Cochran分解定理的應用

王麗琦　張成

摘要：本文利用Cochran分解定理證明了統(tǒng)計學中Fisher引理，并對正態(tài)總體的兩個樣本平均值之差的抽樣分布的證明進行了嚴格的補充。

關鍵詞：Cochran分解定理；Fisher引理

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）13-0183-02

在數(shù)理統(tǒng)計中，正態(tài)分布占據(jù)非常重要的地位，一方面在應用中，許多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布；另一方面，正態(tài)分布具有許多優(yōu)良性質，便于進行深入的理論研究。而Fisher引理恰恰給出了正態(tài)總體下，最重要的統(tǒng)計量樣本均值X和樣本均值S2的抽樣分布定理。Fisher引理明確提出了關于統(tǒng)計總體概念和統(tǒng)計方法目標，為現(xiàn)代推斷統(tǒng)計學奠定了理論基礎。鑒于此，F(xiàn)isher引理的證明在學習中顯得尤為重要。Cochran分解定理是謝邦杰教授在上世紀70年代末所做的一系列重要研究成果中的一部分，他的這一結果揭示了體上矩陣與行列式更本質的性質，對近代矩陣論中某些進展不大的課題，起了推動作用，同時Cochran分解定理也是方差分析的基本定理，是研究多元正態(tài)變量的二次型分布的主要依據(jù)。

定理1 （Cochran分解定理）設X1，X2，L，Xn獨立同分布于N（0，1）.如果Q= X = Q ，其中Q 是秩為n 的X1，X2，L，Xn的二次型，則Q1，Q2，L，Qk相互獨立，且Q ～χ2（n ），j=1，2，L，k成立的充分必要條件是n1+n2+L+nk=n

以矩陣和向量的形式表述上述定理，令X=（X1，X2，L，Xn）'，則X～Nn（0，In）.此時有Q=X′X，Qj=X′AjX，A'j=Aj，j=1，2，L，k且 ' ～χ2（n ）

定理1 （Cochran分解定理）設X～Nn（0，In），若有X'X= X'AjX，其中A'j=Aj，rank（Aj）=nj（j=1，2，L，k）.則X'A1X，X'A2X，L，X'AkX相互獨立，且X'AjX～χ2（n ）（j=1，2，L，k）成立的充分必要條件是 n =n

下面利用定理1或定理1來證明如下結論：因為對于一般的正態(tài)分布都可以通過一個平移和尺度變換化為標準正態(tài)分布，所以不失一般性在下文中所涉及到定理中的正態(tài)分布都取作標準正態(tài)分布。

定理2 （費歇定理）設X1，X2，L，Xn獨立同分布于N（0，1），則（1） ～N（0， ）；（2）nS2～χ2（n-1）；（3） 與S2相互獨立.其中 = Xi，S2= （Xi- ）2，分別稱為樣本均值與樣本方差。

證明 對于（1），根據(jù)獨立的正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布可直接證得。

下證（2）與（3）。

令A是n行元素均為 的正交陣，（Y1，Y2，L，Yn）'=A（X1，X2，L，Xn）'，則Y1，Y2，L，Yn獨立同分布于N（0，1），且 Y = X ，Yn= 。而nS2= X -n 2，故nS2= X -n 2= Y -Y = Y

令Q1=nS2，則由上式可知Q1的秩為n-1關于X1，X2，L，Xn的二次型。而 = Xi= X'1n= 1'nX，（其中1n是分量均為1的n維向量），故Q2=n 2=n（ X'1n）（ 1'nX）=X' （1n1'n）X可視為秩1關于X1，X2，L，Xn的二次型。由于Q= X =Q1+Q2，且rank（Q1）=n-1，rank（Q2）=1

所以rank（Q1）+rank（Q2）=n。由定理1可知，Q1～χ2（n-1），Q2～χ2（1），且Q1，Q2相互獨立。即n 2與nS2相互獨立，從而 與S2相互獨立。

定理3 設X1，X2，L，X 獨立同分布于N（0，1），Y1，Y2，L，Y 獨立同分布于N（0，1），而且它們均是相互獨立的，記 = X ，S = （X - ）2； = Y j，S = （Y - ）2 則有（1） ～F（n1-1，n2-1）

即左端的統(tǒng)計量服從第一自由度為n1-1、第二自由度為n2-1的F-分布；

（2） · ～t（n1+n2-2）

證明：（1）由n1S = （X - ）2= X -n 2

令Q1=n1S ，而Q2=n1 2=n1（ X'1n）（ 1'nX）=X' （1n1'n）X可視為秩1關于X1，X2，L，X 的二次型。由于Q= X =Q1+Q2，且rank（Q）=n1，rank（Q2）=1；所以rank（Q1）=n2-1

則n1S ～χ2（n-1），令Q3=n2S ，同理n2S ～χ2（n-1），又它們均是相互獨立的，則由F-分布的構造可知

= ～F（n1-1，n2-1）

（2）由于n S +n S =Q1+Q3，其中Q1，Q3分別服從χ2（n1-1）和χ2（n2-1），且相互獨立，則由Cochran分解定理知，n S +n S ～χ2（n1+n2-2）

由 ～N（0， ）， ～N（0， ），又 與 相互獨立，故 - ～N（0， + ）

由獨立性假設知， - 與n S +n S 相互獨立，因而

通過上述論述，可以看出利用Cochran分解定理對費歇定理進行證明，思路清晰、簡潔明了，值得在教學中推廣，同時柯赫倫分解定理在方差分析也有著較好的應用。總之，Cochran分解定理值得在教學中加以重視。

參考文獻：

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