一類延遲微分方程Rosenbrock方法的數(shù)值Hopf分支

岳 雙，張永坡，馮 雪

(空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長春130022)

1 提出問題

延遲微分方程是泛函微分方程的一個重要分支，近年來很多學(xué)者研究了常微分方程的離散化格式對原連續(xù)的系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的保持性，而對延遲微分方程相關(guān)內(nèi)容的研究較少.英國V.Wulf等采用了Poincaré規(guī)范形進(jìn)行計算［1］，目前很多學(xué)者將這種方法應(yīng)用到各種模型中.張春蕊等證明了顯式Euler方法對一類二維延遲微分系統(tǒng)Hopf分支結(jié)構(gòu)的保持［2］;王秋寶等研究了Runge－Kutta方法對一類延遲微分系統(tǒng)Hopf分支性質(zhì)的保持［3－4］.

考慮如下時滯為τ的延遲微分方程(其中時滯τ＞0，y∈Rd，是連續(xù)的初始函數(shù)):

本文將討論延遲微分系統(tǒng)(1.1).

將S級Rosenbrock方法:

應(yīng)用于系統(tǒng)(1.1)，得到數(shù)值離散格式:

下列條件將保證在τ=τ*處系統(tǒng)(1.1)的零平衡點(diǎn)經(jīng)歷一個非退化的Hopf分支［1］.

(A1)f(0，0，τ)=0，當(dāng)τ∈N(τ*)，N(τ*)是τ*的一個鄰域(條件(A1)保證了對所有的τ∈N(τ*)，系統(tǒng)(1.1)的零點(diǎn)是平衡點(diǎn));

(A2)當(dāng) τ∈ N(τ*)時，對于函數(shù) f(x，y，τ)有

(A3)系統(tǒng)(1.1)在零點(diǎn)處的線性化的特征方程為(記μ=lnλ)

當(dāng) τ∈ N(τ*)時，該特征方程有一對簡單的復(fù)共軛根 λ1，2= η(τ)e±iω(τ)，并且存在0 ＜ r ＜ 1，使得所有其他根的模小于r;

(A4)對于 τ= τ*，有 η(τ*)=1，ω(τ*)= ω0＞ 0;

(A5)η'τ(τ*)＞ 0;

(A6)非退化條件成立.

若假設(shè)(A3)～(A6)成立，則系統(tǒng)(1.1)經(jīng)歷一個Hopf分支;則零解在τ經(jīng)過τ*時不是漸進(jìn)穩(wěn)定的(不失一般性，當(dāng)從左到右時，由條件(A5)可知有一個小振幅的吸引周期軌出現(xiàn)(超臨界Hopf分支)或一個排斥軌消失(下臨界Hopf分支)).

2 數(shù)值Hopf分支的分支方向與分支不變曲線的穩(wěn)定性

延遲微分方程Hopf分支分析的方法來自于Hassard等人眾所周之的思想［5］.令τ=s+τ*，則可將系統(tǒng)(1.2)變換為 C=C(［－ 1，0］，Rd)上的延遲微分方程.

定義

由文獻(xiàn)［6］可知，Re c1(τ*)的符號確定了分支周期解的穩(wěn)定性.

3 數(shù)值試驗(yàn)

為了驗(yàn)證得出的結(jié)論，考慮下列方程［7］:

此系統(tǒng)有唯一的正平衡點(diǎn)E*(1，1，1)，可求出分支點(diǎn)τ*=1.0663，且有

(1)當(dāng)τ＜τ*時，E*是穩(wěn)定的(圖1);(2)當(dāng)τ經(jīng)過τ*時，E*失去穩(wěn)定性，經(jīng)歷Hopf分支，分支出周期解，且Hopf分支是超臨界的，分支方向?yàn)棣樱睛?，且分支周期解是穩(wěn)定的(圖2).

圖1 τ=0.9 ＜ τ*，平衡點(diǎn)E*(1，1，1)是漸近穩(wěn)定的

圖2 τ=1.2＞τ*，平衡點(diǎn)E*(1，1，1)處產(chǎn)生分支周期解，并且是漸進(jìn)穩(wěn)定的

將2級2階Rosenbrock方法應(yīng)用到方程(3.1)，其中，b1=0，b2=1，2，經(jīng)計算可知其滿足定理2.6的條件.得到相圖如圖3與圖4所示，數(shù)值Hopf分支保持了分支方向與分支不變曲線的穩(wěn)定性.

圖3 應(yīng)用2階Rosenbrock方法，τ=0.9 ＜ τ*，h=0.01 時平衡點(diǎn) E*(1，1，1)漸進(jìn)穩(wěn)定

圖4 應(yīng)用2階Rosenbrock方法，τ=1.2 ＞ τ*，h=0.01時平衡點(diǎn)E*(1，1，1)處產(chǎn)生分支周期解，并且是漸進(jìn)穩(wěn)定的

［1］Ford NJ，Wulf V.Numerical Hopf bifurcation for the delay logistic equation［R］.Manchester Center for Computational Mathematics:Technical Report，1998，323.

［2］Zhang Chunrui，Liu Mingzhu，Zheng Baodong.Hopf bifurcation in numerical approximation of a class delay differential equations［J］.Appl Math Comput，2003，146:335 －349.

［3］Qiubao Wang，Dongsong Li.Numerical Hopf bifurcation of Runge – Kutta methods for a class of delay differential equations［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2009，42:3087 －3099.

［4］M.Z.Liu，Qiubao Wang.Numerical Hopf bifurcation of linear multistep methods for a class of delay differential equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，208:462 －474.

［5］Hassard BD，Kazarinoff ND，Wa YH.Theory and applications of Hopf bifurcation［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1981.

［6］Wulf V，F(xiàn)ord NJ.Numerical Hopf bifurcation for a class of delay differential equations［J］.J Comput Appl Math，2000，115:601－616.

［7］馬占平.幾類非線性生物數(shù)學(xué)模型的動力學(xué)行為研究［D］.蘭州:蘭州理工大學(xué)，2008.