利用等差數(shù)列構(gòu)造大圍長(zhǎng)準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶校驗(yàn)碼

張 軼 達(dá)新宇 蘇一棟

1 引言

碼的結(jié)構(gòu)決定了低密度奇偶校驗(yàn)(Low-Density Parity-Check, LDPC)碼的性能。基于循環(huán)移位矩陣構(gòu)造的準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶檢驗(yàn)(Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check, QC-LDPC)碼，其校驗(yàn)矩陣的準(zhǔn)循環(huán)特性使其易于高效編解碼，碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)為超大規(guī)模集成電路的實(shí)現(xiàn)提供了可能，因此受到廣泛關(guān)注和研究。圍長(zhǎng)是碼中最小的環(huán)長(zhǎng)度，增大圍長(zhǎng)可以提高碼字的性能。借助于計(jì)算機(jī)搜索，人們已經(jīng)提出了一些圍長(zhǎng)大于6的QC-LDPC碼構(gòu)造方法[17]-，但為了滿足各種約束條件，這些準(zhǔn)隨機(jī)方法通常花費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)，存在失敗可能，且對(duì)編解碼存儲(chǔ)空間提出了更高要求。

針對(duì)上述問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)確定性構(gòu)造方法的研究屢有成果涌現(xiàn)。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]分別采用群結(jié)構(gòu)法、3維循環(huán)網(wǎng)絡(luò)法構(gòu)造出了圍長(zhǎng)在10以上的QC-LDPC碼，但是校驗(yàn)矩陣的行重只局限于特定范圍內(nèi)；文獻(xiàn)[10-12]基于貪婪算法構(gòu)造了圍長(zhǎng)為 8的QC-LDPC碼，其循環(huán)移位矩陣尺寸具有連續(xù)變化的優(yōu)點(diǎn)，但該方法要求準(zhǔn)循環(huán)基矩陣首行首列元素必須為0；文獻(xiàn)[13]提出了基于二次函數(shù)的確定性方法，但方程系數(shù)與行重有關(guān)，任意行重只能構(gòu)造兩種校驗(yàn)矩陣。這在一定程度上限制了它們的實(shí)際應(yīng)用。

在此基礎(chǔ)上，本文利用等差數(shù)列提出一種列重為3、圍長(zhǎng)至少為8的 QC-LDPC碼構(gòu)造方法。首先通過舉例歸納得到約束條件，總結(jié)出推導(dǎo)思路和方法；然后將特殊情形推廣，進(jìn)而提出基于一般等差數(shù)列的確定性構(gòu)造方法，并證明了其圍長(zhǎng)特性；最后通過軟件仿真，驗(yàn)證了該方法構(gòu)造的 QC-LDPC碼參數(shù)設(shè)置靈活、性能優(yōu)良。

2 QC-LDPC碼

QC-LDPC碼是一類非常特殊的高度結(jié)構(gòu)化的LDPC碼，它的校驗(yàn)矩陣以單位陣的循環(huán)移位陣和零方陣為子陣，可表示為

其中： I (pij)表示一個(gè)p×p的循環(huán)移位矩陣，pij∈{0,1,2,… ,p -1,∞ }。易知I(0)就是單位陣Ip×p，零方陣用I(∞)表示。把循環(huán)右移系數(shù)pij寫成一個(gè)矩陣P，稱為準(zhǔn)循環(huán)基矩陣，如式(2)所示[14]。當(dāng)P確定后，校驗(yàn)矩陣H也隨之確定。

在基矩陣P中，若干個(gè)點(diǎn)(元素)p1,p2,… , p2k構(gòu)成一個(gè)環(huán)，則對(duì)應(yīng)的H矩陣也存在與之對(duì)應(yīng)的p個(gè)同樣大小的環(huán)。顯然，環(huán)的長(zhǎng)度只能是大于或等于4的偶數(shù)。表示H中長(zhǎng)為2k環(huán)的序列(p1, p2,…,p2k)滿足定理1。

定理 1[15]對(duì)于基矩陣 P中的序列(p1, p2,… ,p2k)，其中 pi和 pi+1在同一行或同一列，pi和 pi+2在不同行且不同列，則(p1, p2,… , p2k)構(gòu)成長(zhǎng)為2k環(huán)的充分必要條件是

