從2015年高考導數題再談文科數學導數的教學

鄧京鳳

摘 要：2015年全國卷Ⅰ高考文科數學最后一題考查的問題主要有兩個方面：含參單調性及零點問題；含參不等式證明問題.2015年北京文科數學考查了考點：導數的運算；利用導數判斷函數的單調性；利用導數求函數的極值和最值；函數零點問題.考查了學生對導數的掌握水平.下面就從兩道例題來談談文科數學中導數題型中的大題教學.

關鍵詞：文科；導數；函數；教學

一、高考題型解析

1.[2015年全國卷I文科（21）題]設函數f（x）=e2x-alnx.（1）討論f（x）的導函數f′（x）零點的個數；（2）證明：當a>0時，f（x）≥2a+aln .

解析：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f ′（x）=2e2x- （x>0）.當a≤0時，f ′（x）>0，f ′（x）沒有零點；當a>0時，因為e2x單調遞增，- 單調遞增，所以f′（x）在（0，+∞）單調遞增.又f ′（a）>0，當b滿足00時，f ′（x）存在唯一零點.（2）由（1）可設f ′（x）在（0，+∞）的唯一零點為x0，當x∈（0，x0）時，f ′（x）<0；當x∈（x0，+∞）時，f ′（x）>0.故f（x）在（0，x0）單調遞減，在（x0，+∞）單調遞增，所以當x=x0時，f（x）取得最小值，最小值為f（x0）由于2e2 - =0，所以f（x0）= +2ax0+aln2≥2a+aln .故當a>0時，f（x）≥2a+aln .

小結：本題主要考查了導數含參單調性及零點問題、含參不等式證明問題.此題中第（1）問求函數f（x）的導函數f ′（x）的零點個數問題，所以先求出f（x）的定義域，然后對a進行分類討論；第二問通過函數的單調性和零點以及均值不等式的應用得以證明.在高考題型中常見證明不等式問題也常常構造函數來證明不等式問題.

2.[2015年北京文科]設函數f（x）= -klnx，k>0.

（1）求f（x）的單調區間和極值；

（2）證明：若f（x）存在零點，則f（x）在區間（1， ]上僅有一個零點.

解析：（1）f ′（x）=x- = ，由f ′（x）=0解得x= .由f ′（x）<0

得單調遞減區間是（0， ），由f ′（x）>0得單調遞增區間是（ ，+∞）；故f（x）在x= 取得極小值為f（ ）= （2）由（1）知，f（x）在區間（0，+∞）上的最小值f（ ）= .因為f（x）存在零點，所以 ≤0，從而k≥e.（1）當k=e時，

f（x）在區間（1， ]上單調遞減，且f（ ）=0，所以x= 是

f（x）在區間（1， ]上的唯一零點；（2）當k>e時，f（x）在區間（0， ）上單調遞減，且f（1）= >0，f（ ）= <0，所以f（x）在區間（1， ]上僅有一個零點.綜上可知，若f（x）存在零點，則

f（x）在區間（1， ]上僅有一個零點.

小結：導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值、函數零點問題，考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力以及計算能力，同時也考查了函數與方程思想、化歸與轉化思想，通過轉化導數方程求解原函數單調性及零點問題.

二、規律總結

導數題型教學歸納總結：（1）求極值、最值時，要求步驟規范，含參數時，要分類討論參數的范圍.（2）若已知函數單調性求參數范圍時，隱含恒成立思想（先求函數定義域）.（3）利用導數方法證明不等式f（x）>g（x）在區間D上恒成立的基本方法是構造函數

h（x）=f（x）-g（x），然后根據函數的單調性證明函數h（x）>0，其中一個重要技巧就是找到函數h（x）在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口.

在高中文科數學教學中，研究好近幾年特別是高考命題的方向，能把高考導數考題類型把握好，對今后文科數學教學有重要的作用.對于導數問題類型的考試特別是大題甚至壓軸題都基本上是按照上面的規律總結教學，注意教學中注入不同的方法及靈活的新思維，相信在高中的導數教學中會取得突破性的進展，對于文科生拿高分也輕而易舉.

編輯 張珍珍