開放實踐資源，建構空間觀念

◆江蘇省淮安清浦教研室 蒯 成 單廣紅

開放實踐資源，建構空間觀念

◆江蘇省淮安清浦教研室 蒯 成 單廣紅

教學“綜合與實踐”這一領域內容時，我們要充分挖掘實踐資源，調動學生積累的各方面經驗。特別是在圖形問題教學中，要“開放”實踐資源，運用多種途徑幫助學生建構空間觀念，培養其開放性思維。

綜合與實踐；生活經驗；思維經驗；推理經驗；分析經驗

“綜合與實踐”是小學數學四大領域之一的內容。這一版塊的內容具有3個特點：開放性、綜合性、實踐性。這就要求教者認真研究教材意圖，精心指導學生參與實踐，對開放的實踐素材進行整合，最大限度地引導學生運用所學知識，“綜合”思考，解決實際問題。下面以小學數學六年級綜合與實踐課“表面積的變化”為例，闡述如何開發使用綜合實踐資源，幫助學生建構空間觀念。

一、關注學生的生活經驗，收集貼近學生實際的生活原型

在幫助學生建構空間觀念時，先要了解活動目的，做到有的放矢。如“表面積的變化”這一課，需要達到3個層次的目標：目標一是借助學具操作，探索并發現多個相同正方體、長方體拼搭后表面積的變化規律，并能應用發現的規律解決一些簡單的實際問題，體驗解決問題的基本過程、方法與策略的多樣化，發展優化思想；目標二是在操作、觀察、分析、討論等活動中，進一步積累空間與圖形的學習經驗，增強空間觀念和數學應用意識，發展數學思考；目標三是使學生進一步體會圖形學習與實際生活的聯系，感受圖形學習的價值，提高數學學習的興趣和學好數學的自信心及合作能力。鑒于這些目標，筆者設計了3項課前準備的作業：準備一是到超市或家中找一找，哪些物品是幾個相同的長方體或正方體包裝在一起的？舉3個例子說一說（可以畫一畫，或拍下照片，如果實物方便帶到班級與伙伴展示分享更好）；準備二是用8個1立方厘米的正方體，你能擺出哪幾種長方體？計算它們的表面積，你有什么發現嗎？有條理地記錄下3條重要的發現；準備三是對生活中一些包裝的問題，你有什么好的建議，寫下3條。還有什么困惑需要同伴或老師幫助的，提出3條。

撲克牌是淮安地方的娛樂文化特色，學生耳熟能詳，所以筆者安排了這樣的課前談話：

師：老師去商店買2副撲克牌時，發現有這樣3種包裝：

師：結合最近學習的長方體知識，你想說些什么？

生：雖然包裝不同，但它們的體積都是一樣的，表面積不一樣。

師：那么表面積到底有著怎樣的變化呢？今天這節課我們就來一起研究表面積變化的相關問題。

（從生活中的現象切入，自然地引出學習的課題。）

二、關注學生的思維經驗，概括符合幾何現象的隱性規律

學生學習“空間與圖形”，并不是一味地識記圖形的形狀、名稱、性質或計算公式，而是在必要的操作活動中去感知、發現，建構正確的空間形式和關系。學生能否準確地概括所發現的特征或規律，是檢驗其空間觀念的重要指標。所以，我們要從簡單處著手，激活學生的思維經驗，再循序漸進地進行探究。如“表面積的變化”安排的第一個活動是“拼拼想想”，探究2個小正方體拼成長方體后的表面積變化情況：

師：我們先從正方體開始研究。這是兩個棱長是1厘米的正方體，你能用它們拼成一個長方體嗎？（學生操作，指名匯報）

課件呈現3種情況：

師：觀察拼好的3個長方體，體積和原來兩個小正方體相比，有沒有變化？

生：體積的大小沒變。

師：比較拼成的長方體的表面積與原來兩個小正方體表面積的和，你有什么發現？

生：表面積減少了2個面的面積。

師（追問）：為什么表面積減少了呢？每拼接一次，減少了幾個面的面積？

(課件顯示拼接處)

