考慮離心力非線性影響的高壩底挑消能收縮水深解析算式研究

王賀瑤，黃朝煊(1．浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州310002;2．寧?？h水利局，浙江寧海315600)

由于現(xiàn)有消能計(jì)算公式［1］中收縮水深的計(jì)算未考慮急變流離心力的影響，對(duì)于高壩，其總水頭較大，其底坎收縮水深一般也較大，底坎圓弧離心力對(duì)收縮水深的壅高影響較明顯，因此必須考慮其影響。黃朝煊［2］對(duì)不同擴(kuò)散度下矩形斷面消力池躍后共軛水深、池深極值進(jìn)行了無(wú)量綱化數(shù)學(xué)推導(dǎo)，進(jìn)而得出了矩形斷面消力池池深極值的直接計(jì)算公式;梁曾相［3－4］、田忠等［5］對(duì)急變流對(duì)收縮水深的影響進(jìn)行了初步探討，程飛等［6－7］、褥勇伸［8］對(duì)底挑消能進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，田嘉寧等［9］、劉 璐等［10］通過(guò)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)消力池進(jìn)行了研究，但不能得出通用性規(guī)律。

該文利用Matlab軟件及CurveExpert擬合軟件，對(duì)底挑消能共軛水深計(jì)算進(jìn)行深入研究。

1 底挑消能收縮水深計(jì)算

根據(jù)能量原理，急變流處的能量方程:

式中:Q 為流量(m3/s);A0和 A、z0和 z、p0和 p、v0和 v、α0和α分別為斷面面積(m2);斷面高程(m);斷面水壓(m);斷面流速(m/s)以及斷面水流動(dòng)能修正系數(shù)(見(jiàn)圖1)。

根據(jù)離心力計(jì)算公式并積分推導(dǎo)可知，底挑凹曲面對(duì)流體的能量方程影響附加項(xiàng)可表示為:

因此，考慮底挑離心力影響的高壩底挑消能收縮水深方程為:

式中:T0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的泄水建筑物上游總水頭(m);h1收縮斷面水深(m);φ為流速系數(shù);g為重力加速度常數(shù);q為單寬流量(m2/s);R底挑圓弧半徑(m)。

由于Ko為收縮水深和底坎圓弧半徑的非線性函數(shù)，根據(jù)能量方程(3)很難直接計(jì)算斷面收縮水深，通常的計(jì)算方法是試算法、牛頓迭代法和高斯迭代法等，這些方法對(duì)工程師數(shù)學(xué)功底要求較高，不便于工程應(yīng)用推廣。

基于此，通過(guò)Matlab軟件數(shù)值，對(duì)Ko進(jìn)行多項(xiàng)式高精度數(shù)值擬合，進(jìn)而巧妙地將復(fù)雜非線性方程(3)轉(zhuǎn)換為一元三次方程，Ko的高精度數(shù)值擬合公式為:

通過(guò)數(shù)值分析可知，對(duì)于h1/R＜0．6時(shí)，公式(4)相關(guān)系數(shù)大于0．99，最大相對(duì)誤差小于1．5%。

根據(jù)一元三次方程卡當(dāng)公式解，求解方程(5)得:

根據(jù)公式(6)計(jì)算所得的收縮水深，對(duì)收縮斷面弗汝德進(jìn)行無(wú)量綱化處理得(見(jiàn)圖3):

通過(guò)對(duì)2．0＜T0/R ＜8．5，0＜KQ＜3(由大量數(shù)值統(tǒng)計(jì)分析得出［1］)內(nèi)分析底挑消能坎底收縮水深h1/R與T0/R、KQ之間的關(guān)系曲面(圖4)，其中上部曲面為考慮坎底圓弧離心力影響系數(shù)Ko后的無(wú)量綱收縮水深，下部曲面為不考慮坎底圓弧離心力影響系數(shù)(即Ko=0)時(shí)的無(wú)量綱收縮水深，可見(jiàn)，考慮圓弧坎底離心力作用下，會(huì)出現(xiàn)水流壅高，進(jìn)而比不考慮離心力時(shí)的收縮水深更大，特別是相對(duì)收縮水深h1/R值越大時(shí)，水深壅高現(xiàn)象越明顯，不可忽略。

