旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的自由振動與穩(wěn)定性＊

任勇生，代其義，張興琦

（山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島266590）

引 言

在包括能源、航空和汽車在內(nèi)的許多工業(yè)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，廣泛地存在著一類旋轉(zhuǎn)柔性細(xì)長結(jié)構(gòu)，它的轉(zhuǎn)動角速度矢量與其結(jié)構(gòu)的縱軸保持平行，在能量傳動過程中發(fā)揮著無可替代的重要作用，力學(xué)上通常將其稱之為旋轉(zhuǎn)軸。例如燃?xì)廨啺l(fā)電機(jī)傳動軸、航空發(fā)動機(jī)傳動軸以及汽車后輪驅(qū)動軸等等。

纖維復(fù)合材料由于比強(qiáng)度和比剛度高、抗疲勞和減振性能好，在直升機(jī)尾傳動軸［1］以及汽車傳動軸［2］的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中已經(jīng)顯示出廣闊的應(yīng)用前景。采用輕質(zhì)纖維復(fù)合材料取代傳統(tǒng)的金屬材料不僅可以減輕結(jié)構(gòu)的重量，同時(shí)還能夠減少噪聲、提高結(jié)構(gòu)的抗振性能［3］。然而由于纖維復(fù)合材料力學(xué)性能的各向異性，加之軸的設(shè)計(jì)一般采取薄壁結(jié)構(gòu)形式，因此在軸向拉伸、橫向彎曲以及扭轉(zhuǎn)變形之間，存在著顯著的彈性耦合。精確地分析復(fù)合材料軸的振動特性是對其穩(wěn)定性評估和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的基于各向同性假定的金屬材料軸的動力學(xué)模型與分析方法顯然已經(jīng)不再適合于各向異性復(fù)合材料傳動軸，因此，需要建立更為先進(jìn)的模型來指導(dǎo)復(fù)合材料軸的動力學(xué)設(shè)計(jì)。

迄今為止，在實(shí)心梁（Euler－Bernolli梁和Timshenko梁）理論、圓柱殼理論和薄壁梁理論的框架下，人們已經(jīng)提出了復(fù)合材料軸的一些動力學(xué)分析模型。文獻(xiàn)［4］將Timoshenko梁理論和Donnell薄殼理論結(jié)合在一起，建立旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的剛度矩陣并采用有限元方法導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動方程，由此計(jì)算了薄壁復(fù)合材料軸的臨界轉(zhuǎn)速。文獻(xiàn)［5］基于等效模量梁理論（Equivalent modulus beam theory，EMBT）對復(fù)合材料軸進(jìn)行了動力學(xué)建模，并且將臨界轉(zhuǎn)速的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比。文獻(xiàn)［6］分別基于EMBT和分層梁理論（Layerwise beam theory，LBT）建立復(fù)合材料軸的動力學(xué)模型，研究發(fā)現(xiàn)對于非對稱鋪層方式，采用兩種模型得到的臨界轉(zhuǎn)速存在偏差。文獻(xiàn)［7］依據(jù)殼的一階近似理論推出了薄壁復(fù)合材料傳動軸的運(yùn)動微分方程。并且應(yīng)用該模型分析計(jì)算了不同類型的復(fù)合材料傳動軸的臨界轉(zhuǎn)速。文獻(xiàn)［8］采用Timoshenko梁理論建立了復(fù)合材料傳動軸的動力學(xué)方程。該模型考慮了陀螺效應(yīng)和彎扭耦合的影響。文獻(xiàn)［9］根據(jù)Timoshenko梁理論和Hamilton原理推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料錐形軸的動力學(xué)方程。研究發(fā)現(xiàn)錐度比對軸的固有頻率有顯著影響。文獻(xiàn)［10］基于一階剪切梁理論提出了一個(gè)復(fù)合材料軸系統(tǒng)的有限元動力學(xué)模型，該模型除了軸還包含了剛盤以及軸承。文獻(xiàn)［11］和［12］基于Rehfied的復(fù)合材料薄壁梁理論［13］，建立了復(fù)合材料軸的振動微分方程，研究了矩形截面軸和圓形截面軸的固有頻率和穩(wěn)定性特性，其中包括橫向剪切的影響。

