一種低快拍情況下的穩健自適應波束形成算法

朱玉堂,趙永波,水鵬朗,程增飛,李 慧

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安 710071)

一種低快拍情況下的穩健自適應波束形成算法

朱玉堂,趙永波,水鵬朗,程增飛,李 慧

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安 710071)

針對低快拍情況下自適應波束形成器性能急劇下降的問題,提出一種基于聯合協方差矩陣修正和導向矢量估計的穩健自適應波束形成算法.該算法先對協方差矩陣進行修正,再用修正的協方差矩陣估計最優導向矢量,最后利用修正的協方差矩陣和估計的最優導向矢量計算自適應波束形成器的加權矢量.該算法不僅能有效地處理各種失配,還能解決自適應波束形成器在低快拍情況下性能急劇下降的問題,提高了自適應波束形成器的穩健性.計算機仿真驗證了所提算法的正確性和有效性.

自適應波束形成;陣列信號;低快拍;穩健性

自適應波束形成是陣列信號處理中一個重要的研究方向,在雷達、聲納、無線通信、醫學影像和射電天文學等多種領域具有廣泛的應用.在理想情況下,自適應波束形成器具有較高的分辨力和較強的干擾抑制能力.但在實際工程應用中,快拍數有限、期望信號指向誤差、陣列標定誤差或局部相干散射等非理想因素均可引起協方差矩陣失配和導向矢量失配,導致主瓣畸變、旁瓣升高和期望信號自消,造成自適應波束形成器的性能下降.如果接收數據中存在期望信號,自適應波束形成器的性能下降更嚴重.因此,穩健性成為了自適應波束形成器的必需要求.

為提高自適應波束形成器的穩健性,近年來學者們提出了很多穩健自適應波束形成算法,如基于特征空間的算法[1],常用的對角加載類算法[2-5]和基于角度區間類算法[6-7]等.其中基于特征空間的算法利用假定的導向矢量在信號協方差矩陣的特征空間中投影,緩解了導向矢量失配對波束形成器性能的影響;對角加載類算法通過向協方差矩陣添加加載陣,提高了波束形成器對一般失配的穩健性;基于角度區間類算法利用期望信號所在的角度區間估計期望信號的最優導向矢量,也同樣增強了波束形成器對一般失配的穩健性.然而這些算法在低快拍情況下性能急劇下降,甚至部分算法在快拍數低于陣元數情況下完全失效.快拍數是信號處理中一種重要資源,高的快拍數可以提高系統的穩定性,但也會造成計算復雜度增高、硬件實現困難、通信及時性差等一系列問題.另外,當接收數據的維數比較大（如多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達)或者要求自適應波束形成器對接收環境的快速變化反應敏感時,接收數據的采樣快拍數都不會很高[8].因此,如何在低快拍情況下改善自適應波束形成器的穩健性具有重要意義.

針對低快拍情況下自適應波束形成器的穩健性問題,筆者在深入分析低采樣快拍數對自適應波束形成器性能影響的基礎上,提出一種基于聯合協方差矩陣修正和期望信號最優導向矢量估計的穩健波束形成算法.與現有的算法相比,文中算法對各種失配都具有較好的穩健性,特別是在快拍數低于陣元數的情況下.

1 信號模型

考慮一個N元的線陣,有一個遠場窄帶期望信號和P個遠場干擾信號入射到陣列,其中P+1＜N,則第k次快拍陣列的接收數據矢量可以表示為

其中,xs（k)、xi（k)和xn（k)分別為接收數據中互不相關的期望信號、干擾和噪聲部分,xs（k)=a s（k),a∈CN×1,為期望信號對應的導向矢量,s（k)為期望信號的復包絡.

對接收數據進行波束形成,則波束形成器的輸出為其中,w=[w1,w2,…,wN]T∈CN,為波束形成器的加權矢量,（·)T和（·)H分別表示轉置和共軛轉置.

陣列的輸出信干噪比為

為期望信號的功率,Ri+n=E{[ xi（k)+xn（k)][xi（k)+xn（k)]H}∈CN×N,為干擾噪聲協方差矩陣,E{·}表示數學期望.其中,

2 MVDR和MPDR

波束形成器的最優加權矢量可以通過最大化陣列的輸出信干噪比得到,其等價的數學模型[9]可以表示為

小方差無畸變響應（Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)波束形成器,式（5)的解w2=被稱為最小能量無畸變響應（Minimum Power Distorionless Response,MPDR)波束形成器.盡管在理想條件下兩種波束形成器等價相同,但在低采樣快拍數情況下MPDR波束形成器的性能遠不如MVDR波束形成器.

