利用導數證明不等式的幾種方法

秦昊

摘要：不等式證明的方法有很多，利用導數來證明不失為一個簡單易掌握的方法，本文應用導數的有關概念、定理、典型實例，對不等式證明的方法進行了探究與歸納。

關鍵詞：不等式；導數；證明

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）10-0189-02

不等式的證明方法多種多樣。在初等數學里介紹過比較法、放縮法、反證法、歸納法等方法，在學習了導數的應用以后，用導數來證明不等式，往往能起到很好的效果。

一、利用函數的單調性證明不等式

在學習了導數之后，可以利用導數來判定函數的單調性。

定理1 設函數在區間[a，b]上可導，如果對任意的x∈（a，b），恒有f ′（x）>0（或f ′（x）<0），則f（x）

利用函數單調性證明不等式，不等式兩邊的函數必須可導。所構造的輔助函數f （x）應在某閉區間上連續，開區間內可導，且在閉區間的某端點處f （x）的值為0，然后通過在開區間內f ′（x）的符號來判斷f （x）在閉區間上的單調性。

二、利用微分中值定理證明不等式

第三利用a<ξ

利用微分中值定理證明不等式時，要抓住定理的核心，在滿足定理的兩個條件下，主要是利用“存在一點.

高等數學中證明不等式的方法很多，利用導數證明有時候可以將復雜繁冗的問題變的簡單。以上將利用導數證明不等式的方法作了簡單歸納，但我們遇到的問題遠遠不止這些。有些不等式的證明可以使用多種方法，只有多思考、多總結，靈活運用導數的基本理論和方法，才能熟練掌握其中技巧，簡單快捷地解決不等式證明問題。

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