具線性退化特征擬線性雙曲型方程組的邊值問題

劉志紅（鄭州財經學院計算機系，鄭州450044）

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具線性退化特征擬線性雙曲型方程組的邊值問題

劉志紅
（鄭州財經學院計算機系，鄭州450044）

摘 要：研究如下的一階擬線性雙曲型方程組具有耗散型線性退化特征的情形下，其邊值問題經典解的整體存在性，以及當t→∞時解的漸近性態，最后把結論應用到兩個實際問題中。

關鍵詞：線性退化特征；整體經典解；邊值問題；擬線性雙曲型方程組

0　引言

擬線性雙曲型方程組是偏微分方程研究領域的一個重要組成部分。當前，研究結果比較成熟的是關于擬線性雙曲方程組Cauchy問題研究［1－4］，但是對于其邊值問題的研究，相對來說就比較少了［5－7］，尚未形成一般的理論。在大量的實際問題中，特別是在空氣動力學、流體力學、非線性彈性力學、水力學等領域，經常會提出具有兩個自變量的一階擬線性雙曲方程組的邊值問題［8－10］。因此，對一階擬線性雙曲方程組邊值問題的研究具有重要的理論意義和實際應用價值。

一般說來，擬線性雙曲型方程組的邊值問題在t≥0上并不存在整體經典解，這主要是因為邊界數據的存在，造成在邊界上反射波的強度可能會大于入射波的強度，或者在邊界上有波的連續反射現象發生，但對于特殊的邊界情況則不同。

于具（嚴格）對角占優矩陣的擬線性雙曲型方程組，有如下結果：

（1）李大潛等人［7－8］在考慮一般的具內部耗散對角型主部的非齊次擬線性嚴格雙曲型方程組的Cauchy問題時，證明了如果矩陣A是行（列）對角占優矩陣且主對角線上元素均相等，則當初值的C1模充分小時，Cauchy問題在t≥0存在唯一的整體經典解。

（2）對一般的非齊次擬線性嚴格雙曲型方程組的Cauchy問題，肖玲、李大潛、秦鐵虎等人［2－3，9－10］證明：若假設A是嚴格對角占優的，則當初值的C1模充分小時，Cauchy問題在t≥0存在唯一的整體經典解，且解的C1模當t→＋∞時依指數衰減到零。

（3）劉法貴［6］在考慮具耗散項一階擬線性雙曲型方程組的具有自由邊界的典型自由邊值問題，在A是嚴格對角占優的和真正非線性特征的情形，證明了其經典解的整體存在性定理。

本文考慮具耗散項一階擬線性雙曲型方程組邊值問題，假設A是對角占優的和線性退化特征情形下，證明其經典解的整體存在性定理。

1　研究問題

討論具耗散項線性退化擬線性雙曲型方程組（*）式在如下邊界的經典解問題：其中u＝（u1，…，un）T關于變量t和x的未知向量函數，A（u）＝（aij）n是關于變量u的具有適當光滑元的n ×n階矩陣，g（u）是關于變量u的n維列向量函數。

在D＝｛（t，x）｜t≥0，x1（t）≤x（t）≤x2（t）｝上具如下典型邊值問題：

在光滑邊界x＝x1（t）（x1（0）＝0）上：

在光滑邊界x＝x2（t）（x2（0）＝0）上：

這里

假設：（H1） λi，θijk，θij，gijk，gi，Fl是適當光滑的函數，且在t≥0上保持有界；（H2） 邊界條件（2）－（3）式存在唯一的解u≡u0（不失一般性，設u0＝0）；（H3） 過原點的特征線不進入區域D，即λr（0）≤F1（0）≤F2（0）≤λs（0）。令，則得到如下不等式：（H4） A＝L（0）▽g（0）L－1（0）＝（aij）是對角占優的。

定理1 在上述假設（H1）－（H4）之下，如果存在充分小的ε＞0，使

其中r＝1，2，…，m；s＝m＋1，…，n；i＝1，2，…，n；l＝1，2，這里及以后出現的K如無特殊說明均為不依賴于ε的正常數。則在典型邊值問題（1）－（3）經典解u＝u（t，x）的存在區域上有

2　引理與解的一致先驗估計

由文獻［11］，得下面引理：

引理1 若A是行（列）嚴格對角占優矩陣，即A滿足（11）式，則δ＞0，使得A的所有特征根λ*i，成立：

注記1 （12）式中引入的“δ”即為定理1中方程組經典解的指數衰減因子。

2.2 一致先驗估計

我們對定理1的證明需要用到局部延拓法加一致先驗估計的方法，因而這里我們先對解進行一致先驗估計：

由（2）－（3），（9），并注意到u＝u（t，x）的連續性，在經典解存在區域D（σ）＝｛（t，x）0≤t≤σ，x1（t）≤x（t）≤x2（t）｝上，有

2.1 對角占優矩陣

本節主要討論上文中提到的對角占優及嚴格對角占優（Strictly Diagonally Dominant）矩陣的相關引理和定理，以及在偏微分方程中的應用（指數衰減因子）。