變分漸進(jìn)法（Variational asymptotic method，VAM）［14］是從二維殼能量函數(shù)出發(fā)，采用漸進(jìn)分析建立的一種精細(xì)的復(fù)合材料薄壁梁理論，與其他薄壁梁理論相比，它的主要特點(diǎn)在于其位移場表達(dá)式除了包含經(jīng)典的扭轉(zhuǎn)翹曲之外，同時(shí)還包含由于軸向拉伸以及橫向彎曲變形引起翹曲。VAM復(fù)合材料薄壁梁理論不僅適用于單閉室復(fù)合材料薄壁梁，而且也適用于含有多個(gè)閉室的復(fù)合材料薄壁梁。自上世紀(jì)90年代VAM復(fù)合材料薄壁梁理論問世以來，國外一些學(xué)者已經(jīng)將其成功地應(yīng)用于先進(jìn)直升機(jī)復(fù)合材料葉片的結(jié)構(gòu)建模和動力學(xué)分析［15－16］。然而，迄今為止，作者還沒有見到將VAM復(fù)合材料薄壁梁理論用于復(fù)合材料軸動力學(xué)分析的研究報(bào)道。此外，大家也注意到，現(xiàn)有的VAM復(fù)合薄壁梁理論尚未考慮橫向剪切變形的影響。

本文從VAM復(fù)合材料薄壁梁理論出發(fā)［14］，提出了一個(gè)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動力學(xué)分析模型，其中引入了橫向剪切變形的影響。基于Hamilton原理推導(dǎo)出復(fù)合材料傳動軸的振動偏微分方程組。采用Galerkin法求解得到耦合振動固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速的近似解，并且給出了算例驗(yàn)證。采用本文建立的模型計(jì)算方法，計(jì)算和分析了周向均勻剛度配置（CUS）［12］復(fù)合材料傳動軸的動力學(xué)特性。通過數(shù)值計(jì)算揭示了鋪層角、旋轉(zhuǎn)速度、長徑比、徑厚比以及橫向剪切對復(fù)合材料傳動軸自由振動固有頻率和穩(wěn)定性的影響。

1 振動微分方程的建立

圖1表示長度為L的、繞其軸線以定常角速度Ω旋轉(zhuǎn)的封閉截面纖維復(fù)合材料薄壁梁。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系為（x，y，z），局部坐標(biāo)系為（x，s，ξ），其中環(huán)向坐標(biāo)s沿著薄壁梁中面切線逆時(shí)針方向，ξ沿著薄壁梁中面法線方向。

圖1 圓截面復(fù)合材料薄壁軸Fig.1 Composite thin－walled shaft of a circular cross section

從文獻(xiàn)［14］的位移場表達(dá)式出發(fā)，進(jìn)一步引入橫向剪切變形的影響，于是薄壁軸橫截面上的任意一點(diǎn)沿著x，y，z方向的位移假設(shè)如下

式中U1（x，t），U2（x，t），U3（x，t）分別表示橫截面沿著x，y，z方向的剛體位移；φ（x，t），θy（x，t），θz（x，t）分別表示橫截面繞x軸的扭轉(zhuǎn)角以及繞y，z軸的扭轉(zhuǎn)角。y，z表示橫截面中心圍線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，是環(huán)向坐標(biāo)s的函數(shù)。

假定薄壁梁的翹曲函數(shù)g（s，x，t）具有如下形式上述等式右端的四項(xiàng)依次是與扭轉(zhuǎn)、軸向拉伸、繞z軸彎曲和y軸彎曲有關(guān)的翹曲分量，其中G（s）的物理意義為扭轉(zhuǎn)率，g1（s）的物理意義為軸向應(yīng)變，g2（s）和g3（s）的物理意義為沿y，z方向的彎曲曲率。

在方程（1）和（2）中，θy（x，t），θz（x，t）可以表示如下

根據(jù)文獻(xiàn)［14］幾何方程，由位移方程（1）可以導(dǎo)出橫截面正應(yīng)變γxx和面內(nèi)剪應(yīng)變γxs的表達(dá)式，并且依照文獻(xiàn)［17］，對橫向剪應(yīng)變γxξ的表達(dá)式也作出假設(shè)。因此，考慮剪切變形的薄壁軸的幾何方程可以寫成如下

定義薄壁軸內(nèi)力

薄壁軸內(nèi)力－應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系

其中

為了導(dǎo)出復(fù)合材料軸的振動方程，利用Hamilton原理

式中U和T分別為應(yīng)變能和動能，分別由下式確定

式中σxx，σxs，σxξ分別表示橫截面正應(yīng)力、面內(nèi)剪應(yīng)力和橫向剪應(yīng)力；εxx＝γxx，εxs＝2γxs，εxξ＝2γxξ是相應(yīng)的工程應(yīng)變。

式中ρ表示材料密度，V表示變形后的梁上任意一點(diǎn)的速度矢量，它與變形梁任意一點(diǎn)的位置矢量：r＝（y＋u2）i＋（z＋u3）j＋（x＋u1）k之間滿足關(guān)系：。