假定接收數據為L次快拍的采樣數據,期望信號、干擾和噪聲之間以及它們相互間的相關性增加,互不相關的假設不再滿足,則

3 文中算法

文獻[1]證明了由快拍數不足造成的協方差矩陣失配可以和期望信號的導向矢量失配等價,因此,可以通過修正︵w2中的期望信號導向矢量或協方差矩陣來同時克服快拍數不足和導向矢量失配對SMI（也就是MPDR[9])波束形成器性能的影響.但是這種等價關系是建立在期望信號的功率遠大于噪聲功率且快拍數遠高于陣元數的條件之上,如果該條件不滿足,特別是快拍數高于陣元數時,單一地修正協方差矩陣或期望信號導向矢量并不能很好地解決上述失配問題.因此,筆者提出一種新的穩健自適應波束形成算法,將協方差矩陣的修正和期望信號最優導向矢量的估計聯合起來,從而更好地處理波束形成器的協方差矩陣失配和導向矢量失配.

3.1 協方差矩陣的修正

在低快拍情況下采樣協方差矩陣的失配主要表現為小特征值的擴散,下面將通過公式推導來說明這個問題,并提出解決方法.

將︵Rx特征分解為

其中,λk（k=1,…,P)為干擾對應的特征值,λP+1為期望信號對應的特征值,λk（k=P+2,…,N)為噪聲對應的小特征值,uk為特征值λk對應的特征向量.由于x為Hermitian矩陣,因此,所有特征值都是實數且特征向量相互正交.

取最小特征值為λmin,則x的逆可用特征值和特征向量表示為

從上式可以看出,自適應波束圖可以認為是靜態波束圖（即沒有外界干擾僅有內部噪聲時的狀態)減去特征向量對應的特征波束圖,a即為靜態波束圖對應的權值.由于干擾的功率遠大于噪聲的功率,所以（λkλmin)λk（i=1,…,P)接近1,干擾幾乎被完全抑制掉,在干擾方向形成零陷;而期望信號由于受到約束的保障,在導向矢量不存在失配的情況下,能夠無損耗地輸出.在假設的理想條件下用協方差矩陣Rx計算時,λP+1=…=λN=λmin,（λk-λmin)λk=0（k=P+2,…,N),小特征值對應的特征矢量不參與計算.但在低快拍情況下,期望信號、干擾和噪聲之間以及它們相互間的相關性增加.假設的白噪聲實際等價為色噪聲,從而造成了采樣協方差矩陣的小特征值擴散[10].小特征值對應的特征矢量擾動參與了自適應權值的計算,導致了自適應波束形成器的主瓣畸變,旁瓣抬高,干擾對應的零陷變淺,收斂速度變慢,甚至發散.另外,當快拍數低于陣元數時,部分小特征值等于0,傳統的MPDR波束形成器完全失效.

為了解決低快拍數造成采樣協方差矩陣小特征值擴散的問題,文中采用自動對角加載的方法對x進行修正[11].基本思想是通過單位陣I和采樣協方差矩陣Rx的凸線性組合來估計協方差矩陣,即

這樣最小化,就可以得到

要計算出MVDR波束形成器的權值,就必須得到干擾噪聲協方差矩陣.干擾噪聲協方差矩陣的估計方法有很多[7,12-13],為了方便說明問題,利用Capon譜重構干擾噪聲協方差矩陣[7]為

3.2 期望信號最優導向矢量的估計

根據上文的分析,在低快拍情況下單一地修正協方差矩陣并不能徹底地解決期望信號的導向矢量失配,還需要自適應地估計期望信號的最優導向矢量.期望信號導向矢量的估計可以轉化為導向矢量誤差e的估計,而導向矢量誤差e又可以分解為垂直部分e⊥（與期望信號的假定導向矢量a垂直)和平行部分e∥（與a平行),其中e∥不影響陣列的輸出信干噪比.因此,類似于文獻[7]期望信號最優導向矢量的估計可以簡化為垂直部分e⊥的搜索:

其中,目標函數是為了最大化陣列的輸出功率,第1行約束是為了保證e⊥和假定導向矢量a垂直,第2行約束是為了防止a+e⊥向干擾導向矢量及其線性組合收斂.又因為i+n正定,所以這個優化問題是一個可解的二次約束二次問題（Quadratic Constraint Quadratic Problem,QCQP).求解之后就可以得到期望信號最優導向矢量的估計為

在得到重構的干擾噪聲協方差矩陣和估計的最優導向矢量后,將其分別代入MVDR波束形成器就可以得到一種新的穩健自適應波束形成器:

4 計算機仿真

為了驗證文中算法的有效性,進行如下仿真.仿真基于一個N=10的均勻線陣,陣元間隔為半波長,接收數據中包含互不相關的期望信號、干擾和噪聲,期望信號的方向為5°,干擾信號的方向分別為30°和50°,信噪比（Signal to Noise Ratio,SNR)為10 dB,干噪比（Interference and Noise Ratio,INR)均為30 dB,噪聲為空域、時域獨立的零均值圓對稱復高斯白噪聲.另外,為了充分說明文中算法的性能,在部分仿真中,文中算法與LSMI[2]、WC-RCB[3]、GLC[4]、文獻[6-7]的算法進行對比,其中LSMI的對角加載因子設定為10倍的噪聲功率,WC-RCB的不確定集上界設定為0.3,文中算法、文獻[6-7]的算法中期望信號所在的角度區間設定為Θ=[0°,10°],干擾信號所在的角度區間為Θ的補集.

