基于非線性有限元法的二維水下拖纜研究

邵 校，劉祚秋

（中山大學應用力學與工程系，廣東廣州 510275）

0 引言

拖曳系統通常由拖曳電纜、拖曳體及專用絞車組成,拖曳體內可根據不同的用途搭載溫、鹽、壓、營養鹽及聲納等各種海洋化學元素探測傳感器或聲、光等物理探測傳感器。拖曳船上的操作者可以通過一定的控制方式實施對拖曳體的軌跡與姿態控纜作為整個系統的重要組成部分，起著連接拖曳母船（潛艇）與拖體設備的作用，它具有遠距離傳輸能源和信號的能力，并為水下設備提供前進的動力。

國內外學者對此進行了廣泛而深入的研究，目前描述拖纜的理論方法大致可分為[3-4]：解析法[5]、有限元法[6-7]、集中質量法[8]、有限差分法[9]。解析法是指那種可以給出封閉解的理論模型,由于該模型只能局限于求解簡單的靜態問題,其使用范圍有限；集中質量法是將纜索視為由一系列無質量彈簧連接著離散的集中質量點。顧懋祥等人[10]的計算經驗表明：在使用集中質量法時，纜繩模型分段太多將引起數值發散；有限差分法和集中質量法在應用過程中受到一些限制，且在強幾何非線性和材料非線性問題上計算不易控制；基于小變形線彈性理論的線性有限元法忽略了纜索的及和非線性和材料非線性，在實際纜索計算中存在誤差。

為了克服其他計算方法的不足，本文采用非線性有限元方法計算纜索幾何形態及受力特性，考慮了纜索的各種受力及纜索的彈性變形，可有效對拖曳模型進行模擬。通過Matlab語言，設計非線性有限元算法程序，結合懸鏈線法能使計算結果較快收斂。

圖1 水下拖纜模型

1 拖纜模型計算

如圖1中所示，由于纜索運動機理非常復雜，故作如下假設：1）忽略波浪對拖體設備的作用；2）只考慮在材料的線彈性階段工作，即索始終處于彈性工作階段，符合虎克定律；3）索是一維體；4）索是理想柔性的，只受拉力而不能受壓和抗彎；5）大位移小應變。

1.1 懸鏈線方程

懸鏈線方法對松弛的（有剩余索鏈躺在水底的）和張緊的（索鏈全部提起其下端拉力傾斜的）兩種狀態都適用。由于張緊狀態懸鏈線適用范圍更廣，因此本文著重討論張緊式懸鏈線。為便于公式推導，分別建立笛卡爾坐標系及拉格朗日坐標系。以纜索右下端為原點定義笛卡爾坐標系。以纜索右下端為原點定義為纜索弧坐標。

圖2 靜水中纜索受力示意圖

如圖2所示使用截斷法推導懸鏈線方程，S0、Sd分別表示自然無伸張狀態，動態纜索的弧坐標。區間[0,l]上靜水中纜索只受端部力與重力的作用如圖1所示，S0=l處拉力為其中，水平方向的分量Th=Th0-Rwx，豎直方向分量Tv=Tv0+(W-B)-Rwy；Th0和Tv0分別為S0=0處作用在纜索上的水平力和豎直力，對于張緊狀態懸鏈線有：Tv0＞0。

纜索的拉格朗日應變為：ε=(dsd-ds0)/ds0，即：dsd=(1+ε)ds0，s0=l處纜索微段與x軸正方向的夾角為?，那么：

以纜索微段切線方向與法線方向為坐標軸建立局部坐標系，如圖3。為簡化計算將海水與纜索之間的相對速度vr視做勻速且只有水平方向的相對速度。那么纜索微段與水流切向相對速度vrτ、纜索微段與水流法向相對速度vrn分別為：

圖3 纜索微段受力示意圖

根據水動力學Morison公式，流體施于微段纜索上的作用力為（圖3中所示）：

式中：ρw為海水密度；D為纜索直徑；CDτ、CDn分別為纜索微段切向和法向阻力系數。

將求出的fτ、fn再轉化到整體坐標系下，結合式（1）即可得到：

在區間[0,s]上，纜索在水中的凈重：

式中：ρc為纜索在空氣中的密度；A為纜索橫截面積；g為重力加速度。若不考慮材料非線性，則：式中：E為彈性模量，A為纜索橫截面積。將以上各式代入方程的積分形式便可得到纜索各點的橫縱坐標：

