等差、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，它既有函數(shù)特征，又獨(dú)具遞推性，因此歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，而等差、等比數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)中著重介紹的兩類基本數(shù)列，更是重點(diǎn)考查的對(duì)象.縱觀2013年各地高考試題，數(shù)列部分的考查總體呈現(xiàn)難度略降趨勢(shì)，注重基礎(chǔ)知識(shí)，淡化繁難技巧.

重點(diǎn)難點(diǎn)

這部分內(nèi)容由等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式組成，主要考查運(yùn)算能力，公式和性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力以及遞推轉(zhuǎn)化能力.在客觀題中，突出考查基本量（首項(xiàng)、公差或公比、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和）的求解；在解答題中，常以等差（比）數(shù)列（或可以化歸為等差（比）數(shù)列的關(guān)系式）為背景，重點(diǎn)考查其證明、通項(xiàng)、求和以及與函數(shù)、方程、不等式等其他知識(shí)的交匯問(wèn)題，難度一般為中等或中等偏下.

重點(diǎn)：理解并掌握等差（比）數(shù)列的定義，能判斷或證明等差（比）數(shù)列；熟記等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)、求和及其變形公式和相關(guān)性質(zhì)，

難點(diǎn)：等差（比）數(shù)列的定義的理解和判斷；等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)、求和及其變形公式和相關(guān)性質(zhì)的記憶與靈活運(yùn)用，

方法突破

1.等差（比）數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本解題思路

（1）方程法：將a_n與S_n統(tǒng)一表示為a₁和d（或q）的方程（組），以求其基本量（五個(gè)基本量中，通常先求出a₁和d（或q），然后再求其他的基本量）.

（2）函數(shù)法：利用函數(shù)的思想解決數(shù)列問(wèn)題，如等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式可分別表示成a_n=kn+b（一次函數(shù)），S_n=An²+Bn（不帶常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)） 等.

（3）性質(zhì)法：運(yùn)用等差（比）數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解題，常可整體代換，回避單個(gè)求值.較為常用的如：若a，b，c成等差，則2b=a+c；若a，b，c成等比，則b²=ac；若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q（或a_ma_n=a_pa_q）（n，m，p， ），S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…仍成等差（比）數(shù)列，需要指出的是，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)具有對(duì)稱性，因此可用類比的思想理解和記憶.等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化，等比數(shù)列的性質(zhì)可以用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)、理解和記憶.

2.等差（比）數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本解題策略

（1）通項(xiàng)公式的拓展應(yīng)用：若數(shù)列{a_n}為等差（比）數(shù)列，則a_n=a_m+（n-m）d（a_n=a_mq^n-m）.

（2）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的變式應(yīng)用： ，其中

表示等差數(shù)列的中間項(xiàng)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)表示數(shù)列的中間一項(xiàng)：當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)表示與首尾對(duì)稱兩項(xiàng)的算術(shù)平均值.例如：已知an=t，則

（3）對(duì)等差（比）數(shù)列的定義的理解不拘泥于 可以是 等.

典例精講

思索 這是高考等差（比）數(shù)列中最基本的一類題型（求基本量）.通常用方程法求解，但用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化常常更為簡(jiǎn)便，因此，解題時(shí)首先要看能否利用性質(zhì)，如若不能，再考慮普通方法.

思索 本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和s_n的最值的處理方法.（1）由前面所述解題策略第四點(diǎn)中的分界法可求得，亦可用二次函數(shù)的方法來(lái)處理.（2）由等差數(shù)列基本量的關(guān)系可求得nS_n的表達(dá)式，可利用導(dǎo)數(shù)的方法求解最值，這是一道比較新穎的數(shù)列的最值問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系和差別.

思索 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)以及運(yùn)算求解能力，解題思路是：（1）將S₃=a₅，S₅=25轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a₁和公差d的方程組，解出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）先由{a_n}的通項(xiàng)公式求出a_p和a_q，再由b_ap=p，b_aq=q求出等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)和公差，將其代入等差數(shù)列的求和公式即可.

思索 （l）證明數(shù)列為等差（比）數(shù)列是高考中的常見(jiàn)題型，通常由需要被證明數(shù)列的“暗示”，將關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用定義法或中項(xiàng)法證明.（2）題中涉及離散型數(shù)列的單調(diào)性，由單調(diào)性求最值.

1.若等差數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)和為23，前9項(xiàng)和為57，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=____.

（1）求a₂的值；

（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.

4.已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=10，a₂=15.

（1）求證：數(shù)列{ }是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列、{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；