短環(huán)的存在使 LDPC碼在譯碼時(shí)不能快速收斂，甚至不能收斂，造成誤比特率(Bit Error Rate,BER)性能變差。因此，為了使校驗(yàn)矩陣不含長(zhǎng)為2k的環(huán)，就必須通過某種設(shè)計(jì)，使得式(3)不成立。圖1給出了6環(huán)存在的6種形狀。

圖1 6種形狀的6環(huán)

3 基于等差數(shù)列的確定性構(gòu)造

3.1 歸納推導(dǎo)

對(duì)列重為3的校驗(yàn)矩陣的基矩陣采取的配置方式為

其中n為基矩陣的列數(shù)。顯然，此時(shí) { p1,j}為正整數(shù)列， { p2,j}為正偶數(shù)列。對(duì) p3,2進(jìn)行賦值時(shí)，為避免出現(xiàn)短環(huán)，則Δ1應(yīng)滿足：

依此類推，可以得到滿足圍長(zhǎng)至少為8的{Δj} 的取值下界，如表1所示。

表1 n69=～時(shí)j{}Δ的取值下界

3.2 構(gòu)造方法

上節(jié)的結(jié)論是基于一種特例推導(dǎo)給出的。若采取相同的分析方法，將式(4)推廣至一般等差數(shù)列，則得到一種(3,)n基矩陣的構(gòu)造方法為

其中1d,2d分別為兩個(gè)等差數(shù)列的公差。

4 圍長(zhǎng)至少為8的性質(zhì)證明

定理2 對(duì)于任意 n ≥ 3 ，滿足式(9)~式(12)定義的基矩陣P的圍長(zhǎng)至少為8。

證明 圍長(zhǎng)至少為8即不存在4環(huán)和6環(huán)。

(1)4環(huán)檢驗(yàn) 不失一般性，令1 ≤ s ＜t ≤ n 。若P中存在4環(huán)，則滿足式(13)中的至少一項(xiàng)

這是不可能的，因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，同理可得

因此有

注意到 0 ＜ p3,s- p3,t＜p 和 0 ＜ p2,s- p2,t＜ p ，故式(13)不成立。因此，P中不存在4環(huán)。

(2)6環(huán)檢驗(yàn) 不失一般性，令1 ≤ i ＜ k ＜j ≤ n。若P中存在圖1(a)所示6環(huán)，則

這是不可能的，因?yàn)橛?環(huán)檢驗(yàn)的結(jié)論，有

故式(17)不成立，同理可證P中也不存在圖1(b)~圖1(d)所示6環(huán)。

下面考慮圖1(e)的情形：

若 j - k = 1 ，由式(12)可得 p3,j-p3,k≥(d2-d1)?k+d1+1，故

若 j - k ≥ 2 ，以 n為奇數(shù)為例(偶數(shù)時(shí)同理)，由 { p3,j}為單增數(shù)列可得

因此P中不存在圖1(e)所示6環(huán)，同理也不存在圖1(f)所示6環(huán)。

綜上，基矩陣P的圍長(zhǎng)至少為8。 證畢

利用等差數(shù)列求和公式可求出3,np 的通項(xiàng)表達(dá)式。

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)3,1p ,1d,2d確定后，3,np 是關(guān)于n的二次函數(shù)。由于本文方法中參數(shù)設(shè)置的靈活性，而移位矩陣的維數(shù)p大于移位系數(shù)，故p的取值下界為

特別地，當(dāng) p1,1= p2,1= p3,1= d1= 0 , d2= 1 時(shí)，式(21)的計(jì)算結(jié)果為 3 (n2- 1 )/4，式(22)為 3 n2/4 - 1，此時(shí)p的下界為 3 n2/4，與文獻(xiàn)[10]給出的研究結(jié)果相一致，說明該基矩陣是本文方法的一種特例。

5 仿真與分析

5.1 p值下界分析

構(gòu)造3種準(zhǔn)循環(huán)基矩陣，設(shè) di= i , i ∈ { 1,2}，其它參數(shù)如表2所示。圖2描繪了這3種碼字p的取值下界隨n的變化曲線。

