運動模糊圖像點擴散函數的參數辨識

劉紅亮，陳維義，傅茂聰，熊宏錦

(1．海軍工程大學 兵器工程系，湖北 武漢430033;2．海軍裝備部駐重慶地區軍事代表局，重慶400042)

0 引 言

光電成像設備在艦船、車輛、飛機、導彈等航行體的偵查觀測、目標識別、導航制導等過程中發揮著重要作用。但成像過程中，攝像設備與成像對象之間存在相對運動會造成圖像退化，產生運動模糊［1］。運動模糊圖像復原技術及其應用是當今圖像處理領域的一個研究熱點，而準確辨識點擴展函數(PSF)是進行運動模糊圖像復原的關鍵。點擴散函數主要包含運動模糊角度和運動模糊長度2 個參數，針對點擴散函數的參數辨識問題人們進行了大量的研究和探索［2－3］。文獻［4］提出基于方向微分的運動模糊方向鑒別方法，但這種方法不僅需要進行插值、微分等運算，計算量大，還會受到圖像本身的統計特性影響很大。文獻［5］通過計算運動模糊退圖像自相關函數的最大值和最小值來估計運動模糊長度，但這種方法沒有充分利用運動模糊圖像的頻域特性，直觀性不強，而且計算量也比較大，實時性不強。

本文在對運動模糊圖像的退化模型及點擴展函數進行分析的基礎上，采用基于Radon 變換的方法確定運動模糊角度，并采用對運動模糊圖像頻譜圖投影求和的方法確定其運動模糊長度，然后結合快艇圖像的仿真實驗分析點擴展函數參數辨識的結果。實驗表明，本文方法形象直觀，計算量小，能夠滿足點擴展函數參數辨識精度的要求。

1 運動模糊圖像退化模型

在線性平移空間不變運動模糊系統中，運動模糊圖像g(x，y)可表示為原始圖像f(x，y)和點擴散函數h(x，y)的二維卷積［1］:

其中n(x，y)為加性噪聲。為便于計算，通常不考慮噪聲對運動模糊圖像的影響，即

對上式兩邊進行傅里葉變換，有

從物理現象上看，運動模糊圖像實際上是同一景物圖像經過一系列的距離延遲和疊加后最終形成的圖像。快艇圖像(512 ×512 像素)及其運動模糊圖像見圖1。設在攝像設備的積分時間T 內，成像對象在水平方向和垂直方向的運動距離分別為ax和ay，則運動模糊圖像可表示為［6］

圖1 快艇圖像及其運動模糊圖像Fig.1 Speed boat image and motion blurred image

對式(4)進行傅里葉變換得

又因G(u，v)=F(u，v)H(u，v)，則點擴散函數為

設數字圖像尺寸為M × N，上式的離散形式為

2 點擴散函數的參數辨識

根據運動模糊圖像的成像原理，可建立點擴展函數模型。設運動模糊長度為L，運動模糊角度為θ，則點擴散函數h(x，y)的一般形式如下所示［2］:

因此，水平方向勻速運動的點擴展函數為

可見，點擴散函數的參數辨識就是確定其運動模糊角度θ 和運動模糊長度L 的過程。

2.1 運動模糊角度θ 的確定

運動模糊角度的確定是點擴散函數的參數辨識過程中最重要的步驟之一。由式(7)可得

可 見， 當 uax/M + vay/N 等 于 0 時，取得最大值1，此時，G(u，v)顯示為亮條紋;當 uax/M + vay/N 等于非零整數時，取得最小值0，此時，G(u，v)顯示為暗條紋;由于內包含正弦周期函數，即使uax/M + vay/N 無法恰好等于整數，運動模糊圖像的頻譜圖G(u，v)也依然會呈現規則的明暗相間條紋狀。運動模糊長度L 為10 像素，運動模糊角度θ 分別為30°和60°的頻譜圖G(u，v)，如圖2 所示。

