概率論中對“條件概率”的一點認(rèn)識

俞霜

摘要：條件概率屬于概率論范疇中一個重要的概念，本文主要從條件概率的定義，對其的認(rèn)識，以及對現(xiàn)有的概率乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式的新的理解方面進(jìn)行了分析與闡述。只要對所已知的概率事件進(jìn)行認(rèn)真分析，就可不考慮其他公式約束，而利用“條件概率”對其進(jìn)行計算和分析。

關(guān)鍵詞：條件概率；全概率公式；貝葉斯公式；樣本空間

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）39-0186-02

一、概率論中“條件概率”

很多概率問題往往不是簡單直白的，而是附加了一些條件，在此基礎(chǔ)上來求解事件的概率。例如，在某事件A發(fā)生的前提下，求解B事件的條件概率，則可簡記為P（B|A）。

“條件概率”的基本概念：設(shè)A和B是兩個不同的事件，且P（A）≠0，那么稱P（B|A）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。一般地，P（B|A）≠P（B），且它滿足以下三個條件：（1）非負(fù)性；（2）規(guī)范性；（3）可列可加性。

二、利用“條件概率”計算

通過對現(xiàn)有的概率乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式的一點新的理解，讀者可以不用去考慮課本給出的全概率公式和貝葉斯公式，只要對所給出的概率事件能夠有足夠的分析，利用“條件概率”就可以進(jìn)行計算。

1.關(guān)于條件概率的判定。上述對于如何區(qū)分條件概率事件進(jìn)行了討論，那么對于主要標(biāo)志是P（AB）還是P（A|B）取決于A、B兩個事件在所述問題中是否是地位平等的，也就是探索是否事件A、B存在一個必然事件和一個隨機(jī)事件。如果事件A、B均為隨機(jī)事件，那么兩者就是平等地位。實際在分析問題時，不用探索其是否是平等事件，因為條件概率P（A|B）中，事件A、B均為隨機(jī)事件。對于具體的問題，附加的條件若為事件B已經(jīng)發(fā)生，那么很明確其為條件概率事件，因此，附加條件是判斷是否為條件概率的關(guān)鍵。舉例分析：投擲一枚硬幣，第一次為正面時，第二次也為正面的概率為條件概率；第一次第二次都為正面，則不是條件概率。因此表述不當(dāng)，可能會造成分析的錯誤。正確判斷是否為條件概率事件是十分重要的。

2.條件概率的解題思路。所研究的事件A是在事件B已經(jīng)發(fā)生的前提下產(chǎn)生，那么可以將事件A發(fā)生的概率按照條件概率進(jìn)行分析。對于簡單的條件概率，這里主要論述兩個基本的思路：一是根據(jù)條件概率的定義進(jìn)行計算，在其原來的樣本空間中分析P（A）及P（AB），再利用公式P（B|A），求解出P（B|A）。二是在縮減的樣本空間SA中計算B出現(xiàn)的概率。

三、概率公式的理解

在概率論學(xué)習(xí)中，全概率公式、貝葉斯公式以及乘法公式，是《概率統(tǒng)計》這門學(xué)科學(xué)習(xí)的重中之重，也是研究生考試的一個重要常考點。倘若學(xué)習(xí)這門課程時，按照課本的內(nèi)容和順序，直接熟記其公式，并僅僅學(xué)習(xí)如何套用公式解題的話，對學(xué)生而言，只是記住了公式的形式，而在實際應(yīng)用時，并不能明白其實際的意義。其實，應(yīng)用這三個公式最重要的是準(zhǔn)確找到其樣本空間。這里著重講解這三個公式的意義，并研究如何確定其樣本空間。

