態函數熵的意義及應用研究

邵琪珺

（無錫職業技術學院 基礎課部，江蘇 無錫 214121）

熵的概念已經無處不在，它滲透到生物學、環境學、社會學、經濟學等各個領域。熵增會使能量彌散，能量退降，使世界向無序和混亂發展；而熵減可以使自然和社會的事物向有序的方向發展。熵不僅聯系著舊事物的消亡，也與新事物的萌生有關。熵理論及應用已經成為人與自然和諧共處的新的世界觀。

1 態函數熵

設熱力學系統由平衡態1過渡到平衡態2，則初終狀態的態函數有

式中，dQ表示系統在其間一個無限小可逆過程中（溫度為T）所吸收的熱量，S2和S1分別表示系統在狀態2和狀態1的熵。

如系統經無限小的可逆過程，則

熵的單位是J/K。

根據卡諾定理，克勞修斯還證明了對任意孤立系統的不可逆過程，有

綜合式（1）和（3）得出

其中等號對應于可逆過程，不等號對應于不可逆過程。顯然，對于孤立系統而言，它不從外界吸收熱量，則

式（5）為熵增原理——孤立系統的可逆過程，其熵不變；孤立系統的不可逆過程，其熵增加。孤立系統內部自發進行的過程必然是一個不可逆過程，導致熵增。當孤立系統達到平衡態時，熵達到最大值，因此平衡態是孤立系統在一定條件下熵值最大的狀態。用熵增原理可判斷過程進行的方向和程度［1－2］。

2 三種熵及相互關系

前文提出的克勞修斯熵又稱熱力學熵。玻爾茲曼認為，系統的無序度可用系統的微觀狀態數w（或稱熱力學概率）來表述，認為：S∝lnW。普朗克引進了比例系數k（玻爾茲曼常數），得出玻爾茲曼關系式：

式（6）中的熵稱為玻爾茲曼熵或統計熵。玻爾茲曼熵是從統計意義上說明自然界一切自發進行的過程都是從小概率狀態向大概率狀態發展的，平衡態的熱力學概率最大。玻爾茲曼熵揭示了宏觀態與微觀態的聯系，指明了熱力學第二定律的統計本質。

熵是狀態函數，克勞修斯熵只對平衡態有意義，它是系統平衡狀態的函數，熵的變化量是指系統初、終平衡態之間的熵變。而玻爾茲曼熵對系統任意宏觀態（包括非平衡態）均有意義，因為即使是非平衡態也有與之對應的熱力學概率。由于平衡態熵值最大，因此可以說克勞修斯熵是玻爾茲曼熵的最大值。玻爾茲曼熵具有更普遍的意義。

仙農引入了信源的信息熵，后由詹尼斯將信息熵引入統計力學。

式（7）中的熵稱為信息熵或廣義熵。Pi表示系統的第i個微觀態出現的概率。熵概念的這一推廣，為熵從熱力學進入信息、生物、經濟等領域鋪平了道路［2］。

李鶴齡認為：三種熵按定義出現有先后，克勞修斯熵最早，玻爾茲曼熵次之，信息熵最晚，但信息熵玻爾茲曼熵克勞修斯熵［3］。

若不確定事件的每個可能結果出現的概率相同，即P1＝P2＝…＝Pi＝P，P表示任意可能結果出現的概率，W 表示可能出現的結果總數，且則式（7）退化為

可見能從信息熵推導出玻爾茲曼熵。同樣李鶴齡也驗證了能從玻爾茲曼熵推出克勞修斯熵，從信息熵能推導出克勞修斯熵。

信息熵中的Pi可以是任何一種研究對象的概率，沒有受到平衡態、熱力學系統等的限制，與熱量、能量的轉換無關，可以使用到信息、生物、經濟等領域，范圍最廣；玻爾茲曼熵具有克勞修斯熵的所有特征，也能延展到非熱力學系統和遠離平衡態的熱力學系統的非平衡態，但受到等概率的條件限制；克勞修斯熵是玻爾茲曼熵的最大值，是宏觀的熱力學理論中的態函數，不可能推導出微觀的玻爾茲曼熵。綜上得出信息熵包含的內容最廣，玻爾茲曼熵比克勞修斯熵概念廣泛，即信息熵玻爾茲曼熵克勞修斯熵。

