磁場全張量測量計算方法與誤差分析

劉超波，王 斌，陳金剛，代佳龍，孟立飛，肖 琦

（北京衛星環境工程研究所，北京 100094）

0 引言

物體內部磁源產生的磁場會在外部磁場空間中引起磁異常，利用磁異常求取產生磁異常的磁源體幾何和磁性參數的過程簡稱為磁異常的反演解釋[1]。磁異常的表征參數主要有磁場標量、矢量和張量。與磁場標量和矢量相比，磁場全張量元素受環境磁場的影響小，能夠很好地描述磁源的磁化方向和幾何形態，提高對磁源的分辨率[2]。通過磁場全張量數據能獲得更多的反映場源特點與細節的信息，這對解釋磁異常十分重要，因此磁場全張量探測技術日益得到重視[3-4]。

目前，對磁場全張量的研究與應用主要集中在 航空磁測、海洋磁測等領域，利用組合式梯度計進行大面積探測，基線距離（相鄰矢量磁場測量點間隔）較遠。磁場全張量的另一個應用方向是用于物體內部多磁源的反演[5]，磁場探測面積較小，基線距離一般為毫米級。基線距離不同，磁場全張量探測方式和誤差也會有所不同，需要深入研究。同時，隨著航天器長壽命、高可靠要求的提高，空間磁環境效應研究的重要性日顯突出[6]。為了能夠更加有效地探測航天器內部的磁性分布，有必要研究物體內部多磁源反演技術，因此對小面積磁場全張量測量方法的研究十分關鍵。

本文針對多磁源反演所需的小面積磁場全張量探測問題，從磁場探測器布局方式出發，提出一種有效的磁場探測方式，比較兩種最優的全張量計算數據結構，并分析基線距離對磁場全張量計算的影響。

1 磁場全張量

若空間某處磁感應強度B= (Bx,By,Bz)，則該點處的磁場全張量為

根據Maxwell 方程，在無源的空間，磁場散度和旋度為0，G為對稱矩陣，其跡為0，也即gxx+gyy+gzz= 0，gxy=gyx，gxz=gzx，由此可知，磁場全張量G的9 個元素中只有5 個是相互獨立的[7]。

2 掃描式磁場測量方法

物體周圍空間中大量點處的矢量磁場和磁場全張量數據是多磁源反演所需的基本磁性數據[5]。磁場全張量是根據矢量磁場分布，按照某種數據結構進行計算得到的。

快速獲得空間大量點處磁場數據的方式有很多種，最簡單的方式是使用一個磁場探測器逐點測量，因而需要較長的測量時間，并且數據不是并行采集，容易受到環境干擾。還有一種方式是采用大量磁場探測器同時測量所有測量點，此方式雖用時較短，但是由于探測器本身的尺寸原因，磁場梯度的基線距離較大，導致梯度值測量誤差較大。

基于以上考慮，本文選用了多探測器步進式連續掃描、并行采集的磁場探測方式，簡稱掃描式探測方式，其原理如圖1所示。利用m×n個三軸矢量磁場探測器組成磁場探測器陣列，為了減小時域環境磁場干擾，采取并行方式采集；為了減小振動對磁場探測器的影響，所有磁場探測器位置均固定不變，通過移動被測物體的方式實現空間磁場的采集。

磁場探測器陣列中的m值和n值，也即探測器個數和布局，可以根據被測物體包絡尺寸、測量周期、梯度基線距離等不同要求進行調整。掃描式磁場探測方式的優點有2 個：一是可以通過調整被測物體的移動距離實現磁場梯度基線的任意調整；二是部分磁場數據是并行采集，縮短了數據采集時間，減小了空間磁場干擾的影響。

圖1 掃描式磁場探測示意圖Fig.1 Schematic diagram of scan mode for magnetic field detection

3 磁場全張量計算結構分析

3.1 六面體結構與十字形結構

磁場全張量的標準數據計算結構為六面體結構，如圖2所示，其中P1～P7 為磁場測量點，d為基線距離。

圖2 六面體結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of hexahedron structure

對于六面體結構，磁場全張量的計算公式為

在許多關于磁場梯度全張量計算的實際應用中，考慮到探測和計算的方便，經常利用磁場全張量只有5 個獨立元素這個性質簡化磁場梯度張量的數據計算結構。簡化的數據結構有很多種，比較典形的有正三角形結構、正四面體結構、十字形結構、直角四面體結構以及正方形結構，其中效果最優的是十字形結構[8]（如圖3所示），其中P1～P5為5 個磁場測量點，d為基線距離。

圖3 十字形結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of crisscross structure

對于十字形結構，可根據式(2)、式(3)、式(6)、式(8)和式(9)計算出gxx、gxy、gyy、gzx和gzy，然后根據磁場全張量的性質推導出gyx、gxz、gzz和gyz。

由于掃描式磁場測量能夠得到非常密集的矩陣式磁場分布值，所以十字形結構和六面體結構皆可用于磁場全張量的計算。但是，對于任何一種數據結構，在計算磁場全張量時都以差分近似代替了微分近似，而這種近似會在張量值的計算上帶來誤差。下面將對六面體結構和十字形結構的計算誤差進行分析，并與磁場全張量理論值進行比較。

