以選擇題為例略談立體幾何基本解題方法

紀宏偉

立體幾何是在初中學習平面幾何的基礎上，進一步研究空間圖形中點、線、面之間的關系，包括性質、計算及應用等等，是培養空間想象能力，邏輯推理能力以及數學思想的重要載體.立體幾何選擇題與數學其它選擇題一樣，具有思辨性強、知識面廣、切入點多等特點，但是又有其自身鮮明的特色和獨有的魅力.掌握好解答立體幾何選擇題的基本方法、技巧和策略，對于提高學生解決問題的能力，發展學生數學思維有著重要的現實意義.

1.基本面法

以基本面為研究平臺來解決空間圖形問題的方法，稱為基本面法.當把已知量和未知量集中轉移到某個平面（即基本面），或者把已知量和未知量比較集中的平面作為基本面，把其它量看成是這個基本面的相關量時，就使問題研究有了依托，使問題的解決有工具可尋，從而大大降低了論證的難度.

例1如圖1，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱BC、CC1的中點，P是側面

BCC1B1內一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是（ ）.

A.[1，52]B.[324，52]

C.[52，2]D.[2，3]

解析取B1C1的中點M，BB1的中點N，連結A1M、A1N、MN，容易證明平面A1MN∥平面AEF，所以點P位于線段MN上，因為A1M=A1N=52，所以當點P位于M、N處時，A1P最大，當P位于MN的中點O時，A1P最小，此時A1O=（52）2-（24）2=324，即324≤A1P≤52.故選B.

點評把空間問題轉化為平面問題來解決，是立體幾何中的重要思想方法.本題抓住平面A1MN為基本面，將題目中的條件進行恰當地轉移，使之相對集中在該面上，從而把空間問題轉化為平面問題，有效降低了解題的難度.

2.折展法

將空間圖形平展成平面圖形，或者將平面圖形翻折成空間圖形，在翻、展的過程中通過對圖形中各種元素的變化與不變量的研究，使得空間圖形的有關問題得以解決，稱為折展法.折展法體現了平面與空間的相互轉化，是訓練學生空間想象能力的極好素材.

例2如圖2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一動點，則CP+PA1的最小值為（ ）.

A.43 B.45

C.52 D.53

解析如圖3，將直角三角形A1C1P繞PC1旋轉（A1→D），使該三角形與側面BCC1B1共面，則 CP+PA1的最小值即為CD的長度.注意到，∠CC1B=45°，∠A1C1B=90°，故∠CC1D=135°，由余弦定理可得CD=52.選C.

點評本題也可以連接A1B，將△CBC1繞BC1旋轉（C→D），使該三角形與△A1BC1在同一個平面內，連接A1D，圖4，則A1D的長度就是所求的最小值，同理可得A1D=52.解決這種問題的關鍵是必須判斷在翻折前后哪些元素的位置關系或數量關系沒有發生變化，特別是要檢查在翻折過程中相關元素與折痕的位置關系以及相關元素在翻折前的位置與翻折后的位置情況.

3.構造法

明確幾何體的結構特征，聯想熟知的數學模型，通過恰當地構造空間圖形，架起一座連接條件和結論的橋梁，將原問題化歸為一個等價的較易解決的問題，這種方法就是構造法.構造法體現了轉化與變換的數學思想，也是整體化解題策略的體現.

例3已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為（ ）.

A.233 B.433 C.23 D.833

圖5解析由題意知AB與CD為異面直線且處于球心O兩側，分別以AB、CD為直徑作兩個互相平行的圓面，并構造如圖5所示的長方體，設長方體的底面邊長分別為a、b，體積為V，兩個圓面之間的高度易得23，則VA-BCD=13V=13ab·23=233ab，又由a2+b2=4≥2ab得ab≤2，則VA-BCD≤433，故選B.

點評本題巧妙地將AB、CD轉化到上、下兩個矩形的對角線上，從而構造長方體，體現數學圖形的構造與轉化.對于相似的構造，我們常將正四面體轉化到正方體中去求解，可以起到事半功倍的效果.

4.割補法

把一個復雜的圖形分割成幾個簡單圖形，或把不易求解的圖形分割成易于求解的若干圖形，對一個空間圖形進行補形，使之補形后成為一個熟知的、易求解的幾何體，以便于求解，稱為割補法.其中對幾何體進行補形，本質上也是一種構造法.

例4平行六面體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1垂直于三角形B1AC所在的平面，BD1=a，△B1AC的面積為S，則平行六面體的體積是（ ）.

A.12aSB.13aSC.49aSD.23aS

解析如圖6，只要連結A1C1、AC1，便不難得知平行六面體ABCD-A1B1C1D1被分割成6個與三棱錐B-ACB1等體積的三棱錐.設BD1與面B1AC交于K，則顯然B1、K與平行四邊形ABCD對角線的交點三點共線，且

BKKD1=12，即BK=a3.又因為BD1⊥平面B1AC，所以VB-ACB1=13S·13a=19aS，從而得平行六面體的體積V=23aS.選D.

點評“割”的指導思想是：化陌生為熟悉，化繁雜為簡單.本例將平行六面體切割成三棱錐進行相關計算，使體積的計算大為簡捷，解答的效率大為提高.