3 熵與能量品質

從熱力學第一定律看，能量不會減少，但從熱力學第二定律來看，隨著實際過程的進行，能量總在退化。能量品質有高有低，品質高的能量可做功或供熱，可以轉為機械能、電能等供人類使用，而高品質的能量被耗散時，會被降級為較低品質的內能。不可逆過程在能量利用上的后果總是使一定的能量從能做功的高品質能轉變為不能做功的低品質能，形成所謂“退降”的能量。

下面以理想氣體的絕熱自由膨脹為例，說明退降的能量Ed與系統的熵的增加成正比［2］。

設有物質的量νmol、溫度為T、體積為V1的理想氣體，與溫度為T的熱庫接觸做等溫膨脹，體積變為V2時，從熱庫吸收熱量Q，并使之全部轉化為功Ai，則

如果氣體是通過絕熱自由膨脹使體積變為V2，則在膨脹過程中它不對外做功，熱庫內相應的這一部分能量也就不可能借助于氣體對外做功加以利用了。要利用這部分的能量做功，只能借助于溫度為T0的熱庫并使用卡諾熱機，此時能得到的功是

這樣由于氣體自由膨脹而退降的能量是

又因為理想氣體絕熱自由膨脹的過程不可逆，初終兩態溫度為T不變，氣體熵的增量為

比較式（11）和式（12）可得

式（13）說明退降的能量與系統的熵增成正比。自然界所有的實際過程都是不可逆的，使得能量不斷轉變為不能做功的形式。提高熱機的效率是提高能量品質的一種有效手段，但較難。節能和開發新能源是人類社會的重要課題。

4 熵與自然演化

克勞修斯的所謂“宇宙熱寂說”與達爾文的進化論看似矛盾，實則不對立。熱力學第二定律所揭示的“退化”是在與周圍環境隔絕的密閉系統，而達爾文的生物進化系統則是一個時刻同外界環境進行物質、能量、信息交換的開放系統。根據普利高津方程

式中diS為系統內部自發產生的熵值，該項恒大于零；deS為系統從環境引入的熵流，即物質流、能量流、信息流。系統要想朝有序方向進化，就必須從環境中引入負熵流。只有當負熵流大于系統內部自發產生的熵增時，即｜deS｜＞｜diS｜時dS＜0，才能使系統朝熵減有序的方向進化。也就是說系統的進化是以環境中某些方面的退化為代價的。

比如，人類社會要生存和發展，就要不斷地從自然界吸取負熵，盡可能向自然界索取各種可利用的礦產資源、森林資源、水利資源、動植物資源、空氣資源等，人類社會也是依賴負熵維持的，同時又把各種工業垃圾、生活垃圾、有毒有害的氣體和污染嚴重的廢水排放到自然環境中。如果人類無節制地向自然索取和排放，那么，隨著自然環境中正熵的積累越來越多，環境必然日益走向無序、退化。人類的進化不能以環境的退化為代價。必須協調好人與環境的矛盾，實現發展經濟和保護環境的同步性［4］。

5 熵與經濟和社會

經濟系統是復雜系統，經濟系統中存在物流、能流、貨幣流及相應的熵流。經濟系統也是復雜的開放系統，它不斷與自然界進行物質、能量、熵的交換。在物質交換中，輸入物料資源、排除廢物和產品。在能量交換中，輸入可利用能，排除廢物和廢熱。經濟過程的生產、流通、消費環節都導致總熵增加。