定義復(fù)合材料軸的軸力Fx，扭矩Mx，彎矩My和Mz，剪力Qy和Qz如下

將式（6）代入式（11），并且利用幾何方程（4），得

式中kij（i，j＝1，…，6）為復(fù)合材料軸橫截面的剛度系數(shù)，具體表達(dá)式由于篇幅所限，不再列出。

通過比較可以發(fā)現(xiàn)，在全部的36個(gè)剛度系數(shù)kij（i，j＝1，…，6）中，其中的16個(gè)剛度系數(shù)kij（i，j＝1，2，…，4）的表達(dá)式與文獻(xiàn)［14］中不計(jì)剪切變形的復(fù)合材料薄壁梁的剛度系數(shù)是一致的，而其余的20個(gè)剛度系數(shù)kij（i＝1，2，…，6；j＝5，6），kji（i＝1，2，…，4；j＝5，6）是由于計(jì)及剪切變形新增加的剛度系數(shù)。

假設(shè)復(fù)合材料軸具有周向均勻剛度配置（CUS）構(gòu)型［12］，即滿足

θ（y）＝θ（－y），θ（z）＝θ（－z）

式中θ表示由正向s軸進(jìn)行度量的纖維鋪層角。

將方程（9）和（10）代入（8），由 Hamilton原理可以導(dǎo)出運(yùn)動方程如下

如果在方程（13）中的第二、三、五、六個(gè)方程中，令U″2－θ′y＝0，U″3－θ′z＝0，U′2－θy＝0，U′3－θz＝0，則可以導(dǎo)出不考慮剪切的復(fù)合材料軸的運(yùn)動方程，此處不再寫出。

方程（13）中的第二、三、五、六個(gè)方程，構(gòu)成彎－剪耦合振動方程

值得注意的是，在方程（14）中除了存在彈性變性產(chǎn)生的耦合，也存在由于剛性旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的耦合，包括與轉(zhuǎn)速一次方Ω相關(guān)的項(xiàng)，以及與轉(zhuǎn)速平方Ω2相關(guān)的項(xiàng)。此外，在方程（13）中的第一和第四兩個(gè)方程構(gòu)成拉－扭耦合振動方程，此類耦合問題不在本文中進(jìn)行討論。

2 自由振動方程求解

假定彎曲位移U2（x，t），U3（x，t）和轉(zhuǎn)角θy（x，t），θz（x，t）具有下列形式

式中U2j（t），U3j（t），Θyj（t）和Θzj（t）表示廣義坐標(biāo)；αj（x）和ψj（x）表示軸的振型函數(shù)。

將方程（15）代入（14），采用Galerkin近似求解方法，得

式中M為質(zhì)量矩陣，C為旋轉(zhuǎn)陀螺效應(yīng)產(chǎn)生的阻尼矩陣，K為由彈性變形剛度與旋轉(zhuǎn)引起的剛度疊加而成剛度矩陣

其中

廣義坐標(biāo)矢量表示為

運(yùn)動方程（16）可以進(jìn)一步化為廣義特征值問題

式中

其中，0和I分別為零矩陣和單位矩陣。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

3.1 模型驗(yàn)證

算例1 為了檢驗(yàn)本文建立的復(fù)合材料軸模型及其近似計(jì)算方法的正確性，下面首先針對一個(gè)石墨／環(huán)氧復(fù)合材料軸的固有頻率特性，進(jìn)行了數(shù)值方法的收斂性檢驗(yàn)。軸的幾何尺寸和材料參數(shù)分別取［12］：長度L＝2.023m，截面半徑r＝0.127m，單層厚度h＝0.063 5mm，截面鋪層方式為［θ］6；復(fù)合材料的性能參數(shù)為E1＝206.8GPa，E2＝E3＝5.17 GPa，G12＝3.1GPa，G23＝G13＝2.55GPa，ν21＝ν31＝0.006 25，ν32＝0.25，密度ρ＝1 528.15kg／m3。引入了標(biāo)準(zhǔn)化因子ω0＝138.85rad／s（表示非旋轉(zhuǎn)軸在纖維鋪層角θ＝0°的第一階固有頻率），則無量綱的固有頻率和轉(zhuǎn)速分別為ω＊＝ω×2π／ω0，Ω＊＝Ω×2π／（60ω0）。其中固有頻率ω和轉(zhuǎn)速Ω的單位分別為Hz和r／min。