表2 d i = i , i ∈ { 1,2}時(shí)的參數(shù)配置

從圖2中可以看到，p的取值下界隨n的增大而增大。當(dāng)3≤n＜8時(shí)，碼1、碼2的p值下界與n呈線性關(guān)系，當(dāng) n ≥ 8 時(shí)，3條曲線重合，此時(shí)p的取值僅與 p3,n有關(guān)。這是因?yàn)?種基矩陣的 { p3,j}完全一致，且由式(16)可知， { p3,j}中元素的增幅顯然大于 { p1,j}和{p2,j}，隨著n的增大，無(wú)論初始參數(shù)如何設(shè)置， in f p = p3,n+ 1都是必然結(jié)果。同時(shí)表明，利用本文方法構(gòu)造的任意參數(shù)的準(zhǔn)循環(huán)基矩陣，都可使p值獲得連續(xù)取值的下界。

5.2 圍長(zhǎng)分析

構(gòu)造3種準(zhǔn)循環(huán)基矩陣，設(shè) n = 6 ，其它參數(shù)如表3所示。圖3描繪了這3種碼字的8環(huán)數(shù)目隨p值的變化曲線，圖4為碼長(zhǎng)一定(N = n ? p= 9 60)條件下，碼3的8環(huán)數(shù)目隨n的變化曲線。可以看到，基矩陣一定時(shí)8環(huán)數(shù)隨p值增大而增多；而當(dāng)碼長(zhǎng)一定時(shí)，p值越小則行重越大，意味著形成短環(huán)的概率越大，造成環(huán)數(shù)增多。因此在構(gòu)造基矩陣時(shí)，針對(duì)不同的編碼參數(shù)需求，本文方法提供了一種簡(jiǎn)單、靈活的設(shè)計(jì)思路。

表3 n 6= 時(shí)的參數(shù)配置

5.3 性能分析

構(gòu)造兩種準(zhǔn)循環(huán)基矩陣，設(shè)碼率 1/2R= ，其它參數(shù)如表 4所示。在加性高斯白噪聲(Additive White Gauss Noise, AWGN)信道下進(jìn)行仿真，譯碼采用置信傳播(Belief Propagation, BP)算法，最大迭代次數(shù)為30，調(diào)制方式為BPSK，選取同碼長(zhǎng)碼率的漸進(jìn)邊增長(zhǎng)(Progressive Edge-Growth,PEG)[16]碼進(jìn)行性能比較。仿真結(jié)果如圖5所示。

表4 R 1/2= 時(shí)的參數(shù)配置

圖2 p的取值下界隨n的變化曲線

圖3 8環(huán)數(shù)目隨p值的變化曲線

圖4 碼長(zhǎng)一定時(shí)8環(huán)數(shù)目隨n的變化曲線

圖5 本文構(gòu)造碼字與PEG碼的性能比較

仿真結(jié)果表明，碼長(zhǎng)為504時(shí)二者的譯碼性能差異不大；當(dāng)碼長(zhǎng)為1008, BER為10-5時(shí)，與PEG碼相比本文構(gòu)造碼字信噪比增益約為0.3 dB。此外，PEG方法需要對(duì)度數(shù)的分布進(jìn)行優(yōu)化處理，其算法復(fù)雜度也高于本文方法。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種構(gòu)造圍長(zhǎng)至少為 8的(3,)nQC-LDPC碼的確定性方法。該碼的準(zhǔn)循環(huán)基矩陣由等差數(shù)列生成的數(shù)學(xué)表達(dá)式確定，構(gòu)造方法簡(jiǎn)單，節(jié)省了編解碼存儲(chǔ)空間。研究結(jié)果表明，這類碼只需少量的初始值控制就可設(shè)計(jì)任意參數(shù)的基矩陣，同時(shí)在AWGN信道中能夠獲得較好的糾錯(cuò)能力，因此對(duì)信道編碼理論的研究和應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值。在此方法基礎(chǔ)上，如何消除8環(huán)，從而構(gòu)造圍長(zhǎng)為10的QC-LDPC碼是今后深入研究的內(nèi)容之一。

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