師：能根據剛才的思考完成這個表格嗎？

正方體的個數拼接幾次減少幾個面

教師把教材中的原表格進行了調整，去掉了“原來正方體一共有幾個面”，增加了 “拼接次數”。這樣做更有利于學生在操作中觀察并體驗兩個相同的正方體拼接前后形狀的變化，發現體積沒變，而表面積減少了兩個面。自動引發下一個問題探究的方向：多個相同正方體拼成一排時，拼成的長方體表面積減少會有什么樣的規律呢？出示第二個活動 “火眼金睛”。

師：2個小正方體拼成長方體，有一個拼接處，表面積比原來減少了2個面的面積。如果用3個、4個、5個甚至更多相同正方體像這樣排成一排拼成一個長方體，又隱藏著怎樣的規律呢？想不想自己動手試試？課件出示：

操作：用手中的小正方體去拼一拼、擺一擺、算一算。填好表格后，在小組里說一說，表面積的變化有什么規律呢？

課件出示表格（學生邊匯報，老師邊在白板上隨機完成表格）

正方體的個數拼接幾次減少幾個面2 1 2 3 2 4 4 3 6 5 n 4 n-1 8 2（n-1）

師：觀察表格，你發現了什么規律？

從操作到填寫表格、發現規律，將數學教學活動建立在具體的操作經驗基礎上，通過拼一拼、擺一擺、算一算，逐步總結出規律，既培養了學生的數感和空間觀念，又發展了學生的操作能力，同時也提升了小組合作交流、總結歸納學習經驗的能力。

第三個活動則是安排2個相同的長方體拼成大長方體表面積變化情況。

師：剛才我們研究了幾個正方體拼成一排時表面積的變化，那相同的長方體在拼擺過程中是不是也隱藏著一些規律呢？

師：我把這2個相同的長方體撲克牌盒，做成了這樣兩個長方體：

師：你能用這2個長方體拼成不同的大長方體嗎？同桌2人互相說說可以怎樣拼？ (指名匯報拼法)課件出示：

師：用2個長方體拼成3個不同的大長方體，你有什么發現？

生：體積沒有變化，表面積有變化。

師：你能看出哪個大長方體的表面積最大，哪個最?。?/p>

生：不管怎樣拼，每次都會減少2個長方形面的面積；如果拼接的面最小，它的表面積就最大；如果拼接的面最大，它的表面積就最小。

基于正方體的拼接經驗，學生不難發現長方體拼接與之相似之處，每拼接一次，就減少2個面，但拼的方法不同，得到3種不同的大長方體，拼接面越大，表面積越小。這個環節為后面的多個正方體拼成不同的長方體，以及多個長方體設計包裝方案奠定了基礎。

三、關注學生的推理經驗，類比應用生活實踐的內在聯系

學生有了相同的2個長方體拼成一個大長方體何時表面積最小的經驗，就可以將“化零為整”的方法，運用到多個小正方體拼成各種不同的長方體，何種拼法表面積最小的活動中去。同時引導學生進行合情推理，進一步發展學生的空間觀念。例如，有8個體積是1立方厘米的正方體可以拼成幾種不同的長方體呢？哪種拼法表面積最小呢？啟發學生把8個小正方體先排成一排，分成2組（如圖1）；再把它們最大面拼接起來（如圖2）；然后再把圖2左右每4個分一組，分成2個長方體，把最大的面再拼接成圖3。無需計算，就可推理出圖2的表面積比圖1小，圖3的表面積比圖2小。并引導學生發現一個規律：拼成的長方體越接近正方體，表面積越小。再把課前準備活動中的計算結果取出來驗證，既節省了課堂的時間，又讓學生對結果心悅口服。

運用規律解決生活中的實際問題是學習的宗旨。所以，最后一個環節安排了“小小設計師”活動，請學生把帶來的小包裝商品，或自制的長方體，以小組為單位，設計最節省包裝紙的包裝方法，并說出設計的理由。因為現在的生活中人們基本用打火機等點火，學生對“火柴”并不熟悉，所以筆者把此環節設計成讓學生帶來熟悉的一些物品，如字典、肥皂、磁帶等，運用學習的規律設計最節省的包裝方案，體現數學從生活中來，又到生活去。最后，要讓學生明白今天我們主要從表面積最小的角度來設計包裝方案，但生活中的小包裝并不僅僅只考慮節省材料，還要考慮到方便、美觀或存放條件等因素。