表1表示兩端簡支軸的前六階固有頻率隨振型函數(shù)個(gè)數(shù)N的變化情況，結(jié)果表明，本文提出的近似計(jì)算方法具有很好的收斂性，例如，為了獲得前三階固有頻率，振型函數(shù)的個(gè)數(shù)只需取N＝6就可得到較高精度的結(jié)果（注：其中“－”表示大于保留最大模態(tài)個(gè)數(shù)N的高階頻率，由于已經(jīng)超出了方程組（16）的階數(shù)，所以沒有結(jié)果顯示）。

表1 模態(tài)個(gè)數(shù)對于固有頻率的影響（Ω＊＝0，θ＝30°）Tab.1 Effect of model number Non natural frequencies（Ω＊＝0andθ＝30°）

表2表示不計(jì)剪切變形的懸臂復(fù)合材料軸的固有頻率計(jì)算結(jié)果的對比，其中計(jì)算參數(shù)和無量綱化方法同文獻(xiàn)［18］。由表2可以看出，本文結(jié)果與文獻(xiàn)［18］結(jié)果符合得很好。

表2 不計(jì)剪切的懸臂復(fù)合材料軸的固有頻率結(jié)果對比Tab.2 Comparison of the natural frequencies of a cantilevercomposite shaft without shear deformation

圖2表示兩端簡支復(fù)合材料軸的固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，其中考慮了剪切變形的影響。從圖2可以看到，由于旋轉(zhuǎn)的復(fù)合材料軸存在陀螺效應(yīng)，所以固有頻率在轉(zhuǎn)速Ω＊≠0展示了分叉現(xiàn)象。其次，從圖2還可以看到，針對四種不同的鋪層角，本文結(jié)果與文獻(xiàn)［12］的結(jié)果非常相近。

圖2 不同鋪層角的復(fù)合材料軸固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線Fig.2 The natural frequency of a simply supported composite shaft versus rotating speed for different ply angles

3.2 自由振動與穩(wěn)定性分析

算例2 在下面的數(shù)值計(jì)算中，選取復(fù)合材料軸的幾何尺寸為：長度L＝1.67m，截面半徑r＝0.063 5m，單層厚度h＝0.132 1mm，截面鋪層方式為［θ］8，軸的兩端具有簡支邊界條件。彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)［8］和［9］。復(fù)合材料的性能參數(shù)如表3所示。

表3 復(fù)合材料性能參數(shù)Tab.3 Mechanical properties of composite material

圖3表示復(fù)合材料軸的第一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，當(dāng)轉(zhuǎn)速為0時(shí)，每個(gè)鋪層角只對應(yīng)于單獨(dú)的一個(gè)固有頻率，這是由于對于圓形截面軸而言，它在豎直（Z軸向）和水平方向（Y軸向）彎曲模態(tài)頻率是相同的。隨著轉(zhuǎn)速的增加，由于旋轉(zhuǎn)陀螺效應(yīng)，固有頻率曲線分叉為上下兩支，上支隨固有頻率增加而增加，下支隨固有頻率增加而減少。分別稱為上固有頻率（Upper natural frequency，UNF）和下固有頻率（Lower natural frequency，LNF），它們分別對應(yīng)于慣性坐標(biāo)系下的正進(jìn)動頻率和反進(jìn)動頻率。當(dāng)LNF隨轉(zhuǎn)速的增加而減小至0時(shí)，所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速Ω＊c；從圖中還可以看出，無論是對于一階模態(tài)還是二階模態(tài)，臨界轉(zhuǎn)速都隨著鋪層角的增加而增加，最大的臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的鋪層角θ為90°。這主要是由于當(dāng)纖維鋪設(shè)角沿軸的軸向鋪層時(shí)，軸的彎曲剛度變?yōu)樽畲蟆?/p>

表4給出不計(jì)剪切和計(jì)入剪切時(shí)的復(fù)合材料軸的第一階臨界轉(zhuǎn)速和第二階臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算結(jié)果，由此可以看出，不計(jì)剪切的臨界轉(zhuǎn)速高于計(jì)及剪切的臨界轉(zhuǎn)速，并且兩者的差別隨著鋪層角的增加而增加；在相同鋪層角下，計(jì)及剪切和不計(jì)剪切的第二階臨界轉(zhuǎn)速的相對誤差要高于相應(yīng)的第一階臨界轉(zhuǎn)速的相對誤差。例如在鋪層角θ為90°時(shí)，這一誤差由2.40%增加到9.43%。因此，在預(yù)測鋪層角較大時(shí)的高階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，剪切變形的影響尤其就顯得十分重要。

圖3 不同鋪層角復(fù)合材料軸的第一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.3 The first natural frequency of a composite shaft versus rotating speed for different ply angles

