一道三角函數(shù)題的九種解法

施貴軍

古詩云“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”說的是廬山從不同視角觀看，所看到的景象不一樣。這個道理其實對于數(shù)學也是適用的。面對同一道數(shù)學題，我們可以選取不同的視角去思考、分析，從而采用不同的方法來解決。下面以一道三角函數(shù)題為例，給出九種解法，供大家參考。

題目：若cosα+2sinα=- ，求tanα

解法一：利用三角函數(shù)“定義”

設角α終邊上一點的坐標為（x，y），則cosα= ，sinα= ，tanα=

其中r2=x2+y2，由cosα+2sinα=- 得 + =-

即x+2y=- r，平方得x2+4xy+4y2=5r2，將r2=x2+y2代入左

式得：

4x2-4xy+y2=0，即（2x-y）2=0

所以2x=y，tanα= =2

解法二：利用“方程思想”

由cosα+2sinα=- 得cosα=- -2sinα，

又因為sin2α+cos2α=1，將cosα=- -2sinα代入方程得：

sin2α+（- -2sinα）2=1，即5sin2α+4 sinα+4=0

∴（ sinα+2）2=0解得sinα=- ，cosα=-

故tanα= =2

解法三：利用“1”構造正、余弦

由cosα+2sinα=- 平方得cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5

即cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5（sin2α+cos2α）

化簡得sin2α-4sinαcosα+4cos2α=0

所以（sinα-2cosα）2=0，即sinα=2cosα

則tanα= =2

解法四：利用“1”構造正切

由解法三得cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5，

所以 =5（cosα≠0），分子分母同時除以cos2α得 =5，所以tan2α-4tanα+4=0

（tanα-2）2=0，故tanα=2

解法五：利用“弦”化“切”

由cosα+2sinα=- 得 =-

所以1+2tanα=- ，兩邊平方得（1+2tanα）2= ，

即（1+2tanα）2=

化簡得tan2α-4tanα+4=0

所以tanα=2

解法六：利用公式“1+tan2α= ”

由解法五得（1+2tanα）2= 代入公式1+tan2α= 得

（1+2tanα）2=5（1+tan2α）

所以tan2α-4tanα+4=0，則tanα=2

解法七：利用“輔助角φ”

由cosα+2sinα=- 得 （ cosα+ sinα）=-

令cosφ= ，sin=

則sin（α+φ）=-1，因此α+φ=2kπ- （k∈Z）

α=2kπ- -φ

tanα=tan（2kπ- -φ）=-tan（ +φ）= = =2

評注：以上幾種解法從不同的角度分析得到了tanα的值。雖然“道不同”，但結果相同，而且都是一些常規(guī)解法，比較容易想到。唯一的遺憾就是運算量比較大。請欣賞下面兩種解法：

解法八：利用“導數(shù)”

令f（x）=2sinx+cosx，因為f（x）=2sinx+cosx= sin（x+θ）

由cosα+2sinα=- 知函數(shù)f（x）=2sinx+cosx在x=a處取得最小值（也是極小值）。

所以f ′（a）=0

因為f ′（x）=2cosx-sinx，所以f ′（a）=2cosα-sinα=0

即tanα= =2

評注：通過觀察cosα+2sinα=- 的特征，我們發(fā)現(xiàn)- 恰好是函數(shù)f（x）=2sinx+cosx的最小值，即x=a是函數(shù)f（x）=2sinx+cosx的一個極值點，從而可以利用導數(shù)求解，而且?guī)缀蹩梢钥谒?。方法獨特，可謂別出心裁。

解法九：利用“向量的數(shù)量積”

設 =（2，1）， =（sinα，cosα），兩個向量的夾角為θ

所以 · =2sinα+cosα=-

又 · = cosθ= cosθ

即 cosθ=- ，所以cosθ=-1，θ=π

因此 ∥

則2cosα-sinα=0

所以tanα= =2

評注：觀察等式cosα+2sinα=- ，左邊是向量 =（2，1）， =（sinα，cosα）的數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積的定義發(fā)現(xiàn)兩個向量是共線向量，從而利用向量共線的坐標表示可快速求出α的正切值。因此，將三角函數(shù)與向量相結合又為我們解題開辟了一條新的途徑。

所以，在解題過程中，多思，多想，多練。就會有一些奇思妙解，就會有一些出其不意的想法。

編輯 謝尾合