顯然，直線uax/M + vay/N = k(k 為整數)的斜率就是運動模糊圖像頻譜圖暗條紋傾斜角ψ 的正切值，其與運動模糊角度θ 的關系可表示為

圖2 不同模糊角度的運動模糊圖像頻譜圖Fig.2 Spectrogram of motion blurred image with different motion blurred direction

因此，只要通過運動模糊圖像的頻譜圖求出其暗條紋傾斜角ψ，即可檢測出運動模糊角度θ。Radon變換可以用來檢測圖像中直線的角度，圖像f(x，y)的Radon 變換代表其在角度為ψ，與原點距離為ρ 的直線上的投影［7］:

其中δ()為脈沖函數。

運動模糊圖像的頻譜圖沿暗條紋傾斜角ψ 方向的線積分會取得最大值。因此對運動模糊圖像的頻譜圖在0° ～179°范圍內依次進行Radon 變換，變換結果最大值對應的角度即為與暗條紋傾斜角ψ垂直的角度，從而可以求出暗條紋斜角ψ 和運動模糊角度θ。顯然，在圖像尺寸M = N 的情況下，Radon 變換極大值曲線中最大值對應的角度即為運動模糊角度θ。圖3 是快艇圖像在運動模糊長度L為10 像素，運動模糊角度θ 為30°時的運動模糊圖像頻譜圖的Radon 變換結果。在依次求得0° ～179°對應的Radon 變換極大值后，即可確定運動模糊圖像頻譜圖在不同角度下Radon 變換的極大值曲線(見圖4)。頻譜圖Radon 變換極大值曲線在32°時取得最大值，因此可采用基于Radon 變換的方法確定運動模糊角度。

2.2 運動模糊長度L 的確定

由運動模糊圖像準確地估計出運動模糊角度之后，可以通過圖像旋轉，將運動模糊角度旋轉

圖3 頻譜圖的Radon 變換Fig.3 Radon transform of spectrogram

圖4 頻譜圖Radon 變換極大值曲線Fig.4 Maximum curve of Radon transform

到水平軸方向，即將點擴散函數的運動模糊角度θ旋轉為0，從而將對應的運動模糊點擴散函數轉變為一維的(如式(9)所示)，降低了運動模糊長度的求解難度。由于f(x，y)和F(u，v)的尺寸均為M ×N，式(9)必須擴充為如下形式

該矩陣的尺寸為M × N，第一行有L 個1/L，其他位置補0，對其進行離散傅里葉變換得

可見，當u 等于0 時，H(u，v)= 1;當u 不等于0 時，當uL/M 為整數n 即u1= nM/L 時，H(u，v)=0，此時，運動模糊圖像的頻譜圖G(u，v)會呈現暗條紋;當uL/M 為整數n + 1即u2= (n +1)M/L 時，H(u，v)= 0，此時，運動模糊圖像的頻譜圖G(u，v)仍會呈現暗條紋。因此，只要計算出運動模糊圖像的頻譜圖G(u，v)的任意2條相鄰暗條紋的間距u2－ u1，即可確定運動模糊長度L = M/(u2－ u1)。這說明，在頻譜圖尺寸不變的情況下，頻譜圖中任意2 條相鄰暗條紋的間距與運動模糊長度成反比。

圖5 是快艇圖像在運動模糊角度θ 為0，運動模糊長度分別為10 像素和20 像素時的運動模糊圖像的頻譜圖，通過移位使u = 0，v = 0 位于頻譜圖的中心位置，因此頻譜圖的中心為亮條紋，該亮條紋的寬度為任意2 條相鄰暗條紋的間距的2 倍。

圖5 不同模糊長度的運動模糊圖像頻譜圖Fig.5 Spectrogram of motion blurred image with different motion blurred length

