一道數(shù)列高考試題的淵源與解法探索

2014年高考已塵埃落定，許多理科考生，數(shù)學(xué)教師均對新課標高考數(shù)學(xué)（理科）卷二中的數(shù)列解答題}義論紛紛，學(xué)生都在抱怨，教師高呼超綱超標，筆者仔細觀察，發(fā)現(xiàn)此題頗值得深入探討.筆者就這個問題，從課標、教材以及其他省份的歷年高考相關(guān)試題進行淵源分析與解法探索，現(xiàn)將我們的思考和讀者一起分享.

對本題第（I）問的思考

首先對照《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（以下簡稱《標準》）來思考，《標準》中對等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的要求是“掌握”，此題中的第一問的要求是通過構(gòu)造輔助的等比數(shù)列來求通項公式，而且題目中給出輔助數(shù)列，要求先證明它是等比數(shù)列，再求通項公式，實際上已經(jīng)降低了構(gòu)造法的難度，所以，第（I）問不存在“超標”的說法.其次，再從教材的角度來看，第（I）問的題目原型是普通高中數(shù)學(xué)課程標準教科書人教A版教f材必修5第69頁數(shù)列復(fù)習(xí)參考題組第6題：“已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），求這個數(shù)列的通項公式”.此題的解答就是通過兩邊添加項構(gòu)造輔助的等比數(shù)列來解

如何構(gòu)造？可以嘗試 的形式，用待定系數(shù)法確定A，而本題中用證明的方式直接給出了 降低了問題的思維難度.當然如果忽略證明這一步驟，僅求數(shù)列的通項公式，我們也可以給出以下一些解答：

方法技巧

上述方法的解題方向同樣是構(gòu)造等比數(shù)列，目標是消去常數(shù)1，但與之前的構(gòu)造方法不同的是首先從遞推的角度得到a_n-1和a_n-2的關(guān)系，通過兩式相減，消去常數(shù)1得到a_n-a_n-1=3^n-1.觀察該代數(shù)式，回顧等差數(shù)列通項公式的證明方法，運用累加法求解，從解決問題的難度來講，自然比參考答案提供的構(gòu)造方法要困難許多.

（方法2）類似問題也可以考慮先猜想問題的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法來證明.

由題易得，a₂=4，a₃=13，a₄=40，a₅=121，由此很難猜想{a_n}通項公式，

以下可以采取“以退為進”的策略，猜結(jié)果難，感覺“山重水復(fù)疑無路”，那就退一步，保留算式結(jié)構(gòu)，猜結(jié)構(gòu)也許會迎來“柳暗花明又一村”：

數(shù)學(xué)歸納法的證明過程在此不再贅述，

對于遞推數(shù)列的通項公式不易求解時，可考慮用賦值法求出數(shù)列的前幾項，用合情推理猜想出通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，此解法思路成功的關(guān)鍵在于歸納猜想時，要靈活運用“猜結(jié)果”與“猜結(jié)構(gòu)”的策略.

以上三種方法比較，顯然參考答案提供的構(gòu)造法思路更簡單，解法更簡潔，當然后兩種方法均有其特點，也指明了在數(shù)列的遞推公式教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注的幾個方向.

對2014高考新課標卷二17題的第（Ⅱ）問的思考

這是典型的放縮法證明不等式，在此，避開放縮法是否超出課程標準考試大綱不談，我們只從數(shù)學(xué)方法的角度來看，筆者在高考評卷過程中發(fā)現(xiàn)考卷中能用參考答案這種方法做出正確解答的并不多見，筆者認真分析了國家考試中心提供的參考答案，感覺該解答與中學(xué)生的解題習(xí)慣不甚吻合

放縮法的關(guān)鍵，一是放縮的方向，二是如何把握放縮的“度”的問題.那從這個參考答案上來看，學(xué)生如何確定放縮的方向？如何才能得到3^k-l≥2x3^k-1？這個思路與學(xué)生的認知水平及思維習(xí)慣相差甚遠.基于此，筆者提出以下的解法，并將結(jié)論做相應(yīng)的推廣.

此題的考查方式方法是獨創(chuàng)的嗎？筆者的解題思路可否推廣？認真分析發(fā)現(xiàn)，2012年的廣東高考理科試卷19題與本題如出一轍.無論是考查的知識點，還是考查的方式均極其相似.

仔細分析，不難發(fā)現(xiàn)，這兩道高考題均從教材試題演變而來，教材原題作為源，而這兩道高考試題作為流，其中2014年新課標考題延續(xù)了2012年廣東理科試題的命題思路，并做適當簡化，以降低考查要求.這兩道高考試題的標準解答均有些晦澀難懂.筆者的解答中強化基本的等差、等比數(shù)列的通項公式與求和公式的求法，并抓住主要矛盾（把式子中的主要部分提取出來，產(chǎn)生等比數(shù)列，再對剩余部分作放縮處理），問題轉(zhuǎn)化的方向簡結(jié)明了，學(xué)生易于接受，