查漏補(bǔ)缺之?dāng)?shù)列

重難點(diǎn)講解

1.數(shù)列的基本概念

（1）了解數(shù)列的基本概念及幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法）.

（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù).

（3）理解數(shù)列的遞推關(guān)系.

題型：選擇題、填空題、解答題均有可能，

注意：（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系，求數(shù)列中的項(xiàng).

（2）根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)或遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查歸納推理思想.

（3）根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，抓住以下幾方面的特征——分式中分子、分母的特征，相鄰項(xiàng)的變化特征，各項(xiàng)符號(hào)特征及拆項(xiàng)后的特征等.

（4）由遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)一般常利用的方法有疊加法、連乘法、構(gòu)造新數(shù)列法.

2.等差數(shù)列及前n項(xiàng)和

（1）理解等差數(shù)列的概念.

（2）掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

（3）能在具體問(wèn)題情景中識(shí)別等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題

（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.

題型：選擇題、填空題、解答題均有可能.

注意：（1）以考查通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為主，同時(shí)考查方程思想.

（2）數(shù)列與函數(shù)交匯是解答題考查的熱點(diǎn).

（3）考查等差數(shù)列的性質(zhì)：① ；②若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q；若m+n=2p，則a_m+a_n=2a_p；③任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…仍為等差數(shù)列，

3.等比數(shù)列及前n項(xiàng)和

（1）理解等比數(shù)列的概念.

（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

（3）能在具體問(wèn)題情景中識(shí)別等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.

（4）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

題型：選擇題、填空題、解答題均有可能，

注意：（l）以考查通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為主，同時(shí)考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的綜合應(yīng)用.

（2）數(shù)列與函數(shù)交匯是解答題考查的熱點(diǎn).

（3）考查等比數(shù)列的性質(zhì)：

①

②若m+n=p+q，則a_m·a_n=a_p·a_q；若

③任意連續(xù)m項(xiàng)的和且不為零時(shí)構(gòu)成的數(shù)列S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…仍為等比數(shù)列.

4.數(shù)列求和

（1）熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

（2）掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法：倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法.

題型：選擇題、填空題、解答題均有可能，

注意：（l）以考查等差、等比數(shù)列的求和公式為主，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想.

（2）對(duì)非等差、等比數(shù)列求和，主要考查觀察能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及計(jì)算能力.

（3）數(shù)列求和常與函數(shù)、方程、不等式等諸多知識(shí)聯(lián)系在一起，具有復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特征，易成為高考的中檔題或壓軸題.

5.數(shù)列的綜合應(yīng)用

（1）能在具體問(wèn)題情景中識(shí)別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，選用相應(yīng)知識(shí)解決問(wèn)題，熟記以下幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論：若{a_n}，{b_n}為等差數(shù)列，則{ka_n+tb_n}為等差數(shù)列；若{a_n}，{b_n}為等比數(shù)列，則 為等比數(shù)列；若{a_n}為等差數(shù)列，則{C_an} （c>0）為等比數(shù)列；若{b_n}（b_n>0）為等比數(shù)列，則{loa_cb_n}（c>0且c≠1）為等差數(shù)列.

（2）在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)用等差、等比數(shù)列建立模型解決問(wèn)題.

題型：主要以解答題為主.

注意：（1）等差、等比數(shù)列交匯.

（2）考查數(shù)列的基本計(jì)算.

（3）數(shù)列與函數(shù)、概率、不等式、解析幾何的綜合應(yīng)用以考查數(shù)列知識(shí)為主，同時(shí)考查化歸、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)建模能力.

（4）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的常見(jiàn)應(yīng)用題

1.數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)列的單調(diào)性：若恒有a_nn+1，則數(shù)列嚴(yán)格遞增；若恒有a_n>a_n+1，則數(shù)列嚴(yán)格遞減.等差數(shù)列若公差d>0，則數(shù)列單調(diào)遞增；若公差d<0，則數(shù)列單調(diào)遞減.等比數(shù)列若a₁>0，公比q>l，則數(shù)列單調(diào)遞增；若a₁<0，公比O1<0.公比q>l，則數(shù)列單調(diào)遞減；若a₁>0，公比O

2.由遞推數(shù)列求通項(xiàng)

（1）直接利用等差、等比的通項(xiàng)公式求解.

（2）利用a_n和S_n的關(guān)系求解：a_n=

（3）歸納一猜想一證明法.

（4）非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列：

①形如a_n+1=Aa_n+B（A≠1且AB≠0）.設(shè)a_n+1+x=A（a_n+1+x）（其中x是待定的系數(shù)），所以（A_l）x=B， ，故 是等比數(shù)列.

②形如a_n+1=Aa_n+B·Cⁿ⁺¹（A≠C，C>O，C≠1）.常變形為 ，設(shè) ，故 ，根據(jù)①可得 是等比數(shù)列，進(jìn)而求得a_n

③

④ 求解方式同①.

（5）形如a_n+1=a_n+f（n）的遞推數(shù)列求通項(xiàng)，用累加法；形如a_n+1=f（n）·a_n的遞推數(shù)列求通項(xiàng)，用累乘法.

（6）已知 ，可以結(jié)合S 的關(guān)系式，也可以寫成關(guān)于 的關(guān)系式，選取的標(biāo)準(zhǔn)是哪個(gè)關(guān)系式比較容易求解就選哪個(gè).

3.數(shù)列不等式證明

（l）證明數(shù)列a_n>m（或

（2）證明連續(xù)和，每一項(xiàng)放縮成可以裂項(xiàng)相消的形式.

（3）證明連續(xù)積，每一項(xiàng)放縮成可以錯(cuò)位相乘的形式.

（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（4）對(duì)于證明存在問(wèn)題、唯一問(wèn)題、大小問(wèn)題等有時(shí)可以嘗試反證法.