由上文分析可知，獲得頻譜圖中心亮條紋的寬度是確定運動模糊長度L 的關鍵。為了減小隨機性誤差，利用頻譜圖整列的統計信息，對圖5(a)沿列方向投影求和(見圖6)。顯然求和曲線的最大值對應著頻譜圖中心亮條紋，與最大值距離最近的2 個極小值分居其左右兩側，分別對應著頻譜圖中的2條暗條紋。因此只要求出這2 個極小值的橫坐標，即可確定頻譜圖中心亮條紋的寬度，進而確定運動模糊長度L。

圖6 頻譜圖沿列方向投影求和曲線Fig.6 Projective summation curve of the spectrogram

由于運動模糊長度與頻譜圖中心亮條紋的寬度成反比，當中心亮條紋的寬度為頻譜圖的行數M時，頻譜圖中任意2 條相鄰暗條紋的間距就是M/2，此時，可以確定運動模糊長度為2 像素。因此，本文這種通過對運動模糊圖像頻譜圖投影求和來確定運動模糊長度的算法只適用于運動模糊長度大于2像素的情況。

3 仿真實驗及分析

為了驗證本文所提點擴散函數的參數 (運動模糊角度和運動模糊長度)辨識算法的有效性，我們采用標準快艇圖像進行測試。首先進行運動模糊角度θ 的求解測試。將快艇圖像的運動模糊長度L 固定為10 像素，將其運動模糊角度θ 依次設為0°，10°，20°，…，170°，用本文方法依次求出其運動模糊角度計算誤差，測設結果見圖7。可見，在運動模糊長度為10 像素的情況下，基于Radon 變換的方法可以較為準確地確定出運動模糊圖像的運動模糊角度，其計算誤差絕對值不大于3°。在其他運動模糊長度情況下，該運動模糊角度求解算法具有類似的測設結果。

圖7 運動模糊角度計算誤差Fig.7 Error of motion blurred direction

表1 運動模糊長度計算結果/ (像素)Tab.1 Error of motion blurred length/ (pixel)

在進行運動模糊長度L 的求解測試時，將快艇圖像的運動模糊角度θ 固定為10°，本文方法在不同運動模糊長度下的計算結果見表1。由表1 可知，當運動模糊長度大于2 像素時，實驗結果與真實值的絕對誤差不超過0.3 像素，因此，本文算法能夠有效確定運動模糊長度。在其他運動模糊角度情況下，該運動模糊長度求解算法具有類似的測設結果。

當運動模糊角度為10°，運動模糊長度為2 像素時，對頻譜圖沿列方向投影求和(見圖8)。對比圖6 (其運動模糊角度為0°，模糊長度為10 像素)可知，當運動模糊長度為2 像素時，頻譜圖沿列方向投影求和曲線不存在2 個極小值，因此無法得到頻譜圖中心亮條紋的寬度和運動模糊長度L。實驗結果與第2.2 節的理論分析一致。

圖8 投影求和曲線(L =2 像素)Fig.8 Projective summation curve (L =2 pixels)

4 結 語

運動模糊圖像復原的基礎是點擴散函數的參數辨識。本文在運動模糊圖像退化模型的基礎上，分別提出了點擴散函數的運動模糊角度和運動模糊長度的辨識算法，并以快艇圖像為試驗對象，對辨識算法進行了仿真驗證。仿真實驗表明，基于Radon變換的方法可以較為準確地確定出點擴散函數的運動模糊角度，其計算絕對誤差不大于3°;在運動模糊角度已知的前提下，采用對頻譜圖投影求和的方法能夠有效確定點擴散函數的運動模糊長度，其計算絕對誤差不超過0.2 像素。相較于其他點擴散函數的參數辨識算法，本文算法簡單直觀，計算量小，實時性強，能夠滿足運動模糊圖像復原系統的技術要求。不足之處是，本文算法在求解運動模糊長度時，只適用于運動模糊長度大于2 像素的情況，且運動模糊長度的精度受到運動模糊角度的精度的影響，這正是下一步研究工作的重點。

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