四、關注學生的分析經驗，改造運用教材內容的素材結構

“表面積的變化”一課是六年級(上)冊“空間與圖形”領域的“綜合與實踐”，是學生學完了長方體與正方體表面積和體積后的一次動手操作實踐課。筆者對教材作了“四改動一增加”。

改動一：調整了實驗表格的有關欄目

原來教材中的表格的3個欄目如下：

正方體的個數原來正方體一共有幾個面拼接后減少了原來幾個面的面積

改動后的方案去掉了“原來正方體一共有幾個面”，換成了“拼接次數”，并增加了讓學生填寫“我的發現”。改后的欄目如下：

正方體的個數拼接幾次減少幾個面2 1 2……

我的發現_________________________ _____________________________________

調整的意圖是讓學生更能排除無關因素的干擾，直接發現小正方體個數、拼接次數、減少面數之間的聯系，從而發現數學問題的本質。即，拼接次數=正方體的個數-1，減少面數=拼接次數×2，所以，從2個小正方體的拼擺到多個小正方體的拼擺，只花了十來分鐘的時間，學生就能發現規律，運用規律。

改動二：改動了2個相同長方體的數據

2個相同的長方體拼接成一個大長方體，原來的長5厘米，寬4厘米，高3厘米。筆者稍改動了一些數據，引用了淮安學生非常熟悉的撲克牌盒，長、寬、高分別取了10厘米、6厘米、2厘米。調整的意圖是，一方面，讓學生計算起來方便些；另一方面，結合地方的文化特色，同時也體現了前后響應。

改動三：改變了小正方體的個數

教材中原來是“把6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體，哪個長方體的表面積最大？大多少？”筆者把小正方體個數改成了8個。并且不是讓學生觀察拼好的圖，而是組織學生自己動手拼一拼。調整的意圖是讓學生通過遷移，發現“化零為整”的拼接策略，即先分組，把每組的小正方體看成一個整體，然后再把最大的面拼接起來，從而讓學生不用計算，就能發現一個數學事實：越接近正方體，表面積越大的規律。

改動四：用學生自帶的小包裝替代了火柴

把教材中的10個火柴盒替換成了學生自帶的長方體物體。目前，學生生活中很少看到火柴，連超市或商店也很難買到火柴。所以，筆者布置學生從家里帶來幾個相同的長方體，如香皂、牛奶盒、磁帶、抽紙、藥盒、牙膏盒等，通過“小小設計師”這一環節，讓學生分小組動手設計最節省包裝紙的包裝方案。激發學生的學習興趣，并讓所學的知識應用于生活。

改動五：增加了可能出現的情況

因為表面積的變化，拼接時會減少，但在切割時就會增加，所以作了補充，這樣才是完整的一節課，但這一內容的加入，可能會使一節課的容量偏大，這還有待進一步細化調整與處理。

總之，老師們要了解學生的起點和需要，對教學資源進行整合，及時地提供幫助，讓學生在操作、觀察、分析、推理和概括中，通過親歷實踐，逐步建構空間觀念。

[1]楊豫輝.義務教育課程標準（2011年版）案例式解讀（小學數學）[M].北京：教育科學出版社,2012.3.

[2]王林.小學數學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社,2011.284-293.

[3]楊傳岡.研發 實踐 評價——小學數學開放題校本實踐“三部曲”[J].江蘇教育,2015（2）：13-14.

[4]楊傳岡.開放題：數學教育的一朵水芙蓉——小學數學開放題教學行思[J].教育探索,2015（11）：31-35.

[5]楊傳岡等.小學數學開放題舉一反三[M].南京大學出版社, 2014.

（組稿：楊傳岡 編輯：胡 璐）

蒯成，中共黨員，小學高級教師，江蘇省淮安市清浦區優秀教育工作者，現任淮安市清浦區教育局監察室主任，兼任淮安市清浦區中小學綜合實踐教研員；單廣紅，中學高級教師，淮安市小數學科帶頭人，淮安市優秀教師，江蘇省特級教師培養對象?，F任淮安市武墩鎮中心學校教科室主任，兼任淮安市清浦區小數教研員。

本文系全國教育科學“十二五”規劃教育部重點課題“數學開放題對小學生思維發展的具體影響評測”研究成果，項目編號：DHA140327。

G623.5

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1671-0568（2015）34-0084-04