淺談物理中的光學原理在高中數學中的應用

王世勇

在物理學中運用數學知識屢見不鮮，無論是從最基礎的數學的運算的應用，還是到物理競賽中使用數學的微積分.數學知識始終貫穿著物理學，是整個物理學的重要工具.但在高中數學中也有幾個知識點運用到了物理知識講解更為清晰、明了.例如鏡面反射在高中數學中就有著其獨特的應用.利用鏡面反射的對稱性可以求最值問題以及巧解部分問題.

案例一條光線從點A（-2，3）射出，經x軸反射后，反射光線經過點B（3，2），則反射光線所在的直線方程為 .

分析如圖1所示，光線是從點A（-2，3）發出，利用鏡面反射可看成光是由點A（-2，3）關于x軸的對稱點A′（-2，-3）（A的像）發出的，要求反射光線只要求A′B的直線方程即可.

解析依題意知，A′（-2，-3）在反射光線上，反射光線經過點B（3，2），

∴反射光線l的斜率k=2-（-3）3-（-2）=1.又l經過點B（3，2），

由點斜式得反射光線l的方程為：y-2=x-3，

整理得：y=x-1.故答案為：y=x-1.

變式1已知點A（-2，3）、B（3，2）在x軸上找一點M，使得MA+MB的值最小.

解析本題同樣可以利用鏡面反射， 找點A（-2，3）關于x軸的對稱點A′（-2，-3）（A的像），則MA=MA′，所以MA+MB=MA′+MB，要求MA+MB的最小值，即求MA′+MB的最小值，顯然當A′、M、B三點共線時，取最小值.M點即為直線A′ B與x軸的交點.由上題可知直線A′ B為：y=x-1.令y=0，則x=1，故M（1，0）.

此題也可以以下列形式出現：求函數f（x）=（x+2）2+9+（x-3）2+4的值域.

先利用幾何法將其看成x軸上找一動點到兩定點A（-2，3）、B（3，2）的距離之和，再用上式求解.

應用1一條光線從點A（-2，3）射出，經x軸反射后與圓C（x-3）2+（y-2）2=1相切，求反射光線的方程.

分析由鏡面反射可知光線可看成由點A（-2，3）關于x軸的對稱點A′（-2，-3）（A的像）發出的，要求反射光線只要過A′點作圓C的切線即可.

解析點A（-2，3）關于x軸的對稱點為A′（-2，-3），設過點A′（-2，-3）與圓相切的直線的斜率為k（當直線斜率不存在時，

此時圓心C（3，2）到直線x=-2的距離d=5>1，不能相切）.因此方程可設為y+3=k（x+2）

，則d=|3k-2+2k-3|k2+12=1解得k2+1=25k2-50k+25，

即12k2-25k+12=0，（3k-4）（4k-3）=0，

則k=43或k=34，故所求直線為4x-3y-1=0或3x-4y-6=0.

此題用鏡面反射的對稱性使問題大大減少了運算量.

應用2如圖2所示，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），點P為其上一點，F1、F2為橢圓的焦點，∠F1PF2的外角平分線為l，點F2關于l的對稱點為Q，F2Q交l于點R.當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程.

分析由題意可知點R為QF2的中點，|OR|=12|QF1|，而|QF1|=

|F1P|+|PQ|，

再利用光學原理，點Q關于∠F1PF2的外角平分線l的對稱點為F2，

所以|PQ|=|PF2|，此時再次利用橢圓的定義|QF1|=|F1P|+|PF2|=2a.

解析∵點F2關于l的對稱點為Q，連接PQ，

∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|

又因為l為∠F1PF2外角的平分線，故點F1、P、Q在同一直線上，

設存在R（x0，y0），Q（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0）.

|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a，

則（x1+c）2+y21=（2a）2.又x1=2x0-c，y1=2y0.

∴（2x0）2+（2y0）2=（2a）2，∴x20+y20=a2.

故R的軌跡方程為：x2+y2=a2（y≠0）

在高中數學中還有很多的物理知識的應用，比如電路的串聯與并聯與邏輯的或命題與且命題的真假關系等，值得我們去發現與研究.

（收稿日期：2015-07-12）