例5三棱錐P-ABC的底面ABC是直角三角形，斜邊AB=10，側面PAB和PAC都垂直于底面，它們所成的二面角是30°，側面PBC和底面成60°角，則三棱錐相對棱AC和PB間的距離為（ ）.

A.3102B.433C.563D.73

解析根據已知條件，可將三棱錐補成如圖7所示的長方體ACBD-PC′B′D′，則∠BAC=30°，∠PCA=60° .顯然，AC∥平面PC′BD，故AC與PB間的距離即為AC到平面PC′BD的距離，亦即C點到平面PC′BD的距離.注意到平面PC′BD⊥平面B′C，故過點C作CM⊥BC′，于是CM⊥平面PC′BD，所以所求距離又轉化為C到BC′的距離.在直角三角形ABC中，得BC=5，AC=53；在直角三角形PAC中，得PA=CC′=15.在直角三角形BCC′中，BC′=BC2+CC′2=510，則CM=BC·CC′BC′

=3102.選A.

點評分割和補形是對立的統一，其目的都是為了簡單化、直觀化.相對于熟知幾何體的某些缺失，本例將所求幾何體適當的補形，使其補形后成為一個易于計算和觀察的長方體，從而使思維的抽象性大大降低，推理和計算的難度大大減少.

5.等積法

在保持幾何體體積不變的前提下，通過變換幾何體的頂點和底面的位置達到解題目的的方法，稱為等積法.常用的等積變換有三棱錐等積變換和平行六面體等積變換.

例6如圖8，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E為CC1的中點，O為下底面正方形的中心，則三棱錐O-A1B1E的體積是（ ）.

A.12B.16

C.20D.24

解析作OM∥A1B1，交BC于M，則OM∥平面A1B1E，所以VO-A1B1E=VM-A1B1E=VA-MEB1=13×4×S△MEB1=13×4×（4×8-12×8×2-12×4×2-12×4×4）=16.

點評本例作出OM∥A1B1，可謂“明修棧道，暗渡陳倉”，把求VO-A1B1E的問題利用等積變換為求VA-MEB1，大大縮短了思考的過程.

6.函數方程法

通過設未知量，列方程或建立函數關系將立體幾何問題轉化為方程問題或函數問題來研究，稱為函數方程法.

例7一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱ABC-A1B1C1的三條側棱上，已知正三棱柱底面邊長為2，則該三角形斜邊長是（ ）.

A.3 B.22 C.23 D.32

解析如圖9，等腰直角三角形CDE的三個頂點在正三棱柱ABC-A1B1C1的三條側棱上（直角頂點為D），過D作DF⊥AA1，垂足為F，顯然，直角三角形EFD與直角三角形DBC全等.設BD=x，則AE=2x，在直角三角形DBC中，DC2=4+x2，在直角三角形EAC中，EC2=4x2+4，由EC2=2DC2，得4x2+4=2（4+x2），解得x=2，從

而EC=23.

故選C.

點評函數方程法解決立體幾何的最大特點是將形的問題轉化為數的問題來研究，其中，列出方程進行計算，多用于判斷幾何元素之間的位置關系和數量關系，而建立目標函數，多見于解決立體幾何中的最值問題.

7.特例法

運用滿足題設的某些特殊點、特殊位置、特殊圖形等對各選項進行檢驗或推理，利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，由此判明選擇真偽的方法，稱為特例法.

例8已知平面α∥平面β，直線mα，直線nβ，點A∈m，點B∈n，記點A、B之間的距離為a，點A到直線n的距離為b，直線m和n的距離為c，則（ ）.

A.b≤c≤aB.a≤c≤b

C.c≤a≤bD.c≤b≤a

解析在如圖10所示的單位正方體中，上、下底面分別記為α、β，直線m即AD1，直線n即BD，顯然

點A、B之間的距離為a=3，點A到直線n的距離為b=2，直線m和n的距離為c=1，則c

點評本題利用特殊位置加以分析求解，簡潔明了，特例法對巧解“秒殺”選擇題，往往能起到事半功倍的作用.

8.極限法

立體幾何選擇題中有一些任意選取或者變化的元素，對這些元素趨向于某個極限問題或變化到某個極端位置的狀況進行估算，并以此估算為基礎，判斷選擇的結果.這種通過動態變化，通過極端取值的方法稱為極限法.

例9設三棱錐的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，它們中的最大一個為S，記λ=S1+S2+S3+S4S，則λ一定滿足（ ）.

A.2<λ≤4B.3<λ≤4

C.2.5<λ≤3.5D.3.5≤λ<5.5

解析首先考慮一個特殊情形：當三棱錐是一個正四面體時，四個面的面積相等，則S1=S2=S3=S4，這時λ=S1+S2+S3+S4S=4.再考慮一個極限情形，設S1、S2、S3、S4中S4最大，即S4=S，若面積為S所對應的高h→0，這時有S1+S2+S3→S，此時λ=S1+S2+S3+S4S→S+SS=2，由以上可知，2<λ≤4.

故選A.

點評在立體幾何中對一些判斷范圍型題目，恰當運用極端位置或極限思想，能較迅速解決問題，功效十分奇特.

（收稿日期：2015-07-14）