實驗1 在低快拍情況下MVDR和MPDR的關系.接收數據的快拍數L=20,其他參數根據上文設定.

圖1 MVDR和MPDR的波束響應

實驗2 自動對角加載對小特征值擴散的改善.接收數據的快拍數L=5,蒙特卡洛試驗次數為500,其他參數根據上文設定.

從圖2中可以看出,由于接收數據的快拍數過少,采樣協方差矩陣的小特征值遠小于理想協方差矩陣的小特征值,但是經過自動對角加載的處理,修正后采樣協方差矩陣的小特征值逼近理想協方差矩陣的小特征值.另外,從圖2中還可以看出,修正后協方差矩陣仍然存在失配,說明了采用MVDR波束形成器的必要性.

實驗3 在低快拍情況下不同算法的波束響應對比.接收數據的快拍數L=5,其他參數根據上文設定.

圖2 不同協方差矩陣的特征值分布

圖3 給出了在低快拍情況下,文中算法與適合低快拍的常用算法（LSMI、GLC、WC-RCB)的波束響應的對比,從圖中可以看出,文中算法不僅可以保證主瓣的形狀、壓低旁瓣,還能在干擾方向形成很深的零陷.

實驗4 在導向矢量失配情況下不同算法的性能對比.在存在指向誤差的情況下期望信號的假定方向為2°,在存在近場相干散射的情況下期望信號的實際導向矢量可以表示為=a0+,a0為直達信號的導向矢量,d（θi)（i=1,…,I)表示從θi方向入射的相干散射信號對應的導向矢量,?i為相干散射信號相對直達波信號的相位差.此例中I取4,直達波信號的入射方向為0°,反射信號的入射方向θi服從均值為0°,標準差為4°的高斯隨機分布,?i服從[0,2π]間的均勻分布.蒙特卡洛試驗次數為500,其他參數根據上文設定.

圖3 文中算法與常用算法的波束響應對比

圖4（a)和圖4（b)分別給出了期望信號存在指向誤差和近場相干散射情況下不同算法的性能對比.從圖中可以看出,當快拍數低于陣元數時,文中算法的性能明顯優于其他算法;當快拍數高于陣元數時,文中算法的性能和同類算法相當.另外,從圖中還可以看出,MVDR類算法（文中算法和文獻[7]算法)的性能優于MPDR類算法（LSMI、GLC、WC-RCB和文獻[6]算法);單一地修正協方差矩陣失配的算法（LSMI、GLC和WC-RCB)或導向矢量失配的算法（文獻[6-7]算法)的性能均不如聯合修正協方差矩陣失配和導向矢量失配的文中算法,特別是在快拍數低于陣元數情況下.

圖4 在導向矢量存在失配時不同算法的性能對比

5 結束語

針對低快拍情況下自適應波束形成器性能急劇下降的問題,提出一種新的穩健波束形成算法.該算法基于MVDR波束形成器,聯合協方差矩陣的修正和期望信號導向矢量的估計,提高了陣列的輸出信干噪比（Signal to Interference and Noise Ratio,SINR),增強了算法對協方差矩陣失配和導向矢量失配的穩健性.

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（編輯:李恩科)

Robust adaptive beamforming algorithm in the situation of limited snapshots

ZHU Yutang,ZHAO Yongbo,SHUI Penglang,CHENG Zengfei,LI Hui
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

In order to solve the problem of the sharp degradation of the adaptive beamformer performance due to limited snapshots,this paper proposes a new robust adaptive beamforming algorithm based on the correction of the covariance matrix and the estimation of the steering vector.The proposed algorithm first corrects the covariance matrix,and then obtains the estimation of the optimal steering vector with the corrected covariance matrix.Finally,using the corrected covariance matrix and the estimated optimal steering vector,the weight vector of the adaptive beamformer is calculated.The proposed algorithm can not only deal with all kinds of mismatches efficiently,but also solve the problem of the sharp degradation of the adaptive beamformer performance in the situation of limited snapshots,so that the robustness of the adaptive beamformer can be improved.Simulation results demonstrate the correctness and effectiveness of the proposed algorithm.

adaptive beamforming;array signal;limited snapshots;robustness

TN911.7

A

1001-2400（2015)06-0037-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2015.06.007

2014-06-23

時間:2015-03-13

中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（K5051202047)

朱玉堂（1988-),男,西安電子科技大學博士研究生,E-mail:yutangzhu_xd@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150313.1719.007.html