數列綜合應用

數列作為高中數學的重點內容，一直是高考考查的熱點.近年來，數列在高考試題中的位置適當前移，考查的難度也有所降低，試題主要以等差、等比數列的綜合應用為背景，注重數列與函數（方程）、導數、不等式、解析幾何、算法、推理等知識的交匯，同時，以數列為模型的實際應用問題、探索性問題、新定義問題等也備受命題者的青睞.

本部分內容主要包含等差數列與等比數列的整合問題，數列與其他知識的交匯問題，以數列為背景的創新問題等，其主要考查公式的靈活應用能力、運算能力：在客觀題中，突出考查兩種數列的整合問題，合情推理在數列中的應用，新定義問題等：而在解答題中，以中等難度題為主，重點考查數列與其他知識的綜合問題，以及探索性問題、實際應用問題等.

重點：熟練掌握等差、等比數列的概念、通項公式和求和公式，熟悉等差、等比數列的性質，培養突破數列綜合問題的能力；熟練把握等差、等比數列中的運算技巧，提高運算能力，準確定位解題的方向；善于利用數列知識解決一些實際問題，

難點：數列與不等式的交匯：數列與函數、方程的交匯；與數列有關的創新性試題，如實際應用問題、探索性問題、新定義問題等.

1.解決等差數列與等比數列整合問題的基本策略

等差數列與等比數列整合問題一般與求通項公式及求和問題相聯系，可利用通項公式或求和公式將已知的條件轉化為這兩個數列基本量所滿足的方程，通過聯立方程組求解，同時，注意結合等差數列和等比數列的性質，靈活轉化條件，建立已知和待求之間的聯系，減少運算量，提高解題速度.

2.突破數列與函數、方程的綜合問題的三個轉化

數列與函數、方程的綜合問題一般與函數的性質與圖象、方程的解、數列中的基本運算相聯系，解決此類問題需要實現以下三個方向的轉化：①函數條件的轉化，直接利用函數與數列的對應關系，把函數解析式中的x換成n即可；②方程條件的轉化，一般要根據方程解的有關條件進行轉化；③數列向函數的轉化，可將數列中的問題轉化為函數的相應問題去處理，但要注意自變量取值范圍的限制，對于函數中的最值、范圍等問題的求解，可轉化為相應函數的單調性或方程有解的條件去解決

3.化解數列與不等式的綜合問題的主要方法

數列與不等式的綜合問題是近年來高考考查的熱點問題，其中大多數以數列的通項或前n項和問題為背景，考查數列中的不等式的證明和不等式恒成立問題等.求解與數列有關的不等式的證明問題的關鍵是抓住問題的本質，進行合理的變形、求和，最后進行放縮，從而得出結論，求解與數列有關的不等式恒成立問題的方法是利用“參變分離”或其他技巧轉化為求最值問題去處理，然后再利用對應函數的單調性或基本不等式求最值.

4.求解數列應用題的三個步驟

數列應用題的求解過程類似于函數應用題的求解過程，一般分成如下三步：①建模，即認真審題，理解實際背景，理清數學關系，把應用問題抽象為數列問題；②解模，即利用數列知識，解決建立的數列模型中的相關問題；③釋模，即把已解決的數列模型中的問題還原到實際問題中去，確定實際問題的結果.

5.解數列創新問題的常用技巧

數列中的創新試題主要包括新定義問題和探索性問題，求解技巧如下：①破解數列新定義問題的關鍵是理解題中所給的定義，把握其本質，再根據等差數列和等比數列的性質，熟練運用歸納類比、構造、正難則反、分類與整合等數學思想方法解題；②破解數列探索性問題的關鍵是先分清探索的類型，然后采取對應的策略處理.如條件探索性問題，往往采取分析法，從結論和部分條件人手，執果導因，導出所需條件：結論探索性問題，則需要充分利用已知條件進行猜想、透徹分析，發現規律、獲取結論；存在探索性問題，則先假設存在，導出正確結論或導出矛盾，進而得出結論；規律探索性問題，則需要研究簡化形式但保持本質的特殊情形，從條件出發，通過觀察分析、歸納類比來探路，最后總結得出需要的結論，

例4 某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產.該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同，公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為a萬元.

（1）用d表示a₁，a₂，并寫出a_n+1與a_n的關系式：

（2）若公司希望經過m（m≥3：年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值（用m表示）.

思索本題考查遞推數列問題在實際問題中的應用，考查運算能力和運用數列知識分析解決實際問題的能力.第（1）小題由第n年和第n+1年的資金變化情況，得到a_n與a_n+1的遞推關系式；第（2）小題根據遞推關系的結構特征，利用迭代的方法直接求通項公式，或構造新的等比數列求通項公式.