定義1 矩陣A＝（aij）是行（列）對角占優矩陣，如果

因此，為了得到（10），只須證可以選擇適當大的不依賴于ε的正常數K，若（t，x）∈D，有

則必有

由于在推導這個先驗估計時，已假設經典解存在，原來的未知自由邊界曲線實際上為已知的邊界曲線。

由（7）－（8）及（H3），如果ε＞0充分小，則

在x＝x1（t）上：

在x＝x2（t）上：

其中r＝1，2，…，m；s＝m＋1，…，n。

設ξ＝fs（τ，t，x）交邊界x＝x1（t）于點（τs，x1（τs））向下引第s特征交邊界x＝x2（t）于點（τsr，x2（τsr））；

設ξ＝fr（τ，t，x）交邊界x＝x2（t）于點（τr，x1（τr））向下引第r特征交邊界x＝x1（t）于點（τrs，x2（τrs））；

則由（4），有

由此，得

即

進而

同理，有

這樣，由（19）－（21），存在1＜β＜2，并能選擇T＞0，使得

若ε＞0適當小，則

沿第r特征從（τr，x2（τr））到（t，x）積分（1）的第r個方程，并注意到（13），得

這樣沿第s特征從（τrs，x2（τrs）到（τr，x2（τr））積分（1）的第s個方程，并注意到（24），得

由（2），（11），（14），（20），得

從而（24）式可化為

考慮上面不等式右邊第二項，由（22）與（23），有

則（29）化為

由（28）－（31），得

類似地，對于us（t，x）（s＝m＋1，…，n）有相仿于（32）的結論。因此，取（β0＋（β1－2））K≥K14，則一致先驗估計式（21）成立。

3　主要定理的證明

定理1 證明：根據擬線性雙曲型方程組邊值問題經典解的局部存在唯一性定理［8］，典型邊值問題（1）－（3）在區域（其中σ為適當小的常數）

D（σ）＝｛（t，x）｜0≤t≤σ，x1（t）≤x（t）≤x2（t）｝上存在唯一經典解u＝u（t，x）。

由2.2節一致先驗估計，知可以選擇適當大的不依賴于ε的正常數K。

由u（t，x）≤2Kεe－δεt，（t，x）∈D，則u（t，x）≤β0Kεe－δεt，1≤β0≤2，根據局部延拓法，即證得定理1，

定理1證畢。

4　定理的實際應用

考慮如下非等熵流體動力學方程組：

其中u，v，p＝p（v，s），s分別代表氣體的速度、比容、壓強和熵，v0（x）＝v（0，x）＞0滿足

上式的第一條件，即pv（v，s）＜0保證方程組（33）是雙曲的，后一個條件，即pvv槡－pv－pvs＝0保證方程組（33）是線性退化的。事實上，

容易計算得

注記2 式（40）的條件可以找到相應函數滿足，例如：（其中C為常數）

在D＝｛（t，x）t≥0，x1（t）≤x（t）≤x2（t ）｝上考慮，由（33）第三式及（34），可得s（t，x）＝s（x）s0（x）為了方便起見，在這里，將考慮如下的p（v，s（x）），即

p（v，s（x））＝kv－γes0k＞0，1＜γ＜3這樣，（33）可以化為如下形式：

考慮（34）具如下的邊值問題：

在光滑邊界x＝x1（t）（x1（0）＝0）上：

在光滑邊界x＝x2（t）（x2（0）＝0）上：

結論1 由定理1，可知此邊值問題整體經典解存在。

表明，初始時刻沒有真空態；而在經典解存在區域上，真空態永遠不會出現。

結論2 從上述分析，易得式（38）表明：在邊值問題（35）－（37）經典解的存在區域上，真空態永遠不會出現.

注記3 在等熵情形下（即s≡常數），可以相應地給出具耗散項的邊值問題經典解的存在性結果。

參考文獻：

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［11］劉志紅.對角占優矩陣在偏微分方程中的應用［J］.河南教育學院學報：自然科學版，2014（4）.

（責任編輯 趙冰）

Boundary Value Problem for Quasilinear Hyperbolic Linera Degeneracy Systems

LIU Zhi－hong
（Department of Computer Science，Zhengzhou Institute of Finance And Economics，Zhengzhou 450044，China）

Abstract：In this paper，we study the following first－order quasilinear hyperbolic systems

We consider the boundary value problem of the hyperbolic systems（*）with Linearly Degenerate Type for the global existence of the classical solution，the asymptotic behavior of the solution as t→＋∞.

Key words：linearly degenerate characteristic；global classical solution；boundary value problem；quasilinear hyperbolic systems

作者簡介：劉志紅（1983—），男，河北邯鄲人，鄭州財經學院計算機系講師。

基金項目：河南省高等學校重點科研項目計劃（15B110010）

收稿日期：2015－07－10

文章編號：1008－3715（2015）05－0112－05

文獻標識碼：A

中圖分類號：O175

DOI：10.13783／j.cnki.cn41－1275／g4.2015.05.023