表4 計(jì)及剪切與不計(jì)剪切復(fù)合材料軸的臨界轉(zhuǎn)速Tab.4 The critical speed of a composite shaft with and without shear deformation

圖4和5分別表示靜止和旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的前兩階固有頻率隨鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，在靜止?fàn)顟B(tài)下，軸的第一階、第二階模態(tài)所對應(yīng)的UNF曲線和LNF曲線是重合的，它們都隨著鋪層角的增加而增加，這與前面的結(jié)論是一致的。另一方面，相對于第一階固有頻率，第二階固有頻率隨鋪層角的增加而增加的趨勢更為明顯；在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的前兩階固有頻率隨鋪層角的變化趨勢和在靜止?fàn)顟B(tài)的變化趨勢是相同的，只不過此的UNF曲線和LNF曲線是分開的。

圖4 復(fù)合材料軸前兩階固有頻率隨鋪層角變化曲線（Ω＝0）Fig.4 The first two natural frequency of a simply supported composite shaft versus ply angle（Ω＝0）

圖6 復(fù)合材料軸的前兩階固有頻率隨長徑比的變化曲線（Ω＝2 000r·min－1，θ＝90°）Fig.6 The first two natural frequencies of a composite shaft versus ratio of length over radius（Ω＝2 000 r·min－1，θ＝90°）

圖6和7分別表示復(fù)合材料軸的前兩階旋轉(zhuǎn)固有頻率隨長徑比和徑厚比的變化曲線。由圖6可以看出，固有頻率隨著長徑比的增加而減小；由圖7可以看出，固有頻率隨著徑厚比的增加而增加。

圖7 復(fù)合材料軸的前兩階固有頻率隨徑厚比的變化曲線（Ω＝2 000r·min－1，θ＝90°）Fig.7 The first two natural frequencies of a composite shaft versus ratio of radius over thickness（Ω＝2 000r·min－1，θ＝90°）

圖8和9分別表示具有不同鋪層角的復(fù)合材料軸的前兩階臨界轉(zhuǎn)速隨長徑比和徑厚比的變化曲線。由圖8和9可以看出，臨界轉(zhuǎn)速隨著長徑比的增加表現(xiàn)為減小的趨勢，而隨著徑厚比的增加表現(xiàn)為增加的趨勢。

圖8 復(fù)合材料軸前兩階臨界轉(zhuǎn)速隨長徑比的變化曲線Fig.8 The first two critical speeds of a composite shaft versus ratio of length over radius

圖9 復(fù)合材料軸兩階臨界轉(zhuǎn)速隨徑厚比的變化曲線Fig.9 The first two critical speeds of a composite shaft versus ratio of radius over thickness

4 結(jié) 論

本文基于復(fù)合材料薄壁梁理論建立了旋轉(zhuǎn)軸的動力學(xué)模型。結(jié)構(gòu)的位移場采用VAM模型進(jìn)行描述，并且在其中引入了橫向剪切變形的影響；采用Hamilton原理導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)軸的控制方程并采用Galerkin法對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解，獲得旋轉(zhuǎn)軸耦合振動的固有頻率及其臨界轉(zhuǎn)速的近似分析解。本文模型的正確性通過收斂性分析以及與文獻(xiàn)結(jié)果對比，得到了驗(yàn)證。采用本文建立的模型與計(jì)算方法，研究了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的自由振動與動力穩(wěn)定性。數(shù)值結(jié)果表明：（1）當(dāng)復(fù)合材料軸的鋪層角或者徑厚比增加時(shí)，固有頻率隨之增加；當(dāng)復(fù)合材料軸的長徑比增加時(shí)，固有頻率隨之減小，在軸的剛性旋轉(zhuǎn)作用下，固有頻率分叉為UNF和LNF曲線，其中UNF隨轉(zhuǎn)速的增加而增加，LNF隨轉(zhuǎn)速的增加而降低；（2）不計(jì)剪切變形的臨界轉(zhuǎn)速高于計(jì)入剪切變形的臨界轉(zhuǎn)速，并且兩者的差別隨著鋪層角的增加而增加，在相同鋪層角下，計(jì)及剪切和不計(jì)剪切的低階臨界轉(zhuǎn)速的之間相對誤差要高于相應(yīng)的高階臨界轉(zhuǎn)速之間的相對誤差；（3）復(fù)合材料軸的臨界轉(zhuǎn)速隨著鋪層角或者徑厚比的增加而增加；隨著長徑比的增加而減小。本文提出的模型可以為復(fù)合材料軸的動力學(xué)研究與設(shè)計(jì)，提供一種可供選擇的分析理論與方法。

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