算例:

某重力壩底挑圓弧半徑R=20 m，總水頭T0=65．4 m，單寬流量 q=74．08 m2/s，底挑 θ=30°，a2=a=a1=R(1 －cosθ)(圖 1)，試求收縮水深 h1。

解:若近似不考慮離心力影響系數(shù)K0影響，即假設(shè)K0=0，則等效于《水閘設(shè)計(jì)規(guī)范》消能計(jì)算公式中的收縮水深計(jì)算公式，根據(jù)文獻(xiàn)［2］可知，其收縮水深為，其中參數(shù)式中各參數(shù)同上文)，求解可知此時(shí)收縮水深為:h1=0．110 8×20=2．216 m。

由于底挑圓弧離心力影響系數(shù)K0是收縮水深的非線性函數(shù)，比較復(fù)雜，采用本文推導(dǎo)的計(jì)算方法求解，無(wú)量綱參數(shù)T0，根據(jù)本文公式(6)可知:

3 結(jié)語(yǔ)

鑒于當(dāng)前對(duì)高壩消能收縮水深計(jì)算中未考慮離心力對(duì)收縮水深的壅高影響，基于水力學(xué)理論和數(shù)值分析理論，對(duì)底挑消能進(jìn)行了深入研究。結(jié)果根據(jù)水力學(xué)理論和能量方程，給出了收縮水深的簡(jiǎn)潔算式;利用Matlab軟件編程，給出了其影響關(guān)系曲面圖。分析認(rèn)為考慮圓弧坎底離心力作用下，會(huì)出現(xiàn)水流壅高，進(jìn)而比不考慮離心力時(shí)的收縮水深更大，特別是相對(duì)收縮水h1/R值越大時(shí)，水深壅高現(xiàn)象越明顯，不可忽略。最后通過(guò)算例分析，認(rèn)為給出的解析算法可靠、方便快捷，比以往的盲目試算法效率更高。

［1］中華人民共和國(guó)水利部．水工設(shè)計(jì)手冊(cè):第七卷［M］．2版．北京:中國(guó)水利水電出版社，2014．

［2］黃朝煊，王賀瑤，王正中，等．消力池最不利條件下池深極值探討［J］．水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2015，34(1):79 －84．

［3］梁曾相．恒定急變流的能量方程及其應(yīng)用［J］．水利學(xué)報(bào)，1992(2):32－38．

［4］梁曾相．重力拱壩收縮式消能池中水躍的研究［J］．水利學(xué)報(bào)，1991(9):14－24．

［5］田忠，王韋，劉善均，等．曲面急變流水面線及床面壓力的計(jì)算［J］．四川大學(xué)學(xué)報(bào):工程科學(xué)版，2002，34(6):43 －46．

［6］程飛，楊朝暉，劉善均．底挑消能工共軛水深的優(yōu)化計(jì)算與試驗(yàn)研究［J］．水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2014，33(3):189 －193．

［7］程飛，白瑞迪，劉善均，等．?dāng)?shù)值模擬對(duì)比研究微挑消力池水力特性［J］．水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2012，31(2):71 －78．

［8］褥勇伸，廖華勝，李連俠，等．淺水墊消力池的數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)研究［J］．水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2010，29(2):36 －41．

［9］田嘉寧，安田陽(yáng)一，李建中．臺(tái)階式泄水建筑物的消能分析［J］．水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2009(2):96－100．

［10］劉璐，張建民，余飛，等．重力壩下游寬尾墩和消力池聯(lián)合消能工水力特性試驗(yàn)研究［J］．水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2012，31(2):49 －55．