在區間[0,l]上取定積分可得：

顯然，這種情況下纜索的控制方程為非線性，無法求得解析解。為簡化計算，令vr=0（即，使纜索處于靜水中），積分后可得下式：

1.2 非線性有限元基本方程

由上述推導過程不難看出拖曳纜索表現出很強的幾何非線性，在外部荷載作用下纜索產生大位移但應變仍然很小，其應力應變關系仍處于彈性范圍內[11]，其平衡方程無解析解，須采用數值方法進行計算。

圖4 纜索單元構形及變形構形

根據虛位移原理采用完全拉格朗日表述，推導得到連續體增量運動平衡方程[12]：

式中：

在大位移小應變的假定下，柔性索單元的應變ε只需考慮格林應變的第一項，即：

以上各式中：E為彈性模量；ρc為纜索密度；為時間t+Δt時刻的加速度；為第二類Piola-Kirchhoff應力；和分別是Green應變張量增量的線性項和二次項；時間t+Δt位形外力所做的虛功；為t時刻增量位移；為t時刻坐標。

本文采用二節點索單元離散纜索，依照等參變換的概念，可直接得到單元節點坐標向量及單元節點位移向量，各式有如下關系：

式中：[N]為插值形函數矩陣。忽略慣性項推導出拖曳纜索平衡方程：

在應用有限元方法時需將作用在纜索上的水流力等效地作用在單元節點上。假定水流力所做的功為：

如圖3及所示，將式(3)代入式(25)可得：

1.3 非線性有限元方程求解方法

解決非線性有限元問題常常使到

Newton-Raphson迭代法（N-R法）或修正的

Newton-Raphson迭代法（mN-R法）[13]，為了更好地得到收斂結果，這里使用N-R法。使用迭代法求解非線性問題需要給定初始節點坐標，若采用偏離真實值的較遠的時極容易導致迭代，發散或漂移。使用上述的懸鏈線方程即可求得較好。計算的基本步驟為：1）假定纜索初始張力Th0、Tv0，使用本文中的懸鏈線法求得纜索上節點坐標向量并假定纜索初始位移為零；2）將代入非線性有限元解法中進行N-R迭代，直至收斂。

2 數值算例

為了驗證本方法對拖曳纜索研究的適用性。以拖船端為拖纜起始端，分別取航速為3kn、5kn、7kn、9kn、11kn、13kn、15kn、17kn和19kn來模擬拖纜形態，計算纜索張力并作出纜索收斂圖。拖纜各參數如下表：

表1 拖纜及拖曳體參數

以(xi,yi)為坐標做收斂圖（見圖5）觀察其收斂性。ne為單元個數，其中：

式中[U]為節點位移增量向量；[Ψ]為節點不平衡力向量。

圖5 各航速收斂圖

由圖5可以看出以(xi,yi)為坐標的點隨著迭代步數的增長都落在在了收斂區（虛線矩形框內），說明本文設計的方法收斂性較好。隨后將各航速下拖纜形態及受力情況做了對比（如圖6和圖7）。

圖6 不同航速纜索形態圖

圖7 不同航速纜索張力圖

由圖6和圖7可知雖然拖纜的形態及受力情況在不同航速條件下很大差別，但也呈現出一定的連續性。

3 結語

1）近年來非線性有限元方法常用于海洋系泊纜索的理論研究，本文將非線性有限元法配合懸鏈線法應用于拖曳纜索的研究達到了較為理想的效果。以懸鏈線法的結果作為Newton-Raphson迭代法的初始節點坐標能達到較好的收斂效果。

2）航速會影響拖曳體水平力與豎向力的比值進而影響纜形，忽略拖纜振動情況下，在拖船勻速行駛時拖纜呈現相對固定形態。

3）隨航速的遞增纜索張力越呈現非線性增長，增長越緩慢，在航速較大時，航速對拖纜張力影響不大。

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