探究豎直振動彈簧的角頻率與質量的關系——離散化模型

劉曉霞　李 波　杜彩云

(太原五中　山西 太原　030000)

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探究豎直振動彈簧的角頻率與質量的關系
——離散化模型

劉曉霞李 波杜彩云

(太原五中山西 太原030000)

摘 要：本文建立了彈簧的離散化模型，將彈簧離散化成n段，從彈簧系統的能量出發，構造系統的拉格朗日函數，當n→∞時，得到彈簧振動的角頻率的表達式為ω·tan=．

關鍵詞：豎直彈簧振動頻率

1引言

質量為m1的彈簧，一端固定，另一端連接一質量為m2的質點的系統(或稱為“彈簧加質點系統”)[1]振動的這一經典問題，在很多文獻[1～7]中都有討論．

文獻[2]將彈簧簡化為一根均勻的彈性桿，用波動方程導出彈簧的振動的角頻率滿足

文獻[3]分析了在水平方向上彈簧質量對振動周期的影響，用波動方程推導出彈簧的振動的角頻率與羅蔚茵老師有相同的結論，并用瑞利法討論了彈簧在水平方向上振動的的基頻．

上面討論的都是水平方向上彈簧的質量對振動周期的影響？那么豎直方向上彈簧的質量對振動角有什么影響呢？

文獻[4]用拉普拉斯變換法求解了一端固定，一端與質點連結的彈性桿[5]的振動問題，得出桿的振動的角頻率．文獻[6]研究了豎直方向上彈簧的振動解，利用波動方程推導得出彈簧的振動的角頻率并得出振動方程，討論了極限情況下的振動解．文獻[7]等人研究了豎直振動彈簧的質量對振動角頻率的影響，構建了彈簧的連續化模型，從理論和實驗兩個角度探究了其質量對振動角頻率的影響．那么，如果構建彈簧的離散化模型，能否探究出豎直振動彈簧質量對振動角頻率的影響？

2彈簧的離散化模型

圖1　豎直彈簧諧振子

下面就來求將豎直的彈簧離散成n段，那么彈簧系統振動的角頻率與彈簧的質量或者振子的質量有什么關系，當n→∞時，會得出什么的結論？

2.1系統的拉格朗日函數

2.1.1系統的動能

將豎直的彈簧離散成n段，設第一小段彈簧偏離原來位置的位移為u1，第二小段彈簧偏離原來位置的位移為u2……，第n小段彈簧偏離原來位置的位移為un．質量為m2的振子懸掛在彈簧的下端，則它偏離原來位置的位移為un．

彈簧的動能是n小段彈簧的動能之和

(1)

振子的動能是

(2)

則系統的動能是彈簧的動能和振子的動能之和

(3)

2.1.2系統的勢能

假設彈簧的上端固定點為勢能零點，則可知第一小段彈簧的重力勢能是

(4)

第二小段彈簧的勢能是

(5)

第三小段彈簧的勢能是

(6)

第n小段彈簧的勢能是

(7)

則由上可知彈簧的重力勢能為

(8)

已經得到彈簧的重力勢能，下面來推導彈簧的彈性勢能，第一小段彈簧的彈性勢能為

(9)

第二小段彈簧的彈性勢能為

(10)

第三小段彈簧的彈性勢能為

(11)

……

第n小段彈簧的彈性勢能為

(12)

則彈簧的彈性勢能為

(13)

我們又知道質量為m2的振子的重力勢能為

V2=-m2g(l0+un)

(14)

而系統的勢能是振子的重力勢能，彈簧的重力勢能以及彈簧的彈性勢能之和，所以

(15)

2.1.3系統的拉格朗日函數

拉格朗日函數L=T-V[8]是位形空間內系統的特征函數，確定了系統的拉格朗日函數，通過哈密頓原理，就可導出系統的動力學方程．則該豎直振動彈簧系統的拉格朗日函數為

(16)

2.2系統的運動方程

2.2.1系統的運動方程

因為拉格朗日方程為

(17)

將式(16)代入式(17)中可得系統的運動方程

(18)

將運動方程后面的常數項消掉，我們設

(19)

將式(19)代入式(18)可得

(20)

2.2.2系統的特征方程

因為式(20)是二階常系數線性微分方程組，所以設方程組的解為

Un=Ancos(ωt+φ)

(21)

將式(21)代入式(20)，可得

(22)

式(22)視為A1，A2，…，An的方程；要有非零解，系數行列式必須為零

(23)

式(23)為特征方程.

2.3系統振動的角頻率

2.3.1系統振動的角頻率

為求解式(23)，我們設

則式(23)變為

(24)

通過計算可得遞推關系式為

βΔn-1-Δn-2=0

(25)

其中

(26)

又因為

(27)

將式(27)代入式(25)可得

(28)

式(28)經過變換可得

(cosλ-β)tannλ=sinλ

(29)

2.3.2當n→∞時系統振動的角頻率

式(29)是離散化模型得出的豎直振動的彈簧的角頻率的表達式，要求當n→∞時系統振動的角頻率，則

通過對比式(24)和式(27)可以知道

(30)

當n→∞時，則可以得到

(31)

所以可知

(32)

(33)

(34)

將式(29)、(32)、(33)、(34)聯立可得

(35)

式(35)所推導出的結論與文獻[7]中從連續化模型推導出的結果一致.

3結論

在離散化模型中，將彈簧離散化成n段，從彈簧系統的能量出發，構造系統的拉格朗日函數，代入拉格朗日方程得到系統的運動方程，消去常數項，則運動方程為二階常系數線性微分方程組．假設方程的解，得到特征方程，進一步求出本征角頻率，當n→∞時，得到彈簧振動的角頻率的表達式

參 考 文 獻

1Weinstock R．Oscillations of a particle attached to a heavy spring：An application of the StieItjes integral．Am.J.Phys,1979,47(6)：508～514

2羅蔚因.關于彈簧振子固有頻率的進一步討論.大學物理,1985,4(11):9～11

3陳鏡寰.彈簧振子系統振動的周期.大學物理, 1988,7(12):1～3

4林瓊桂.與質點連結的彈性桿的振動.大學物理,2004, 23 (3) :18～24

5M.L.James,G.M.Smith,J.C.Wolford,P.W.Whaley,Vibration of Mechanical and Structural Systems, Harper Collins College Publishers, New York, 1994:27～29

6陳代綬.垂直懸掛質點彈簧系統的振動.大學物理,2007,26 (9):22～26

7劉曉霞,王智.豎直振動彈簧的質量對振動周期的影響.大學物理,2010,29(11):51～54

8管靖.劉文彪. 理論力學.北京.科學出版社，2008.13～14

收稿日期：(2015-02-05)