不妨舉例進(jìn)一步解釋全概率公式的含義。假設(shè)某個年級共有5個班級，每個班共有40人，男、女生各占一半，如果選擇其中1名學(xué)生當(dāng)社聯(lián)的主席，那么這個職務(wù)為女生的可能性是多少？應(yīng)該很快就能得出結(jié)果。設(shè)選中女生為事件A，那么（這個年級共有200人，而女生共100人，則所求即為0.5）。事實上，我們應(yīng)該是以0.2的可能性在1班進(jìn)行選取，然后以0.5的可能性會選中女生；同樣以0.2的可能性在2班進(jìn)行選取，再以0.5的可能性選中女生。依次可知，以0.2的可能性在3班選取，再以0.5的可能性選取到女生；以0.2的可能性在4班選取，再以0.5的可能性選取到女生；以0.2的可能性在5班選取，再以0.5的可能性選取到女生。這樣的進(jìn)行選擇，實際就是運用了全概率公式。此外，完備事件組不一定唯一，根據(jù)不同的思路，就可以找出不同的完備事件組，但是無論哪個完備事件組，都可以解決問題。

貝葉斯公式的應(yīng)用范圍很廣，對于很多的實際問題的解決也發(fā)揮了很大的作用。舉例分析，某一工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，有三種備選方案：小批量生產(chǎn)、中批量生產(chǎn)、大批量生產(chǎn)。該產(chǎn)品生產(chǎn)的決定性因素是市場對其的需求量，根據(jù)資料分析可知，大需求量的概率是30%，假如市場有大的需求，則分別選擇小批量、中批量、大批量生產(chǎn)，工廠可獲利分別為10萬、20萬、30萬；假如市場的需求量較小，而分別選擇小批量、中批量、大批量生產(chǎn)，那么工廠獲利分別為5萬、2萬、6萬。為了更好地獲益，該工廠進(jìn)行市場調(diào)研，調(diào)研經(jīng)費為3萬，從獲取的資料可知，市場的需求量較大的準(zhǔn)確率為80%，而市場需求量小的準(zhǔn)確率為90%，該怎樣選取最佳方案呢？分析可知決策人擁有全部的信息，那么就可以以最佳的方案獲得最大的利益。然而實際情況存在很多不可預(yù)知的因素，那么要想通過更多的信息來做出最合理的決策，需要市場調(diào)研提供信息，以便調(diào)整事件的先驗概率，使得經(jīng)調(diào)整的后驗概率更加接近實際。故需要進(jìn)行研究分析，根據(jù)上述的計算可知，當(dāng)工廠進(jìn)行市場調(diào)研時，工廠就可達(dá)到11.4288萬的期望獲益，相比于比那些不市場調(diào)研的工廠，要高于它們的6.4萬元，差值為5.0288萬元。當(dāng)市場調(diào)研價低于5.0288萬時，工廠就要進(jìn)行市場調(diào)研工作，因為進(jìn)行市場調(diào)研費用為3萬元。因此案例，我們得到了后驗風(fēng)險決策的論斷：（1）要進(jìn)行市場調(diào)研工作；（2）依據(jù)調(diào)研結(jié)果進(jìn)行工作安排。這個例子的結(jié)論就是，當(dāng)市場的需求量大時，就進(jìn)行大批量生產(chǎn)，當(dāng)需求量小時，就進(jìn)行小批量生產(chǎn)。通過運用貝葉斯條件概率，可以得到先驗概率和被修正的后驗概率，進(jìn)而選擇最佳方案，降低風(fēng)險

四、結(jié)語

通過以上對條件概率以及概率公式的理解和分析，可以知道，條件概率在《概率論》這門學(xué)科中顯現(xiàn)出的重要性。條件概率作為概率論的一個相當(dāng)重要的概念，當(dāng)然，它也是概率統(tǒng)計學(xué)中一個重要的難點，在概率論的整個知識體系中起著上下連貫的作用。通過本文對條件概率的研究分析，介紹了其相關(guān)的概念和公式，以及對其的一些新的解讀，讀者若能夠熟練的掌握并理解條件概率的定義和其相關(guān)知識，對于他們之后進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論的更深層次的問題是十分有幫助的。

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