帶電粒子在磁場中運動的臨界和極值問題

牛玉平

一、命題規律

帶電粒子在有界勻強磁場中的圓周運動往往會出現臨界和極值問題，有時還會出現多解問題，解決這類問題，對考生分析能力、判斷能力和綜合運用知識的能力要求較高，因此可能成為2016年高考命題點.

二、解題策略

分析帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的臨界問題時，通常以題目中的“恰好”、“最高”、“最長”、“至少”等為突破口，將不確定的物理量推向極端（如極大、極小；最上、最下；最左、最右等），結合幾何關系分析得出臨界條件，列出相應方程求解結果.

1.常見的三種幾何關系

（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切.

（2）當速度v一定時，弧長（或弦長）越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長.

（3）當速率v變化時，圓心角大的，運動時間長.

2.兩種動態圓的應用方法

（1）如圖1所示，一束帶負電的粒子以初速度v垂直進入勻強磁場，若初速度v方向相同，大小不同，所有粒子運動軌跡的圓心都在垂直于初速度方向的直線上，速度增大時，軌道半徑隨之增大，所有粒子的軌跡組成一組動態的內切圓，與右邊界相切的圓即為臨界軌跡.

（2）如圖2所示，一束帶負電的粒子以初速度v垂直進入勻強磁場，若初速度v大小相同，方向不同，則所有粒子運動的軌道半徑相同，但不同粒子的圓心位置不同，其共同規律是：所有粒子的圓心都在以入射點O為圓心，以軌道半徑為半徑的圓上，從而可以找出動態圓的圓心軌跡.利用動態圓可以畫出粒子打在邊界上的最高點和最低點.

三、易錯提醒

解決帶電粒子在磁場中運動的臨界和極值問題極易從以下幾點失分：（1）審題過程出現多層思維障礙，不能把粒子的運動和磁場的分布相結合分析問題；（2）對定圓心、求半徑、找轉角、畫軌跡、求時間的方法不熟練；（3）找不出臨界點，挖掘不出臨界條件；（4）數學功底薄弱，求不出臨界極值.

可從以下幾點進行防范：（1）正確判定洛倫茲力方向，確定軌跡的彎曲方向；（2）熟練掌握圓心、半徑、軌跡、轉角、時間的求解或確定方法；（3）靈活運用物理方程、幾何知識找出等量關系，求出臨界極值.）

例1（2015年齊齊哈爾市5月最后一模）如圖3所示，在直角坐標系的原點O處有一放射源，向四周均勻發射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子.在放射源右側有一很薄的擋板，垂直于x軸放置，擋板與xOy平面交線兩端M、N正好與原點O構成等邊三角形，O′為擋板與x軸的交點.在整個空間中，有垂直于xOy平面向外的勻強磁場（圖中未畫出），帶電粒子在磁場中沿順時針方向做勻速圓周運動，已知帶電粒子的質量為m，帶電荷量大小為q，速度大小為v，MN的長度為L.（不計帶電粒子的重力及粒子間的相互作用）

（1）確定帶電粒子的電性；

（2）要使帶電粒子不打在擋板上，求磁感應強度的最小值；

（3）要使MN的右側都有粒子打到，求磁感應強度的最大值.（計算過程中，要求畫出各臨界狀態的軌跡圖）

解析（1）帶電粒子沿順時針方向運動，由左手定則可得，粒子帶正電荷.

（2）設磁感應強度大小為B，帶電粒子運動的軌跡半徑為r，帶電粒子做圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，有qvB=mv2r，解得r=mvqB.

由于從O點射出的粒子的速度大小都相同，由上式可得，所有粒子的軌跡半徑都相等.

由幾何知識可知，為使粒子不打在擋板上，軌跡的半徑最大時，帶電粒子在O點沿y軸正方向射出，其軌跡剛好與MN相切，軌跡圓心為O1，如圖4甲所示.

則最大半徑rmax=12Lcos30°=34L，

由上式可得，磁感應強度的最小值Bmin=43mv3qL.

（3）為使MN的右側都有粒子打到，打在N點的粒子最小半徑的軌跡為圖4乙中的圓弧OMN.

圖中點O2為軌跡的圓心，由于內接△OMN為正三角形，

由幾何知識知，最小的軌跡半徑為rmin=L2cos30°.

粒子做勻速圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，有qvB=mv2r，所以磁感應強度的最大值Bmax=3mvqL

答案：（1）正 （2）43mv3qL （3） 3mvqL

例2（多選）（2015太原質檢）如圖5所示，有一垂直于紙面向外的有界勻強磁場，磁場的磁感應強度為B，其邊界為一邊長為L的正三角形（邊界上有磁場），A、B、C為三角形的三個頂點.今有一質量為m、電荷量為+q的粒子（不計重力），以速度v=3qBL4m從AB邊上的某點P既垂直于AB邊又垂直于磁場的方向射入磁場，然后從BC邊上某點Q射出.則（ ）.

A.PB≤2+34L B.PB≤1+34L

C.QB≤34L D.QB≤12L

解析選AD.由Bqv=

mv2R，可知R=34L，則從P點射入的粒子軌跡最長時與AC邊相切，此時PB=2+34L，而當粒子在其中經歷14圓弧，從BC邊上射出時，Q′B最大為12L，故A、D正確.

例3（2015屆衡水第二次月考）如圖6所示，兩平行金屬板AB中間有互相垂直的勻強電場和勻強磁場.A板帶正電荷，B板帶等量負電荷，電場強度為E；磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度為B1.平行金屬板右側有一擋板M，中間有小孔O′，OO′是平行于兩金屬板的中心線.擋板右側有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B2.CD為磁場B2邊界上的一絕緣板，它與M板的夾角θ=45°，O′C=a，現有大量質量均為m，含有各種不同電荷量、不同速度的帶電粒子（不計重力），自O點沿OO′方向進入電磁場區域，其中有些粒子沿直線OO′方向運動，并進入勻強磁場B2中，求：

（1）進入勻強磁場B2的帶電粒子的速度；

（2）能擊中絕緣板CD的粒子中，所帶電荷量的最大值；

（3）絕緣板CD上被帶電粒子擊中區域的長度.

解析（1）設沿直線OO′運動的帶電粒子進入勻強磁場B2的速度為v，根據qvB1=qE，解得：v=EB1.

（2）粒子進入勻強磁場B2中做勻速圓周運動，根據qvB2=mv2r，解得：q=mvB2r.

因此，電荷量最大的帶電粒子運動的軌道半徑最小.設最小半徑為r1，此帶電粒子運動軌跡與CD板相切.

則有：r1+2r1=a，解得：r1=（2-1）a.

電荷量最大值q=（2+1）mEB1B1a.

（3）帶負電的粒子在磁場B2中向上偏轉，某帶負電粒子軌跡與CD相切，設半徑為r2，依題意r2+a=2r2

解得：r2=（2+1）a

.則CD板上被帶電粒子擊中區域的長度為x=r2-r1=2a.

答案：（1）EB1 （2） （2+1）mEB1B1a （3）2a

（收稿日期：2015-05-16）