3.2 兩種結構的誤差分析

3.2.1 隨機磁源在固定點的誤差

假設包絡尺寸為0.3 m×0.3 m×0.3 m 的正方體內部有3 個磁源，利用MATLAB 隨機生成每個磁源的磁矩和位置并計算出每個點處的磁場全張量理論值；然后計算出空間固定點(0.48 m, 0.48 m, 0.48 m)處利用六面體結構和十字形結構計算得到的磁場全張量值，基線距離d設為3 mm；最后利用式(11)計算磁場全張量計算值與理論值間的誤差δ。對15 組不同的磁源進行了計算，其誤差結果見圖4。

式中：i和j分別輪流代表x、y、z；gc-ij、gt-ij分別為磁場全張量9 個元素的計算值和理論值。

圖4 隨機磁源在固定點處的磁場全張量計算誤差Fig.4 The computation error of the magnetic full tensor of a random magnetic source at a fixed point

由圖4可以看出，對于15 組隨機產生的磁源，使用六面體結構和十字形結構計算的磁場全張量的誤差基本相等，且最大誤差均小于10%。

3.2.2 固定磁源在不同點的誤差

假設上述正方體中的3 個磁源的磁矩和位置固定，磁矩分別為(0.5, 0.4, 0.3)、(0.9, 0.7, 0.4)和(0.2, 0.1, 0.5)，單位為A·m2；位置分別為(0.2, 0.1, 0.15)、(0.1, 0.22, 0.11)和(0.15, 0.05, 0.15)，單位為m；基線距離d= 3 mm。利用六面體結構和十字形結構分別計算其周圍空間中隨機產生的15 個點處的磁場全張量值，并與理論值進行比較，結果如 圖5所示。

圖5 固定磁源在隨機點處的磁場全張量計算誤差Fig.5 The computation error of the magnetic full tensor of a fixed magnetic source at a random point

從圖5可以看出，對于一組固定的磁源，在15 個隨機產生的點處，使用六面體結構計算磁場全張量的誤差與利用十字形結構計算磁場全張量的誤差非常相近，并且最大誤差均小于7%。

4 基線距離對磁場全張量的計算的影響

使用與3.2.1 節相同的方法，利用MATLAB 隨機產生3 個磁源，設定不同的基線距離值，利用十字形結構計算在兩個固定點(0.48, 0.48, 0.48)和(0.36, 0.36, 0.36)處的磁場全張量值，并與理論值進行比較，結果見圖6。

圖6 不同基線距離的全張量計算誤差Fig.6 The computation error of the magnetic full tensor for different baseline lengths

從圖6可以看出，計算誤差隨著d的增加顯著變大，在d小于3 mm 時，其誤差值小于5%；在d為4.5 mm 時，誤差已經達到了10%左右。由此可見，在計算磁場全張量時，基線距離d是一個非常重要的參數。

5 結束語

在本文中，針對小型物體內部多磁源反演需求，提出了矩陣式連續掃描的空間磁場分布探測方式。對兩種最優的磁場全張量計算結構（六面體結構和十字形結構）進行誤差分析和比較，結果表明，與理論值相比，兩種計算結構的誤差相近，且均不大于10%；通過設定不同基線距離，分析了基線距離對磁場全張量計算的影響，結果表明，基線距離對磁場全張量計算具有較大的影響，其誤差隨著基線距離的增加而增加。考慮到計算的方便性，在通過掃描磁場數據計算磁場全張量時，優先選取十字形數據結構進行計算。

另外，通過本文可以看出，同一數據結構在不同點處或針對不同磁源，磁場全張量的計算誤差相差較大，同時兩種數據結構的計算誤差也不盡相同。因此，下一步有必要對這些因素進行深入研究，找出其特點和規律，指導以后的實際工程應用，不斷提高磁場全張量探測精度。

（References）

[1]管志寧.地磁場與磁力勘探[M].北京∶地質出版社, 2005∶257-262

[2]Pedersen L B, Rasmussen T M.The gradient tensor of potential field anornalies∶some implications on data collection and data processing of maps[J].Geophysics, 1990, 55(12)∶1558-1566

[3]Schmidt P W, Clark D A.The magnetic gradient tensor∶its properties and uses in source characterization[J].The Leading Edge, 2006, 25(1)∶75-78

[4]Foss C.Improvements in source resolution that can be expected from inversion of magnetic field tensor data[J].The Leading Edge, 2006, 25(1)∶81-84

[5]陳俊杰, 易忠, 孟立飛, 等.基于歐拉方法的多磁偶極子分辨技術[J].航天器環境工程, 2013, 30(4)∶401-406 Chen Junjie, Yi Zhong, Meng Lifei, et al.Multi-dipole discrimination technology based on Euler inverse method[J].Spacecraft Environment Engineering, 2013, 30(4)∶401-406

[6]齊燕文.空間磁環境模擬技術[J].航天器環境工程.2005, 22(1)∶19-21 Qi Yanwen.Space magnetic environment simulation technology[J].Spacecraft Environment Engineering, 2005, 22(1)∶19-21

[7]張朝陽, 肖昌漢, 閻輝.磁性目標的單點磁梯度張量定位方法[J].探測與控制學報, 2009, 31(4)∶44-48 Zhang Chaoyang, Xiao Changhan, Yan Hui.Localization of a magnetic object based on magnetic gradient tensor at a single point[J].Journal of Detection &Control, 2009, 31(4)∶44-48

[8]謝啟源.弱磁物體矢量探測系統研究[D].南京∶南京航空航天大學, 2012∶22-30