查漏補缺：查漏補缺之函數與導數

函數在高考中占有重要的地位，以基本函數為背景的綜合題和應用題是近幾年高考命題的新趨勢. 導數作為研究函數的工具，在高考的地位也不可小視. 因此，本文對函數與導數的知識作一梳理，希望對同學們有所幫助.

1. 函數的基本概念

（1）了解函數的三要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念.

（2）會根據不同的需要選擇恰當的方法（圖象法、列表法、解析法）表示函數.

（3）了解簡單的分段函數.

注意：（1）函數的值域和最值是函數考查中的重點. 常見的求函數值域和最值的方法有換元法、配方法、分離常數法、單調函數法、均值不等式法、幾何法等.

（2）分段函數是指自變量在不同的范圍內，其對應法則也不同的函數. 常常考查求函數值、求函數解析式、求反函數、求函數最值.

2. 函數的圖象和性質

（1）理解函數單調性的定義，掌握判斷函數單調性的方法.

（2）了解函數的奇偶性，掌握奇、偶函數的性質.

（3）了解函數的周期性.

（4）掌握常見函數圖象的基本作法，掌握函數圖象的平移、對稱、翻折和伸縮變換.

注意：（1）判斷函數的單調性，常常有圖象法、定義法、復合函數法、導數法，但如果是在解答題中證明或判斷函數單調性時，則只能用定義法和導數法.

（2）判斷函數的奇偶性，首先要看定義域關于原點是否對稱.

（3）若函數f（x）是奇函數并且在x=0處有定義，則f（0）=0，這條性質切記.

（4）識記以下重要結論：①奇函數在關于原點對稱的區間上單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反；②若函數在其定義域上存在反函數，則原函數和反函數在各自的定義域內具有相同的單調性；③函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱？圳f（a+x）=f（a-x）？圳f（2a-x）= f（x）；④函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱？圳f（a+x）+f（a-x）=2b？圳f（2a-x）+f（x）=2b.

3. 幾種常見的函數

（1）掌握二次函數、三次函數的圖象和性質.

（2）掌握冪的運算，理解指數函數的概念，理解指數函數的單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點.

（3）掌握對數的概念及其運算性質， 理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性，掌握函數圖象通過的特殊點.

（4）結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程的根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數. 能夠用二分法求相應方程的近似解（僅限新課程地區）.？搖

（5）能夠熟練處理常見抽象函數的定義域、解析式、函數值和單調性等.

注意：（1）處理函數的有關問題，一定要形成“定義域優先”的原則.

（2）指數函數和對數函數是典型的超越函數，且互為反函數. 在實際試題中，往往是與指數函數或對數函數有關的復合函數，要注意復合函數的單調性判斷規律，即“同增異減”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重點，要能利用二次函數圖象來尋求充要條件，常常是抓端點值、對稱軸和判別式.

（4）抽象函數的常見處理方法有特殊模型法、函數性質法、特殊化方法、聯想類比轉化法等. 記住以下常見抽象函數模型所對應的具體函數，這對我們解題有幫助.

①f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=kx（k≠0）.

②f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）？坩f（x）=ax（a>0，a≠1）.

③f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=logax（a>0，a≠1）.

4. 導數的運算

（1）理解導數的幾何意義.

（2）能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如y=f（ax+b）的復合函數）的導數.

注意：（1）利用導數的幾何意義求切線斜率是高考的熱點，那么如何求呢？先求出曲線y=f（x）在點P（x0， f（x0））處的切線斜率k=f ′（x0），再由點斜式得到切線方程y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），請注意在某點處的切線與過某點處的切線的求法有區別.

（2）求復合函數的導數請注意：要能正確拆分復合函數，即要明確該復合函數由哪些基本函數復合而成，適當選取中間變量；分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導；求導時，應由外及里，逐層求導.

（3）導數的運算、函數與導數的應用交匯，以考查導數的應用（單調性、極值、最值、方程根的情況）為主，同時考查導數的計算.

5. 導數的應用

（1）了解函數單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）.

（2）了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值；會求閉區間上函數的最大值、最小值（其中多項式函數一般不超過三次）.

（3）會利用導數解決某些實際問題.

注意：（1）函數y=f（x）在區間（a，b）內可導，則“f ′（x）>0”是“f（x）在區間上單調遞增”的充分不必要條件，因為完全有可能出現f ′（x）=0的情況，如f（x）=x3， f ′（x）=3x2≥0（函數遞減的情況類似）.

（2）求函數極值時，不能單憑f ′（x）=0就判斷函數有極值，一定要檢驗f ′（x）在方程f ′（x）=0的根左、右的值的符號，若左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；若左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；若左右同號，那么f（x）在這個根處無極值.

（3）導數經常與函數的單調性、不等式、方程根的分布、解析幾何中的切線問題結合.