有專家提出了經濟能的概念。經濟能是一種特殊的復合能量，它不僅具有各種類型的物理能和化學能，還具有在經濟活動中做功的能力，即影響社會消費和社會經濟的發展。類似于“能量退降”，在人類社會經濟活動中，經濟能也不能全部利用。即使科學技術再先進，經濟能也不能全部轉化為有效能，總有一部分轉化為無效能，造成經濟過程中的熵增［5］。生產過程中原料變成產品，產品部分熵減少了，但環境中的熵增加了（包括生產過程中廢物和廢熱的排入）。工農業生產過程中形成的無法處理的廢水，無法降解的白色污染，沙化的土地導致熵增；流通過程中各種交通工具產生的廢氣、揚塵導致熵增；消費過程中人體的新陳代謝，生活用品的升級換代，也必然帶來環境污染和巨大的熵增。在生產中知識、技術等負熵流很重要，可以保證科學生產，減少能耗和廢品。

要使經濟社會不斷發展，同時減少熵的產生，就要求人類能巧妙地掌握和利用自然規律，學習先進的科學技術。信息、知識和技術是負熵，能抵消生產和經濟發展中的熵增，使社會有序發展。

在市場經濟條件下，過量生產還會導致大量商品閑置，導致勞動力過剩，最終爆發經濟危機，只有及時調節供求關系，調整產業結構，解決就業問題，才能化解經濟危機。

6 熵與課堂教學

教學是復雜系統，由教和學兩方面組成，教學活動中的各種聯系如教師與學生，學生與學生，教師與教學內容，學生與教學內容，理論教學與實習教學等等組成了一個復雜的系統。教學又是一個開放的系統，不斷與外界進行著物質、信息、能量的交換。教學系統在運行過程中熵會不斷增大。比如學生在聽課或實習期間能耗不斷增加，精神會逐漸萎靡，注意力慢慢下降。從學期初的飽滿狀態到對所學課程內容逐漸失去興趣，甚至無故缺課等。教學中需要引入負熵，使得教學向有序方向發展［6］。

教師先要針對不同個體的學生制定合理的教學方案，起點不能太高。課堂教學中應因材施教，尊重學生個性。教學也不能一味灌輸，要提高學生的參與度，激發學生的學習興趣?？刹捎眯〗M討論、動手制作等提高學生的教學參與度。要多培養學生的開放性思維，鼓勵一題多解。教師還可變換教學節奏，有張有弛的完成教學任務。

開放是宏觀有序的源頭。只有輸入負熵即增加鮮活的教學信息，通過生動的教學素材和多彩的教學形式來提高課堂教學質量，同時避免過多、過難的教學內容，才能確保教學系統總熵減少，使得教學向熵減有序的方向良性發展。

7 結語

“熵”這個源于熱力學的概念已經滲透到人類生活的方方面面。不論是人的新陳代謝、植物的光合作用，還是清潔生產、環境保護和可持續發展，都能運用熵的理論來解決實際問題。熵理論還能運用到經濟社會的發展中，保證科學生產，調整產業結構，節能減排，化解經濟危機。

作為一名教師，應更多的思考熵理論在課堂教學中的合理應用，在開放的教學系統中，激發學生的思維，提高學生的學習興趣，使教學良性發展。

［1］ 馬文蔚，周雨青.物理學教程（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］ 葉善專，張本袁，張玉萍，等.現代工程技術物理基礎專題［M］.北京：清華大學出版社，2011.

［3］ 李鶴齡.信息熵、玻爾茲曼熵以及克勞修斯熵之間的關系——兼論玻爾茲曼熵和克勞修斯熵是否等價［J］.大學物理，2004（12）：37－40.

［4］ 錢兆華，李銳鋒，高建明.自然辯證法教程［M］.武漢：湖北教育出版社，1999.

［5］ 王恒君.經濟能·經濟熵·經濟危機［J］.數量經濟技術經濟研究，2002（2）：72－73.

［6］ 張進清，蔣士會.論教學的復雜性［J］.廣西師范大學學報：哲學社會科學版，2010，46（2）：100－103.