功率方程在動力學問題中的應用

趙 巍

（唐山學院基礎教學部，河北 唐山 063000）

0 引言

在理論力學中，求解由多個剛體組成的質點系統的動力學問題是一項重要的內容，特別是求解質點系統中某個剛體的加速度（或角加速度）問題。

目前，在學時縮減的情況下，理論力學的動力學篇通常只能講授動量定理、動量矩定理和動能定理，而動力學普遍方程和拉格朗日方程基本不再講述。因此，求解由多個剛體組成的質點系統中某個剛體的加速度（或角加速度）時通常采用動能定理。

即采用動能定理的積分形式求解，解題步驟如下[1]：選取某質點系作為研究對象；選定應用動能定理的一段過程；分析質點系的運動、計算選定過程起點和終點的動能；分析作用于質點系的力、計算各力在選定過程中所作的功；應用動能定理建立方程。最后，還需要將方程兩端同時對時間求導數，才能解出加速度（或角加速度）。

以上方法是要求學生應掌握的基本方法，但顯得不夠簡便。因為在應用動能定理的積分形式時，是對一段運動過程進行分析的，所以需要計算系統中各個物體在該段運動過程中動能的改變量，即需要計算起點和終點的動能。此外，還需要計算力的功，而功也是力在一段路程上對物體累積作用效應的度量。因此必須取一段有限路程來計算，有時甚至是對某一質點系統在假設的一段路程上進行分析，這要求系統中其他各物體在滿足約束條件下相應各自地移動一段位移，從而才能計算各力的功之和。這樣做，無形中增加了計算的工作量和解題的難度。當遇到只需要求解某瞬時系統中某個剛體的加速度問題時，采用動能定理的積分形式就很不方便。怎樣才能更簡捷些呢？采用功率方程即可達到簡潔、快速地解題。

1 功率方程的應用及解題示例

功率方程建立了質點系統的動能變化率與功率之間的關系。動能與速度有關，其變化率含有加速度項，因而功率方程就直接給出了系統的加速度與作用力之間的關系。以質點系統運動瞬時動能的計算代替一段有限運動過程中動能的變化計算，以力的瞬時功率的計算代替力在一段路程上功的計算，這些瞬時效應的計算要比累積效應的計算簡單。

同時，功率方程的應用也加深了對機械功率的理解，明確機械的啟動功率的計算和穩定運轉時功率的計算都是和質點系統的動能變化有關系。

采用功率方程的解題步驟如下：選取某質點系作為研究對象；計算系統某瞬時的動能；計算該瞬時作用上在系統上的所有力的功率的代數和；代入功率方程即可求解出加速度（或角加速度）。下面舉一例題說明。

均質細桿AB 長為l，質量為m，由直立位置開始滑動，上端A 沿墻壁向下滑，下端B 沿地板向右滑，不計摩擦。求細桿在任一位置φ時的角加速度α。

解：研究桿AB，受力情況如圖1示。

圖1

桿作平面運動P 為速度瞬心，設角速度為ω，角加速度為α，質心速度為

系統動能：

A、B 為理想約束，只有重力的瞬時功率。

代入功率方程：

2 結語

可以看出由于省略了取一段有限運動路程的步驟，不需要知道初位置系統的初始狀態，不必分析質點系的運動來計算起點和終點的動能，也不必計算各力的功之和。只需要計算剛體系統的瞬時動能和力的瞬時功率，應用功率方程求解剛體的加速度很是簡捷。特別是針對由多個剛體組成的質點系統，由于只計算力的瞬時功率，避免了還需考慮系統中各物體在滿足約束條件下相應各自地移動一段位移才能計算各力的功之和的繁瑣過程。因此，從物理意義上講功率方程比采用積分形式兩端再求導運算更為直接。

此外，采用功率方程在求解系統運動初速度為零時剛體的加速度就更具有優勢。因為雖然初速度為零，但速度變化率不為零，求瞬時速度變化率仍可應用功率方程來解?？傊?，在動力學問題中采用功率方程可以更簡捷地求解剛體的加速度。

［1］哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學(Ⅰ)第六版[M].北京：高等教育出版社，2002：297-298.