diǎn)評(píng) 本題是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函數(shù)式子，從而得到f（x）的表達(dá)式，該方法被稱作解方程法，也叫消元法. 若原函數(shù)式中含有形如f（x）與f， f（-x）與f（x）的式子，均可以采用此法求f（x）的解析式.

例6 設(shè)f（x）是R上的函數(shù)，滿足f（0）=1，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有f（x-y）=f（x）-x（2x-y+1），求f（x）的表達(dá)式.

思索 所給函數(shù)方程含有兩個(gè)變量，可對(duì)這兩個(gè)變量交替用特殊值代入，或使這兩個(gè)變量相等代入，再用已知條件求解即可.

破解 令y=x，得f（0）=f（x）-x（x+1），所以f（x）=x2+x+1.

點(diǎn)評(píng) 此法是特殊值法，通過取某些特殊值代入題設(shè)中的等式，可使問題具體化、簡單化，從而順利地找出規(guī)律，求出函數(shù)的解析式. 至于取什么特殊值，需要根據(jù)題目條件而定.

變式練習(xí)

1. 下列函數(shù)中，與函數(shù)y=有相同定義域的是（ ）

A. f（x）=lnx\tB. f（x）=

C. f（x）=x\tD. f（x）=ex

2. 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=log2（1-x），x≤0，f（x-1）-f（x-2），x>0，則f（2009）的值為（ ）

A. -1？搖？搖？搖？搖？搖B. 0？搖？搖？搖？搖 C. 1？搖？搖？搖？搖 D. 2

3. 某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6？搖時(shí)再增選一名代表. 那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為（ ）

A. y=\tB. y=

C. y=\tD. y=

？搖？搖4. 設(shè)函數(shù)f（x）=lg，則f+f的定義域?yàn)椋?）

A. （-4，0）∪（0，4）

B. （-4，-1）∪（1，4）

C. （-2，-1）∪（1，2）

D. （-4，-2）∪（2，4）

5. 已知f=+，求f（x）的解析式.

參考答案

1. A 由已知可得y=的定義域是（0，+∞）， f（x）=lnx的定義域是（0，+∞）； f（x）=的定義域是{xx≠0}； f（x）=x的定義域是R， f（x）=ex的定義域是R，故選A.

2. C 由已知得f（-1）=log22=1，f（0）=0， f（1）=f（0）-f（-1）=-1， f（2）=f（1）-f（0）=-1， f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0， f（4）=f（3）-f（2）=0-（-1）=1，f（5）=f（4）-f（3）=1， f（6）=f（5）-f（4）=0. 所以函數(shù)f（x）的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn). 所以f（2009）=f（5）=1，故選C.

3. B 方法一：（特殊取值法）：若x=56，y=5，排除C，D；若x=57，y=6，排除A，所以選B.

方法二：設(shè)x=10m+α（0≤α≤9），0≤α≤6時(shí)，=m+=m=，當(dāng)6<α≤9時(shí)，=m+=m+1=+1，所以選B.

4. B 方法一：由>0，得f（x）的定義域?yàn)閧x-2

方法二：因?yàn)閒+f=lg，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?gt;0的解集，解得x∈（-4，-1）∪（1，4）.

5. 令=t，則x=（t≠1）. 又f=+=1++，所以f（t）=1+（t-1）2+t-1=t2-t+1（t≠1）. 所以f（x）=x2-x+1（x≠1）.

1. 理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）集合A，B及對(duì)應(yīng)法則“f ”是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng).

（2）對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，這與從集合B到集合A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的.

（3）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè).

（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.

2. 理解函數(shù)的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射關(guān)系.

（2）數(shù)集A是函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域是數(shù)集B的子集.

3. 求函數(shù)定義域的基本思路

如果沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的x的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

（1）分母不能為0.

（2）對(duì)數(shù)的真數(shù)必須為正.

（3）偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù).

（4）零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0.

（5）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0.

（6）若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集.

（7）如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義.

如求復(fù)合函數(shù)的定義域，已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時(shí)g（x）的值域.

注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問題的定義域不要漏寫.

4. 求函數(shù)解析式的基本策略

函數(shù)的解析式是函數(shù)與自變量之間建立聯(lián)系的橋梁，許多和函數(shù)有關(guān)的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數(shù)解析式是高考中的熱點(diǎn). 解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住函數(shù)對(duì)應(yīng)法則“f ”的本質(zhì). 下面介紹幾種求函數(shù)解析式的主要方法.

（1）湊配法：把形如f（g（x））內(nèi)的g（x）當(dāng)做整體，在解析式的右端整理成只含有g(shù)（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.

（3）解方程組法：若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式，往往通過變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達(dá)式.

（4）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）求解析式，首先設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件代入相關(guān)值求出系數(shù).

（5）賦值法：已知一個(gè)關(guān)于x，y的抽象函數(shù)，利用特殊值去掉一個(gè)未知數(shù)y，得出關(guān)于x的函數(shù)解析式.

典例精講