差分與極差的分布函數

差分與極差的分布函數

文小波

(四川民族學院數學系，四川康定626001)

摘要：構造差分，求出了差分的分布函數，討論了差分的特殊情況:極差的分布函數。并結合均勻分布和指數分布，給出了均勻分布和指數分布下，差分與極差的分布函數。

關鍵詞：差分；極差；分布函數；均勻分布；指數分布

收稿日期:2014-11-20

基金項目:四川民族學院科研項目(XYZB14004)

作者簡介:文小波(1986-),男,四川綿陽人,助教,碩士,主要從事Bayes統計方面研究。

中圖分類號：O212.1文獻標志碼：A

1差分的概念

在統計學中，樣本來自于總體，樣本中含有總體的信息，但所含信息比較分散，為了較好的利用樣本中所含的總體信息，需要利用樣本構造統計量，次序統計量是一類利用比較廣泛的統計量。本文以次序統計量為基礎，構造差分與極差，推導出了差分與極差的分布函數，并給出了均勻分布和指數分布的差分與極差的分布函數。

稱Z(i)=x(i)-x(i-1)為樣本的第i個差分，其中i=1,2,…n.特殊的，稱R(n)=x(n)-x(1)，為樣本極差。

2差分的分布函數

對于一般情況，設總體X的分布函數為F(x)，密度函數為f(x)。

定理1Z(i)的分布函數為：

證明：

次序統計量(x(i),x(j))，(i

[F(x(j))-F(x(i))]j-i-1·[1-F(x(j))]n-j·f(x(i))·f(x(j))

其中x(i)≤x(j)[1]

則次序統計量(x(i-1),x(i))的聯合分布密度函數為：

[F(x(i))-F(x(i-1))]i-(i-1)-1·[1-F(x(i))]n-i·f(x(i))·f(x(i-1))

整理有

[1-F(x(i))]n-i·f(x(i))·f(x(i-1))

其中 x(i-1) ≤x(i)

做變換

于是Z(i)與x(i-1)的聯合密度函數為：

由此可以算得Z(i)的邊際密度為：

則Z(i)的分布函數為：

3極差的分布函數

定理2R(n)的分布函數為：

證明：沿用上文所述符號，則x(1)與x(n)的聯合分布密度函數為

做變換，令

則其逆變換為：

其雅可比行列式|J|=1，于是R(n)與x(1)的聯合密度函數為：

圖2中,D0～SD15是數據地址復用總線,當CMD為高電平訪問數據端口,為低電平訪問地址端口。DM9000通過EEDCS引腳決定數據位寬,拉高時為8位,拉低時為16位,本文選用16位數據總線模式。DM9000直接接入RJ45網絡接口會受到靜電串擾,直流干擾等影響網絡通信質量。故在DM9000控制器與RJ45中間加入HR601680網絡變壓器,達到增強信號,降低干擾,提高傳輸距離的目的[5]。

fRn,Z (x,Z)=n·(n-1)f(Z)·f(x+z)·[F(x+Z)-F(Z)]n-2,

則R(n)的分布函數為：

4均勻分布與指數分布的極差和差分的分布函數

特別的X～U(0,1),時

f(x)=1,0

x～exp(x),f(x)=λe-λx,x≥0,F(x)=1-e-λx,x≥0,[2]。

4.1差分的分布函數

X～U(a,b),

X～U(0,1),

x～exp(x),

令t=λZ，則

4.2指數分布與均勻分布極差的分布函數

x～exp(λ),

X～U(a,b), a

故Z的積分范圍為a

對特殊的均勻分布U(0,1)而言，即a=0,b=1，則

FR(n)(x)=nxn-1·(1-x)。

這正是Be(n-1,2)的分布函數,此時Rn～Be(n-1,2)

5結語

構造差分與極差，求證了差分與極差的分布函數，并以指數分布與均勻分布為例，求解了指數分布與均勻分布之下，差分與極差的分布函數，模型可進一步推廣到其他分布的情況下。

參考文獻:

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社,2011.

[2]繆銓生.概率與統計[M].上海：華東師范大學出版社,2007.

[3]羅李平.關于極差分布的求法[J].衡陽師范學院學報,2000,12(6):29-31.

責任編輯：程艷艷

Distribution Functions of Difference and Range

WEN Xiaobo

(Department of Mathematics, Sichuan University for Nationalities, Kangding 626001, China)

Abstract：The differential distribution function is obtained by constructing the difference. The differential special case—range distribution function is discussed. Combined with uniform distribution and exponential distribution, the distribution functions of difference and range are given in the condition of uniform distribution and exponential distribution.

Keywords：difference; range; distribution function; uniform distributed; exponential distribution